2019年全国成人高考数学试卷及答案

2019年全国成人高考数学试卷及答案2019年成人高等学校招生全国统一考试数学（文史财经类）第Ⅰ卷（选择题，共85分）本大题共17小题，每小题5分，共85分。在每小题给出的4个选项中只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={1,2,3,4}，集合M={3,4}，则$C_U^M$=A.{2,3}B.{2,4}C.{1,4}D.{1,2}2.函数$y=cos4x$的最小正周期为A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$3.设甲：$b=\frac{1}{\sqrt{3}}$，乙：函数$y=kx+b$的图像经过坐标原点，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4.已知$tan\alpha=\frac{11}{24}$，则$tan(\alpha+\frac{\pi}{2})=$A.-3B.$-\frac{1}{3}$C.3D.$\frac{1}{3}$5.函数$y=1-x^2$的定义域是A.$\{x|x\geq-1\}$B.$\{x|x\leq1\}$C.$\{x|x\leq-1\}$D.$\{x|-1\leqx\leq1\}$6.设$0<x<1$，则A.$1<2^x<2$B.$2^x<2<2^{\frac{1}{x}}$C.$log_2x<0$D.$log_2^x>0$7.不等式$|x+\frac{11}{22}|>\frac{1}{2}$的解集为A.$\{x|-1<x<-\frac{9}{11}\}$B.$\{x|x>-\frac{9}{11}\text{或}x<-\frac{33}{22}\}$C.$\{x|x>-\frac{9}{11}\}$D.$\{x|x<-\frac{9}{11}\}$8.甲、乙、丙、丁4人排成一行，其中甲、乙必须排在两端，则不同的排法共有A.2种B.4种C.8种D.24种9.若向量$a=(1,1),b=(1,-1)$，则$a-b=$A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)10.$log_3(1+16+(-2))=$A.5B.4C.3D.211.函数$y=x-\frac{4}{x-5}$的图像与x轴交于A、B两点，则|AB|=A.3B.4C.5D.612.下列函数中，为奇函数的是A.$y=-2x+3$B.$y=-\frac{2}{x^2}$C.$y=x-3$D.$y=3cosx$13.双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的焦点坐标是A.$(-5,0),(5,0)$B.$(-\sqrt{7},0),(\sqrt{7},0)$C.$(0,-5),(0,5)$D.$(0,-\sqrt{7}),(0,\sqrt{7})$14.若直线$mx+y-1=0$与直线$4x+2y+1=0$平行，则$m=$A.-1B.0C.1D.215.在等比数列$\{a_n\}$中，$a_4a_5=6$，则$a_2a_3a_6a_7=$A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.216.已知函数$f(x)=\frac{1}{1+e^x}$，则$f(-x)=$A.$\frac{1}{1+e^{-x}}$B.$\frac{1}{1-e^{-x}}$C.$\frac{1}{1+e^x}$D.$\frac{1}{1-e^x}$17.已知函数$f(x)=\frac{1}{1+e^x}$，则$f(x+1)-f(x)=$A.$\frac{e^x}{(1+e^x)(1+e^{x+1})}$B.$\frac{e^x}{(1+e^x)(1+e^{x-1})}$C.$\frac{e^x}{(1+e^{x+1})(1+e^{x})}$D.$\frac{e^x}{(1+e^{x-1})(1+e^{x})}$1.已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且$f(2x)=4x+1$，则$f(1)=\textbf{3}$。2.甲乙各自独立地射击一次，已知甲射中10环的概率为0.9，乙射中10环的概率为0.5，则甲乙都射中10环的概率为\textbf{0.45}。3.$x^2+y^2=1$的离心率为\textbf{0.5}。4.函数$f(x)=x-2x^2+1$在$x=1$处的导数为\textbf{-3}。5.设函数$f(x)=x+b$，且$f(2)=3$，则$f(3)=\textbf{4}$。6.从一批相同型号的钢管中抽取5根，测其内径，得到如下样本数据（单位：mm）：110.8，109.4，111.2，109.5，109.1，则该样本的方差为\textbf{0.84}$mm^2$。7.已知$\{a_n\}$为等差数列，且$a_3=a_5+1$。(1)求$\{a_n\}$的公差$d$；(2)若$a_1=2$，求$\{a_n\}$的前20项和$S_{20}$。(1)解：由等差数列的通项公式可知：$$a_3=a_1+2d,\quada_5=a_1+4d$$故有：$$a_1+4d=a_1+2d+1$$解得$d=\textbf{0.5}$。(2)解：由等差数列的前$n$项和公式可知：$$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$$代入已知条件$a_1=2$，$d=0.5$，$n=20$可得：$$S_{20}=\frac{20}{2}(2+2+19\times0.5)=\textbf{210}$$故$S_{20}=210$。8.在$\triangleABC$中，已知$B=75^\circ$，$\cosC=\frac{1}{\sqrt{2}}$。(1)求$\cosA$；(2)若$BC=3$，求$AB$。(1)解：由余弦定理可知：$$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$代入已知条件$b=BC=3$，$c=AC$，$a=AB$，$C=180^\circ-B-A$，$\cosC=\frac{1}{\sqrt{2}}$可得：$$\cosA=\frac{3^2+c^2-AB^2}{2\times3\timesc}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$由正弦定理可知：$$\frac{AB}{\sinA}=\frac{BC}{\sinC}=\frac{3}{\sin(105^\circ)}$$代入$\cosA=\frac{1}{\sqrt{2}}$可得：$$AB=3\sinA=3\sqrt{1-\cos^2A}=\textbf{3\sqrt{\frac{7}{10}}}$$故$AB=3\sqrt{\frac{7}{10}}$。(2)解：由余弦定理可知：$$AB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdotBC\cosA$$代入已知条件$BC=3$，$\cosA=\frac{1}{\sqrt{2}}$可得：$$AC=\sqrt{AB^2-BC^2+2BC\cdotAB\cosA}=\textbf{2\sqrt{14}}$$故$AC=2\sqrt{14}$。9.在平面直角坐标系$xoy$中，已知圆$M$的方程为$x+y-2x+2y-6=0$，圆$O$经过点$(2,2)$。(1)求圆$O$的方程；(2)证明：直线$x-y+2=0$与圆$M$、$O$都相切。(1)解：设圆$O$的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，代入已知条件$(2,2)$可得：$$(2-a)^2+(2-b)^2=r^2$$故圆$O$的方程为：$$(x-2)^2+(y-2)^2=\textbf{8}$$(2)解：首先证明直线$x-y+2=0$与圆$M$相切。设直线$l:x-y+2=0$与圆$M$相切于点$P$，则有：$$d(P,l)=r$$其中$d(P,l)$为点$P$到直线$l$的距离，$r$为圆$M$的半径。由$l:x-y+2=0$可知，$l$的法向量为$\vec{n}=(1,-1)$。设圆$M$的圆心为$C$，则有：$$d(P,l)=\frac{|\vec{CP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|(x_P-2)+(y_P-2)|}{\sqrt{2}}$$由圆的标准方程可知，圆$M$的圆心为$C(1,-1)$，半径为$r=\sqrt{2}$。代入上式可得：$$\frac{|(x_P-2)+(y_P-2)|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$即：$$|(x_P-2)+(y_P-2)|=2$$也就是：$$\begin{cases}x_P+y_P=6\\x_P+y_P=2\end{cases}$$显然这是矛盾的，故直线$l$与圆$M$相切于唯一一点$P$。接下来证明直线$l$与圆$O$相切。设直线$l:x-y+2=0$与圆$O:(x-2)^2+(y-2)^2=8$相切于点$Q$，则有：$$d(Q,l)=r$$其中$d(Q,l)$为点$Q$到直线$l$的距离，$r$为圆$O$的半径。由$l:x-y+2=0$可知，$l$的法向量为$\vec{n}=(1,-1)$。设圆$O$的圆心为$D$，则有：$$d(Q,l)=\frac{|\vec{DQ}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|(x_Q-2)+(y_Q-2)|}{\sqrt{2}}$$由圆的标准方程可知，圆$O$的圆心为$D(a,b)=(2,2)$，半径为$