专题05 因式分解（解析版）-2022中考数学高频考点

2/2高频考点：因式分解一、因式分解意义【高频考点精讲】1．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式。例如：【热点题型精练】1．（2020•河北中考）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．答案：C．2．（2021•衢州模拟）下列等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．a（a+3）＝a2+3a B．a2+4a﹣5＝a（a+4）﹣5 C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4解：A．是整式的乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；B．没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式，原变形错误，故此选项不符合题意；C．把一个多项式转化成几个整式的积的形式，是因式分解，原变形正确，故此选项符合题意；D．是整式的乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；答案：C．二、提公因式法【高频考点精讲】1．提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。2．具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3．基本步骤：（1）找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；（2）提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；（3）提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．【热点题型精练】3．（2021•衡阳中考）因式分解：3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b）．解：3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b），答案：3a（a﹣3b）．4．（2021•福建模拟）把多项式a2﹣9a分解因式，结果正确的是（）A．a（a+3）（a﹣3） B．a（a﹣9） C．（a﹣3）2 D．（a+3）（a﹣3）解：a2﹣9a＝a（a﹣9）．答案：B．5．（2021•吉林模拟）分解因式：3x3﹣9x2＝3x2（x﹣3）．解：3x3﹣9x2＝3x2（x﹣3）．答案：3x2（x﹣3）．三、运用公式法【高频考点精讲】1．如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2．概括整合：（1）能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。（2）能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。【热点题型精练】6．（2021•杭州中考）因式分解：1﹣4y2＝（）A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y） C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）解：1﹣4y2＝1﹣（2y）2＝（1﹣2y）（1+2y）．答案：A．7．（2020•河北中考）若＝8×10×12，则k＝（）A．12 B．10 C．8 D．6解：方程两边都乘以k，得（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k，∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，∴80×120＝8×10×12k，∴k＝10．经检验k＝10是原方程的解．答案：B．8．（2021•威海模拟）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（）A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；B、x（x﹣2）+（2﹣x）＝（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；C、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故C选项不合题意；D、x2+2x+1＝（x+1）2，故D选项符合题意．答案：D．9．（2021•内蒙古中考）因式分解：x3y﹣4xy＝xy（x+2）（x﹣2）．解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．10．（2021•菏泽中考）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝﹣a（a﹣1）2．解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）＝﹣a（a﹣1）2．答案：﹣a（a﹣1）2．11．（2021•菏泽中考）已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝36．解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）＝2xy（x﹣3y）2，∵xy＝2，x﹣3y＝3，∴原式＝2×2×32＝4×9＝36，答案：36．12．（2021•无锡中考）分解因式：2x3﹣8x＝2x（x﹣2）（x+2）．解：2x3﹣8x，＝2x（x2﹣4），＝2x（x+2）（x﹣2）．13．（2021•内江中考）分解因式：3a3﹣27ab2＝3a（a+3b）（a﹣3b）．解：原式＝3a（a2﹣9b2）＝3a（a+3b）（a﹣3b），答案：3a（a+3b）（a﹣3b）．四、十字相乘法1．x2+（p+q）x+pq型式子这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）2．ax2+bx+c（a≠0）型式子这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．【热点题型精练】14．（2021•青岛模拟）把x2﹣4x+C分解因式得（x﹣1）（x﹣3），则C的值为（）A．4 B．3 C．﹣3 D．﹣4解：根据题意得：x2﹣4x+C＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，则C＝3．答案：B．15．（2021•济南模拟）分解因式：2x2﹣2x+＝2（x﹣）2．解：原式＝2（x2﹣x+）＝2（x﹣）2．答案：2（x﹣）2．16．（2021•湖南模拟）分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9＝（x﹣3）（4x+3）．解：x2+3x（x﹣3）﹣9＝x2﹣9+3x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+3）+3x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+3+3x）＝（x﹣3）（4x+3）．答案：（x﹣3）（4x+3）．17．（2021•洛阳模拟）分解因式：x2+3x﹣10＝（x﹣2）（x+5）．解：原式＝（x﹣2）（x+5），答案：（x﹣2）（x+5）五、因式分解的应用【高频考点精讲】利用因式分解解决求值问题．利用因式分解解决证明问题．3．利用因式分解简化计算问题．【热点题型精练】18．（2021•宁波中考）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴2x3﹣7x2+4x+2023＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020＝2x×0﹣3×0+2020＝0+0+2020＝2020，答案：A．19．（2021•成都中考）若x﹣y＝，xy＝﹣，则x2﹣y2＝0．解：∴，∴（x﹣y）2＝3，∴x2﹣2xy+y2＝3，∴，∴，∴（x2﹣y2）2＝（x2+y2）2﹣4x2y2，＝，∴x2﹣y2＝0，答案：0．20．（2021•内蒙古模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为23．解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，∴a2﹣a﹣3＝0，b2﹣b﹣3＝0，即a2＝a+3，b