阿氏圆（隐圆压轴三）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》（人教版）

专题4.6阿氏圆阿氏圆问题问题：求解“”类加权线段和最小值方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值②造：根据线段比，构造母子型相似③算：根据母子型结论，计算定点位置④转：“”转化为“”问题关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数②系数小于1：内部构造母子型③系数大于1：外部构造母子型【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为．【答案】【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ＝1，连接PQ，AQ，∴，，∴，∵∠PBQ＝∠CBP，∴△BPQ∽△BCP，∴，∴PQ＝CP，∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CP＝AQ＝的值最小，故答案为：．【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（）A． B．6 C．2 D．4【答案】A【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故选：A．【变式1-3】如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解答】解：在BC边上取一点E，使BE＝2，连接DE，如图∵ABCD是正方形，AB＝8∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90°∵BP＝4∴，∴且∠PBC＝∠PBC∴△PBE∽△BCP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6∴DE＝＝10∵PD+PE≥DE∴PD+PE≥10∴PD+PC的最小值是10故选：C．【变式1-4】如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值．【解答】解：如图，在OC上取一点T，使得OT＝，连接PT，BT，OP．由题意C（0，3），E（2，0），A（﹣1，0），B（4，0）∴OE＝2，OC＝3，OB＝4，OA＝1，∴OP2＝OT•OB，∴＝，∵∠POT＝∠COP，∴△POT∽△COP，∴＝＝＝，∴PT＝PC，∴PB+PC＝BP+PT≥BT，在Rt△BOT中，OB＝4，OT＝，∴BT＝＝＝，∴ABP+PC≥，∴BP+PC的最小值为．【变式1-5】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．【答案】．【解答】解：如图，在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴，∵AP＝2，AQ＝1，∴，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QC＝＝＝．，∴PB+PC的最小值．，故答案为：．【变式1-6】如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为2．【答案】2．【解答】解：连接PB，在BC上取一点G，使得BG＝2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．∵PB＝4，BG＝2，BC＝8，∴PB2＝BG•BC，∴＝，∵∠PBG＝∠CBP，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD＝BC＝8，∴∠DCH＝∠ABC＝60°，在Rt△CDH中，CH＝CD•cos60°＝4，DH＝CD•sin60°＝4，∴GH＝CG+CH＝6+4＝10，∴DG＝＝＝2，∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，∴PD﹣PC≤2，∴PD﹣PC的最大值为2．【变式1-7】【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为．【答案】．【解答】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，∵∠CAP＝∠ABC，∠BPA＝∠APC，AB＝2AC，∴△APC∽△BPA，，∴BP＝2AP，CP＝AP，∵BP﹣CP＝BC＝4，∴2AP﹣AP＝4，解得：AP＝，∴BP＝，CP＝，即点P为定点，∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如图，过点P作BC的垂线，交圆P与点A1，此时点A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大，S△ABC＝BC•A1P＝×4×＝．故答案为：．【变式1-8】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为．【答案】．【解答】解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP∴△OPE∽△OCP∴＝＝，∴EP＝2PC，∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，∵DE＝＝＝13，∴PD+PE≥DE＝13，∴PD+PE的最小值为13，∴PC+PD的值最小值为．故答案为：．【变式1-9】如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP＝2，连接AP、BP，则BP+的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，取点T（0，1），连接PT，BT．∵T（0，1），A（0，4），B（4，0），∴OT＝1，OA＝4，OB＝4，∵OP＝2，∴OP2＝OT•OA，∴＝，∵∠POT＝∠AOP，∴△POT∽△AOP，∴＝＝，∴PT＝PA，∴PB+PA＝PB+PT，∵BT＝＝，∴PB+PT≥，∴BP+AP≥∴BP+PB的最小值为．故答案为：．【变式1-10】如图所示，在平面直角坐标系中，A（16，0），B（0，12），点C是第一象限的动点且OC＝6，线段OC绕点O在第一象限转动；（1）在转动过程中，求点C到AB的最近距离＝；（2）试求的最小值＝．【答案】（1）．（2）．【解答】解：（1）如图1，以点O为圆心，6为半径作弧，作OE⊥AB于点E，∵点C是第一象限的动点且OC＝6，∴点C在以点O为圆心，6为半径的圆弧上，在Rt△AOB中，OA＝16，OB＝12，∴AB＝＝＝20，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OE，即16×12＝20×OE，解得OE＝，CE＝OE﹣OC＝﹣6＝．故答案为：．（2）如图2，在OB上取OD＝3，连接CD，AD，∵，，∴，又∵∠DOC＝∠COB，∴△COD∽△BOC，∴，∴CD＝BC，∴AC+BC＝AC+CD，∵在△ACD中，AC+CD＞AD，当点D、C、A三点共线时，AC+CD＝AD，此时AC+CD值最小，在Rt△AOD中，∴AD＝＝＝，∴AC+BC的最小值为．故答案为：．【变式1-11】如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ+BQ的最小值．【答案】（1）﹣2．（2）证明见解析部分．（3）CQ+BQ的最小值为【解答】（1）解：如图1中，过点C作CH⊥BD于H，设EH＝x．∵△ADE是等边三角形，∴AD＝DE＝4，∠AED＝∠CEH＝60°，∵∠CHE＝90°，∴CH＝EH•tan60°＝x，∵CD2＝CH2+DH2，∴25＝3x2+（x+4）2，∴4x2+8x﹣9＝0∴x＝或（舍弃），∴CH＝，∴S△BEC＝×4×＝﹣2．解法二：过点B作BJ⊥AC交AC的延长线于J，过点D作DT⊥AE于T．证明BJ＝DT，求出DT，即可解决问题．（2）证明：如图2中，延长AF到G，使得FG＝AF，连接DG，CG，延长GC交BD于T，过点C作CH⊥BD于H．∵AF＝FG，CF＝FD，∴四边形ACGD是平行四边形，∴AC∥DG，GC∥AD，∴∠CAD+∠ADG＝180°，∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD，∠AED＝∠ADE＝∠EAD＝60°，∴∠AEB＝∠ADG＝120°，∴∠CGD＝∠EAD＝60°＝∠GDT，∴△DGT是等边三角形，∴DG＝DT，∠CTE＝∠CET＝60°，∴△CET是等边三角形，∴CT＝CE，∠CTE＝∠CET＝60°，∵CB＝CD，CH⊥BD，∴BH＝DH，TH＝EH，∴BT＝DE，∴BE＝DT＝DG，∴△AEB≌△ADG（SAS），∴AB＝AG＝2AF．（3）解：如图3中，取AD的中点O，连接OP，OB，OC，取OB的中点J，连接QJ，CJ，过点C作CF⊥AB于F，在JB上取一点T，使得JT＝，连接QT，TC．∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠CFA＝90°，∴四边形AFCD是矩形，∴AD＝CF＝4，∵tan∠CBA＝＝2，∴BF＝2，∵AB＝6，∴AF＝4，∴AD＝AF，∴四边形AFCD是正方形，∵BC＝＝＝2，CO＝＝＝2，OB＝＝4，∴CB＝CO，∵CF＝CD，∠CFB＝∠CDO＝90°，∴Rt△CFB≌Rt△CDO（HL），∴∠BCF＝∠DCO，∴∠BCO＝∠DCF＝90°，∵BJ＝JO，∴CJ＝OB＝2，∴CT＝＝＝，∵BQ＝QP，BJ＝JO，∴QJ＝OP＝，∵QJ2＝2，TJ•JB＝×2＝2，∴QJ2＝JT•JB，∴＝，∵∠QJT＝∠QJB，∴△QJT∽△BJQ，∴＝＝＝，∴QT＝BQ，∴CQ+BQ＝CQ+QT≥CT＝，∴CQ+BQ的最小值为．【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为．【答案】2．版权所有【解答】解：如图，延长OA使AE＝OA，连接ED，EP，OP，∵AO＝OB＝4，C，D分别是OA，OB的中点，∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，∴△OPE∽△OCP，∴＝＝，∴EP＝2DC，∴2PC+PD＝PE+PD，∴当点E，点P，点D三点共线时，2PC+PD的值最小，∴2PC+PD最小值＝＝2．【变式2-1】如图，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A是OC中点，OB＝2，点P是为CD上一点，则PB+2PA的最小值为．【答案】【解答】连接OP，延长OC至点E，使得OE＝6，则＝，，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POE，∴，即2PA＝PE，∴PB+2PA＝PB+PE，∴当E、P、B三点共线时，PB+PE最小，∴PB+2PA的最小值为BE＝＝．故答案为：．【变式2-2】（梁溪区校级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为．【答案】．【解答】解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，∵，∠AOP＝∠POH，∴△AOP∽△POH，∴，∴HP＝3AP，