二次函数重难点应用题归纳（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》（人教版）

专题2.8二次函数重难点应用题归纳（六大题型）重难点题型归纳【题型1运动类-落地类型】【题型2运动类-最值类型】【题型3经济类问题-与一次函数综合问题】【题型4经济类问题-每每问题】【题型5面积类问题】【题型6拱桥类问题】【模型1：运动类】（1）落地模型最值模型【模型2：经济类】销售问题常用等量关系：利润=收入-成本；利润=单件利润×销量；【模型3：面积类】【模型4：拱桥类】一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【题型1运动类-落地类型】【典例1】（2023•方城县一模）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式．（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【答案】（1）；（2）该女生在此项考试中是得满分．【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3．把代入解析式，得，解得．∴．（2）该女生在此项考试中是得满分．理由：令y＝0，即，解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）．∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5m，大于6.70m．∴该女生在此项考试中是得满分．【变式1-1】（2023•大连模拟）已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】B【解答】解：在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+4，解得x＝3或x＝﹣1（舍去），∴该同学此次投掷实心球的成绩是3m，故选：B．【变式1-2】（2022秋•牡丹区校级期末）校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（）A．6m B．10m C．8m D．12m【答案】B【解答】解：由题意可知，把y＝0代入解析式得：﹣x2+x+＝0，解方程得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即该运动员的成绩是10米．故选：B．【变式1-3】（2022秋•西华县期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，小球运动到最高点所需的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【答案】B【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，∵﹣5＜0，∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45．故选：B．【变式1-4】（2023•静乐县一模）2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为h＝﹣t2+bt．已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间l为（）A．3s B．3.5s C．4s D．4.5s【答案】D【解答】解：根据题意得，当t＝9时，h＝0，则﹣81+9b＝0，解得b＝9，∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当t＝时，h最大，故选：D．【变式1-5】（2023春•阳山县校级期中）在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+x+1的一部分（如图所示，水平地面为x轴，单位：m），则下列说法不正确的是（）A．出球点A离点O的距离是1m B．羽毛球横向飞出的最远距离是3m C．羽毛球最高达到m D．当羽毛球横向飞出m时，可到达最高点【答案】B【解答】解：A、当x＝0时，y＝1，则出球点A离地面点O的距离是1m，故A正确；B、当y＝0时，0＝﹣x2+x+1，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝4≠3．故B错误；C、∵y＝﹣x2+x+1，∴y＝﹣（x﹣）2+，∴此次羽毛球最高可达到m，故C正确；D、∵y＝﹣（x﹣）2+，∴当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点．故D正确．∴只有B是错误的．故选：B．【变式1-6】（2023•沭阳县模拟）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t﹣4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是s．【答案】．【解答】解：∵h＝3.5t﹣4.9t2＝﹣4.9（t﹣）2+，∴当t＝时，h取得最大值，故他起跳后到重心最高时所用的时间是s，故答案为：．【题型2运动类-最值类型】【典例2】（2022秋•乐亭县期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s【答案】B【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，∴函数有最大值，当t＝﹣＝﹣＝20（秒），即飞机着陆后滑行20秒能停下来，故选：B．【变式2-1】（2021秋•厦门期末）某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝20t﹣5t2，其中t的取值范围是（）A．t≥0 B．0≤t≤2 C．2≤t≤4 D．0≤t≤4【答案】B【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，∴当t＝2时，爆竹达到最大高度燃爆，∴t的取值范围是0≤t≤2，故选：B．【变式2-2】（2023春•青秀区校级期末）某学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+14t+3，当火箭升空到最高点时，距离地面52m．【答案】52．【解答】解：由题意可得：h＝﹣t2+14t+3＝﹣（t2﹣14t）+3＝﹣（t﹣7）2+52，∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，当x＝7时，h取得最大值，当火箭升空到最高点时，距离地面52m．故答案为：52．【变式2-3】（2023•襄阳模拟）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行16秒才能停下来．【答案】16．【解答】解：由题意得，S＝﹣0.25t2+8t＝﹣0.25（t2﹣32t+256﹣256）＝﹣0.25（t﹣16）2+64，∵﹣0.25＜0，∴t＝16时，飞机滑行的距离最大，即当t＝16秒时，飞机才能停下来．故答案为：16．【变式2-4】（2023•襄城区校级二模）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行750m．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，∴当t＝25时，y取得最大值750，即飞机着陆后滑行750米才能停下来，故答案为：750m．【变式2-5】（2022秋•南岗区校级期中）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）函数解析式y＝﹣1.5t2+60t，在飞机着陆滑行中，最后4秒滑行的距离是24m．【答案】24．【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y＝y＝﹣1.5t2+60t＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当t＝16时，y＝576，所以600﹣576＝24（米）故答案为：24【题型3经济类问题-与一次函数综合】【典例3】（2023春•双峰县月考）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：售价x（元/千克）…50607080…销售量y（千克）…100908070…（1）求y与x的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得，解得．故y与x的函数关系式为y＝﹣x+150；（2）根据题意得（﹣x+150）（x﹣20）＝4000，解得x1＝70，x2＝100＞90（不合题意，舍去）．故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；（3）w与x的函数关系式为：w＝（﹣x+150）（x﹣20）＝﹣x2+170x﹣3000＝﹣（x﹣85）2+4225，∵﹣1＜0，∴当x＝85时，w值最大，w最大值是4225．∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．【变式3-1】（2023春•冷水滩区校级月考）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），，得，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+200（40≤x≤80）；（2）由题意可得，W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000，即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+280x﹣8000；（3）∵W＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，40≤x≤80，∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800，答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．【变式3-2】（2023•五华县校级开学）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200，对称轴x＝20，在对称轴的左侧W随着x的增大而增大，∵10≤x≤18，∴当x＝18时，W最大，最大为192．即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．（3）由150＝﹣2x2+80x﹣600，解得x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．【变式3-3】（2023•汉川市校级模拟）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意，得：，解得，答：a的值为0.04，b的值为30；（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y＝k1t+n1，将（0，15）、（50，25）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y＝t+15；当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y＝k2t+n2，将点（50，25）、（100，20）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y＝﹣t+30；②由题意，当0≤t≤50时，W＝20000（t+15）﹣（400t+300000）＝3600t，∵3600＞0，∴当t＝50时，W最大值＝180000（元）；当50＜t≤100时，W＝（100t+15000）（﹣t+30）﹣（400t+300000）＝﹣10t2+1100t+150000＝﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t＝55时，W最大值＝180250（元），综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．【变式3-4】（2023•广水市模拟）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天）1306090每天销售量p（件）1981408020（1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数且k≠0），∵y＝kx+b经过点（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售价y与时间x的函数关系式为y＝x+40；当50≤x≤90时，y＝90．∴售价y与时间x的函数关系式为y＝．由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p＝mx+n（m、n为常数，且m≠0），∵p＝mx+n过点（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p＝﹣2x+200（1≤x≤90，且x为整数），当1≤x≤50时，w＝（y﹣30）•p＝（x+40﹣30）（﹣2x+200）＝﹣2x2+180x+2000；当50≤x≤90时，w＝（90﹣30）（﹣2x+200）＝﹣120x+12000．综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w＝．（2）当1≤x≤50时，w＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050，∵a＝﹣2＜0且1≤x≤50，∴当x＝45时，w取最大值，最大值为6050元．当50≤x≤90时，w＝﹣120x+12000，∵k＝﹣120＜0，w随x增大而减小，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为6000元．∵6050＞6000，∴当x＝45时，w最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．（3）当1≤x≤50时，令w＝﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1＝21（天）；当50≤x≤90时，令w＝﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50≤x≤53，∵x为整数，∴50≤x≤53，53﹣50+1＝4（天）．综上可知：21+4﹣1＝24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．【变式3-5】（2023•五华县校级开学）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2＝﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）请直接写出k1、k2和b的值；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将x＝600、y＝18000代入y1＝k1x，得：18000＝600k1，解得：k1＝30；将x＝600、y＝18000和x＝1000、y＝26000代入，得：，解得：；（2）当0≤x＜600时，W＝30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）＝﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣0.01＜0，W＝﹣0.01（x﹣500）2+32500，∴当x＝500时，W取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，W＝20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）＝﹣0.01x2+36000，∵﹣0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x＝600时，W取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W取最大值为32500元；（3）由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x＝900时，W取得最小值27900元．【题型4经济类问题-每每问题】【典例4】（2022秋•莘县校级期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得2x2﹣60x+400＝0解得x1＝20，x2＝10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y元，则y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x2﹣30x﹣400）＝﹣2[（x﹣15）2﹣625]＝﹣2（x﹣15）2+1250．∴当x＝15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．【变式4-1】（2023•广西模拟）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【答案】（1）y＝﹣5x+550；（2）70元；（3）80元．【解答】解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x2＝90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣5＜0，此图象开口向下，∴当x＝80时，w有最大值为4500元，∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．【变式4-2】（2023•鄂伦春自治旗一模）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，解得：x1＝60，x2＝80，当x＝60时，成本＝40×[500﹣10（60﹣50）]＝16000＞10000不符合要求，舍去，当x＝80时，成本＝40×[500﹣10（80﹣50）]＝8000＜10000符合要求，∴销售价应定为每件80元；（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，又∵﹣10＜0．当x＝70时，w取最大值9000，故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．【变式4-3】（2022秋•定远县期末）某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用．（1）请写出该宾馆每天的利润y（元）与每间客房涨价x（元）之间的函数关系式；（2）设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？（3）请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得y＝（140﹣60+x）（90﹣•5）即y＝﹣x2+50x+7200；（2）8000元的利润不是为该天的最大利润，∵y＝﹣（x2﹣100x+2500）+1250+7200＝﹣（x﹣50）2+8450，∴当x＝50即每间客房定价为190元时，宾馆当天的最大利润为8450元；（3）由﹣x2+50x+7200＞0得x2﹣100x﹣14400＜0，即（x﹣180）（x+80）＜0，解得﹣80＜x＜180，故60＜x+140＜320，由题意可知当客房的定价为：大于60元而小于320元时，宾馆就可获得利润．【题型5面积类问题】【典例5】（2022秋•蒙城县期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，又∵0＜24﹣3x≤10，∴≤x＜8；（2）根据题意，设AB长为x，则BC长为24﹣3x∴﹣3x2+24x＝45．整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立，∴AB长为5m．【变式5-1】（2022秋•庄河市期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：y＝x＝﹣x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25；（2）y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200，∵20＜25，∴当x＝20时，y有最大值200平方米即当x＝20时，满足条件的绿化带面积最大．【变式5-2】（2023•汶上县一模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】（1）x的值为2m；（2）当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【解答】解：（1）如图：∵BC＝x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD＝2x，∴BD＝3x，AB＝CF＝DE＝（24﹣BD）＝8﹣x，依题意得：3x（8﹣x）＝36，解得：x1＝2，x2＝6（不合题意，舍去），答：此时x的值为2m．（2）设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S＝3x（8﹣x）＝﹣3（x﹣4）2+48，∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵﹣3＜0，∴x＜4时，S随着x的增大而增大，∴当x＝时，S有最大值，最大值为（m2）．答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【变式5-3】（2023•凉山州模拟）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为30﹣3x米（用含的代数式表示）；（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？【答案】（1）30﹣3x；（2）7；（3）当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．【解答】解：（1）∵修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案为：30﹣3x；（2）∵墙最大可用长度为12米，∴2＜BC≤12，即2＜30﹣3x≤12，解得：6≤x＜，根据图形可列方程得：x（30﹣3x）＝63，解得：x1＝3（舍），x2＝7，∴x的值为7；（3）设矩形的面积为S平方米，则S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，∵﹣3＜0，且6≤x＜，∴当x＝6时，S有最大值，最大值为72，答：当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．【变式5-5】（2022秋•孟州市校级期末）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】（1）8m，4m；（2）m，m2．【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为（21﹣3x）m，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，此时CD＝21﹣3×＝＜12，符合题意，即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．【变式5-6】（2023•青山区模拟）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600cm2的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．（1）若矩形纸板ABCD的一边长为90cm，①当纸盒的底面积为1056cm2时，求x的值；②求纸盒的侧面积的最大值；（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵矩形ABCD的一边长为90cm，∴矩形的另一边为3600÷90＝40cm，（40﹣2x）（90﹣2x）＝1056，解得：x1＝12，x2＝53（舍去）答：x的值为12cm．②S侧＝2[x（90﹣2x）+x（40﹣2x）]＝﹣8x2+260x＝﹣8（x﹣）2+，∵a＝﹣8＜0，∴S有最大值，当x＝时，S最大＝，答：纸盒的侧面积最大为平方厘米．（2）设EF＝2m，则EH＝7m，则侧面积为2（7mx+2mx）＝18mx，底面积为7m×2m＝14m2，由题意得：18mx：14m＝9：7，∴m＝x，则AD＝7x+2x＝9x，AB＝2x+2x＝4x，由4x•9x＝3600，∴x＝10，x＝﹣10（舍去）答：x的值为10．【变式5-7】（2022秋•孟州市校级期末）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】（1）8m，4m；（2）m，m2．【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为（21﹣3x）m，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，此时CD＝21﹣3×＝＜12，符合题意，即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．【变式5-9】（2023•青山区模拟）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600cm2的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．（1）若矩形纸板ABCD的一边长为90cm，①当纸盒的底面积为1056cm2时，求x的值；②求纸盒的侧面积的最大值；（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵矩形ABCD的一边长为90cm，∴矩形的另一边为3600÷90＝40cm，（40﹣2x）（90﹣2x）＝1056，解得：x1＝12，x2＝53（舍去）答：x的值为12cm．②S侧＝2[x（90﹣2x）+x（40﹣2x）]＝﹣8x2+260x＝﹣8（x﹣）2+，∵a＝﹣8＜0，∴S有最大值，当x＝时，S最大＝，答：纸盒的侧面积最大为平方厘米．（2）设EF＝2m，则EH＝7m，则侧面积为2（7mx+2mx）＝18mx，底面积为7m×2m＝14m2，由题意得：18mx：14m＝9：7，∴m＝x，则AD＝7x+2x＝9x，AB＝2x+2x＝4x，由4x•9x＝3600，∴x＝10，x＝﹣10（舍去）答：x的值为10．【题型6拱桥类问题】【典例6】（2023•碑林区校级模拟）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC＝5m，跨度AB＝20m．（1）求抛物线的表达式；（2）拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+5；（2）“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m．【解答】解：（1）根据已知可得，A（﹣10，0），抛物线顶点C（0，5），设抛物线的表达式为y＝ax2+5，把A（﹣10，0）代入得：100a+5＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+5；（2）设点G的坐标为（t，﹣t2+5），根据题意得HG＝2t，GF＝﹣t2+5，∵EH+HG+GF＝18.4m，∴2t+2（﹣t2+5）＝18.4，解得t1＝6，t2＝14（不合题意，舍去），∴HG＝12m，GF＝3.2m，∴EO＝HG＝6（m），∴AE＝AO﹣EO＝4（m）．答：“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m．【变式6-1】（2023•晋中模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米【答案】A【解答】解：∵AB＝30米，∴当x＝15时，y＝﹣×152＝﹣9，当水位上升5米时，y＝﹣4，把y＝﹣4代入得，﹣4＝﹣x2，解得x＝±10，此时水面宽CD＝20米，故选：A．【变式6-2】（2023•丰润区二模）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）A． B． C．y＝﹣3x2 D．y＝3x2【答案】A【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（﹣3，﹣3）点，故﹣3＝9a，a＝﹣，故y＝﹣x2，故选：A．【变式6-3】（2023•遵化市二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（）A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6【答案】A【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，方法一：∵AB＝DE＝1.5m，∴点B与点D关于对称轴对称，∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，解得x＝0（舍）或x＝3.2，所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，故选：A．【变式6-4】（2023•榆阳区二模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点