第四章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图象与性质

第4节三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图知

识

梳

理(π，－1)2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR________________________________________值域__________________________________________R最小正周期___________________________________[－1，1][－1，1]2π2ππ奇偶性_____________________奇函数递增区间___________________________________________递减区间____________________________无对称中心_______________________对称轴方程_____________________无奇函数偶函数[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π](kπ，0)x＝kπ诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.(

)(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.(

)(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(

)(4)y＝sin|x|是偶函数.(

)(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√解析(1)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.2.(新教材必修第一册P213T3改编)下列函数中，是奇函数的是(

) A.y＝|cosx＋1| B.y＝1－sinx C.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tanx

解析选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin2x，所以是奇函数，选C.

答案C答案C答案A5.(2019·北京卷)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________.考点一三角函数的定义域解析(1)要使函数有意义，必须有规律方法三角函数与基本初等函数复合，求其定义域，一般有以下几种情形：(1)分式中的分母不为零；(2)偶次方根下的数(或式)大于等于零；(3)指数式的底数大于零且不等于1；(4)对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零；(5)由几部分数学式子组成的，那么函数的定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).考点二三角函数的值域(最值)规律方法求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).(2)设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，角度1三角函数的周期性考点三三角函数的周期性与对称性多维探究解析(1)y＝|tanx|的图象是y＝tanx的图象保留x轴上方部分，并将下方的部分翻折到x轴上方得到的，所以其最小正周期为π.角度2三角函数图象的对称性答案(1)C

(2)3解析(1)由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，答案(1)A

(2)A角度1求三角函数的单调区间考点四三角函数的单调性多维探究规律方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.角度2根据三角函数的单调性求参数规律方法对于已知函数的单调