兰州成功私立中学高中奥数辅导资料

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料

(内部资料)

§19立体图形，空间向量

直线,平面之间的平行与垂直的证明方法

1.运用定义证明(有时要用反证法)；2.运用平行关系证明；

3.运用垂直关系证明；4.建立空间直角坐标系，运用空间向量证明.

例如,在证明:直线a，直线人时.可以这样考虑

(1)运用定义证明直线。与。所成的角为90°;(2)运用三垂线定理或其逆定理；

(3)运用“若aJ■平面a,力ua,则a_Lb”;(4)运用“若力〃。且a_Lc,则a_L8”;

(5)建立空间直角坐标系，证明75=0.

空间中的角和距离的计算

I.求异面直线所成的角

⑴(平移法)过P作。〃a,6〃仇则。与6的夹角就是。与b的夹角；

⑵证明a_L。(或a〃。)，则a与匕的夹角为90°咸0°);

一一71

(3)求。与〃所成的角(。万］)，再化为异面直线。与h所成的角(aG((),一］).

2

2,求直线与平面所成的角

(1)(定义法)若直线a在平面a内的射影是直线瓦则。与b的夹角就是a与a的夹角；

(2)证明(或a〃a),则a与a的夹角为90°(或0°);

(3)求Z与。的法向量百所成的角夕则a与1所成的角为90°-。或。-90°.

3.求二面角

(1)(直接计算)在二面角a-AB-尸的半平面a内任取一点P走A3,过P作AB的垂线，

交AB于C,再过P作夕的垂线，垂足为D,连结CD,则CD_LAB,故NPCO为所求的二面角.

(2)(面积射影定理)设二面角a-AB-fi的大小为6(6丰90°)，平面a内一个平面图形F

的面积为SrF在尸内的射影图形的面积为邑，则cos6=±三.(当。为钝角时取“―”).

(3)(异面直线上两点的距离公式):EF-=d2+nr+rr-2〃?〃cos"其中。是二面角

a—A3—月的平面角,EA在半平面a内且于点A,BF在半平面夕内且FB_L

AB于B,而AB=d,EA=m,FB=n.

（4）（三面角的余弦定理），三面角5-ABC中,ZBSC=e,ZCSA=。，/ASB=九又二面角

3-弘-。=仇则cosejosafspcos1

sin/Jsiny

（5）（法向量法）平面a的法向量点与平面月的法向量％所成的角为。，则所求的二面角为

。（同类）或乃（异类）.

4.求两点A,B间距离

（1）构造三角形进行计算;（2）,导面直线上两点间的距离公式;（3）,求|福卜

5.求点到直线的距离

（1）构造三角形进行计算;（2）转化为求两平行红色之间的距离.

6.求点到平面的距离

（1）直接计算从点到平面所引垂线段的长度；（2）转化为求平行线面间的距离或平行平面间的

距离;（3）（体积法）转化为求一个棱锥的高6=*,其中V为棱锥体积,S为底面面积为底面

上的高.（4）在平面上取一点A,求福与平面的法向量〃的夹角的余弦COS。,则点P到平面

的距离为d=|网Jcosq.

7.求异面直线的距离

（1）（定义法）求异面直线公垂线段的长；（2）（体积法）转化为求几何体的高；

（3）（转化法）转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离；

（4）（最值法）构造异面直线上两点间距离的函数，然后求函数的最小值；

（5）（射影法）如果两异面直线。泊在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线I,

则a与。的距离等于P至I」/的距离；（6）（公式法）d2=EF--nr-n2+2利〃cos0.

8.求平行的线线，线面，面面之间的距离的方法，通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.

三.多面体与旋转体

1.柱体（棱柱和圆柱）

（1）侧面积5厕=c-/（c为直截面周长，/为侧棱或母线长）（2）体积V=Sh（S为底面积,/z为高）

2.锥体（棱锥与圆锥）

⑴正棱锥的侧面积Sw=1c-/?'（c为底面周长,"为斜高）（2）圆锥的侧面积:5侧=7trl

（r为底面周长,/为母线长）（3）锥体的体积:V=1夕?（S为底面面积,h为高）.

3

3.锥体的平行于底面的截面性质:与=（,匕=（.

Sh2V/?3

C4Q

4.球的表面积:S=4IR2；球的体积:V=—;TR3

3

四.解题思想与方法导引

1.空间想象能力;2.数形结合能力;3.平几与立几间的相互转化;4.向量法

例题讲解

1.正四面体的内切球和外接球的半径之比为（）

A,l:2B,l:3C,l:4D,l:9

2.由曲线f=4y,x?=-4>,工=4,》=-4围成的图形绕^轴旋转一周所得的几何体的体

积为匕;满足/+>2<16/2+（卜一2）224»2+（/+2）224的点（苍丁）组成的图形绕

y轴旋转一周所得的几何体的体积为匕，则（）

A，K=g%B,V,=|V2C,l/=KD，M=2%

3.如右图，底面半径r=1,被过A.D两点的倾斜平面所截，截面是离心

率为一的椭圆，若圆柱母线截后最短处=L则截面以下部分的

2

几何体体积是（）

A,—B,27C,TCD,（1+）兀

4.在四面体ABCD中，设A3=1,8=6,直线AB与CD的距离为2,夹角为三厕四

3

面体ABCD的体积等于（）

61百

A,--B,—C,—D,——

2233

5.三个圆柱侧面两两相切，且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是I,

那么，与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是（）

V2-1V5-1

A,V2-1B「6一］

-，2D-

6.四面体ABCD的顶点为A,B,C,D淇6条棱的中点为“］，"2，%，”4，％，”6，共10个

点，任取4个点，则这4个点不共面的概率是（）

572447

A亍B,—C,—D,—

103570

7.正方体ABCD-ABCD的棱长为a,则异面直线C力与BD间的距离等于.

8.正四棱锥S—A3CD中，乙458=45°,二面角A—S3—C为。且cos6=/〃+M,(加，

n为整数)，则m+n-.

9.在正三棱锥P-ABC中,AB=a,Q4=加,过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面

AADE的周长最小时,S^DE=，P到截面ADE的距离为.

10.空间四个球，它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这

四个球都相切，则这个小球的半径等于.

11.三个12x12的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B两

片，如图，把这六片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体,则这个

多面体的体积为・一I\O

12.直三棱柱ABC-ABC中，平面ABC1.平面AB旦4，且AC=

6明,则AC与平面ABC所成的角6的取值范围是.

13.如图，直三棱柱—中,AC=BC,连接

C4,若Afi,18C1,求证:AB}±CA

14.如图，设S—ABCD是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥,

K是棱SC的中点，过AK作平面与线段SB,SD分别交于M,N

(M,N可以是线段的端点).试求四棱锥S-AMKN的体积V

的最大值与最小值.

15.有一个〃的长方体盒子，另有一个(根+2)x(〃+2)x(p+2)的长方体盒子,

其中机〃,〃均为正整数(m<n<p)，并且前者的体积是后者一半，求p的最大值.

课后练习

1.甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一正四面体，碳原子位于该正四

面体的中心，四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一

个点（体积忽略不计）,且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为。，则以四个氢原子为顶点

的这个正四面体的体积为（）

2.夹在两个平行平面之间的球，圆柱，圆锥在这两个平面上的射影都是圆，则它们的体积之

比为（）

A,3:2:1B,2:3:1C,3：6:2D,6:8:3

3.设二面角e—a—力的大小是60°,P是二面角内的一点,P点到。,尸的距离分别为1cm,

2cm，则点P到棱a的距离是（）

2721屈24⑨

A、-----cmB,----cmC,—cmD,-----cm

3333

4.如图,E,F分别是正三棱锥A-BCD的棱AB,BC

6.若线段AB的两端点到平面a的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面a

的位置关系是.

7.若异面直线。力所原角为60°,AB是公垂线,E,F分别是异面直线a/上到A,B距离为

2和平共处的两点，当|£同=3时，线段AB的长为.

8.如图（1）,在直四棱柱A4G。-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件

时，有AC_LA（注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形）

9.如图(2),是一个正方体的展开图，在原正方体中,有下列命题：

①AB与EF所连直线平行；②AB与CD所在直线异面；

③MN与BF所在直线成60°；④MN与CD所在直线互相垂直.

其中正确命题的序号为.(将所有正确的都写出)

10.如图，在AA8C中,AB=AC=13,BC=I0,DE//BC分别交AB,AC于D,E.将AADE沿

DE折起来使得A到4,且A-0E-8为60°的二面角，求4到直线BC的最小距离.

11.如图，已知矩形ABCD中,AB=l,BC=a（a〉0）,PA_L平面ABCD,且PA=1.

(1)问BC边上是否存在点Q使得PQLQD?并说明理由；

(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQJ.QD,求这时二面角Q—PO-A的正切.

课后习题答案

1.过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点0为正四面体的中心,。|为底面ABC的中心,

设正四面体VABC的棱长为“，则AM=—=-AM=—m,

236

22

0A=gAM=*加，Vq=y]VM-O}M=告m，得001=VO「VO=与m—a

在RfAAOq中，AO?=00：+A。：，即/=匹〃―。）2+（也根>，得m=亚。.

则V0]=，有匕Y8c=g.§•加之•sin60°）.VQ=券/选B

温馨提示:正四面体外接球的半径V。呐切球的半径。。尸a:ga=3:1.

2.K:匕：匕=（§]N）：（乃R2.2R）：（].万A2.2R）=2：3：1,选B.

3.设PAJ_棱a于点A,PM1平面a于点M,PN1平面夕于点N,PA=t,ZPAM=8,则

fsina=l厂G

<,、，得43cosa=5sina,有sina=—尸或---尸（舍去），

jsin（60°-a）=2277277

i/ni

所以f=------=------cm,选B.

sina3

4.由DE_LEF,EF//AC,有DE1AC,XAC1BD,DEQBD=D,WAC1¥ffilABD.

由对称性得ZBAC=ACAD=ABAD=90°,于是AB=AC=A。="a.

2

v_1JV2V2.V2_V23v.

%_"£>=—,（-------a------Q）-----〃=—a，选B.

BACD3222224

5.可由两个相同的四棱锥底面重合而成，有2〃=日得r='-,

2

4

外接球的体积V=不选D.

33

6.当|AB|<2时,AB〃a；当|阴=2时,AB〃。或ABJ.a;当|AB|>2时,AB//a或与a斜

交.

7.由砂=E4+AB+5£得怛河=|E4|+|AB|+\BF\+2\EA\-\BF\-COSO

⑴当夕=60°时，有9=4+府『+1+221g得|A@=夜；

⑵当6=120。时,有9=4+„+1—221.3，得廊卜6

8.ACJ.BD.(或ABCD是正方形或菱形等)

9.将展开的平面图形还原为正方体N4CF-EMBD,可得只②，④正确.

10.解:设AABC的高AO交DE于点。］,令AQ=x,

由AO=J132—52=12,有0。1=12-x,

在。0«中,NA。。=60°,有A。？=A+O。？一2•A«•GO•cos60°

得J3(x—6y+36.

当x=6时,A1到直线BC的最小距离为6.

11.解：(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系，设BQ=x，则

Q(l,x,0),P(0,0,1),D(0,a,0)^PQ=(l,x,-l),QD=(-l,a-x,0)

由PQQO,有(1,x,—1)•(—1,a-x,0)=0,得J?—ax+1=0①

若方程①有解，必为正数解，且小于a.由△=(—a)?-4»0,。>0,得aN2.

⑴当a>2时,BC上存在点Q,使PQ1QD；

(ii)当0<a<2时,BC上不存在点Q,使PQ1QD.

(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQLQD,则方程①有两个相等的实根,

这时,△=(一a)?—4=0,得a=2,有x=l.

又平面APD的法向量勺=(1,0,0),设平面PQD的法向量为%=(x,y,z)

而加=(-1,1,0),丽=(0,2,0)-(0,0,1)=(0,2,—1),

«2QD=0ZBf(x,y,z)-(-1,1,0)=0

，解得J=y,z=2y有%=(1,1,2),则

几2•PD=0[(x,y,z)・(0,2,-1)=0

马-n2(1,0,0).(1,1,2)1

COS<〃[,%>=,则tan<q,«2>=石所以二面角

同♦同1V6

Q—PO—A的正切为逐.

例题答案：

(0。)2=(手。一对2

1,B设棱长为。，外接球的半径为R,内切球的半径为r,则R2

解得R邛a,r=冬一当"张，有广R=13

22

2.C设A(O,a)(a>0)，则过A的两个截面都是圆环，面积分别是(4?-x)^=(4-4”)乃和

22222

(V-x2)n-={(4-a)-[2-(a-2)]}%=⑷一4幻",于是匕=匕.

3,B在椭圆中6=r=1,又£=交,得。=应,所求的体积丫=万42.1+1(4.12.2)=2万

a22

4,B过C作CE&4&以ACOE为底面,BC为侧棱作棱柱A8/一£8,则所求四面体的体

积匕等于上述棱柱体积匕的g,而ACDE的面积S=；CExC。xsinZECD,AB与CD

的公垂线MN就是棱柱ABF-ECD的高，于是％；MNxCExCDxsin4ECD=

』x2xlx6x且=3,因此乂=-V,=-.

2221322

5,A三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线，而异面直线的距离都为2,则所求球的半径

为

r=V2-l.

C^-6C^-6-3_14147

6,D

~C^-270-70

4设E是CD'上的点，过E作EH_L£>C于H,所以EH_L面ABCD,过H在面ABCD

内作HF_L6O,连接EF,所以EFJ.BD,令£)“=二“£=。一%，/7/=—X,所以EF=

2

J(a-x)2+(^-x)2=yj^x2-2ax+a2=+-^->等a.

8,5因各侧面为全等的等腰三角形.在ASAS内作高AE,则CE也是A58C的高，故

145°

^4£。=9.设5?1=1则4£：=。£：=7，/18=8。=2411-^-,4。2=482+8。2

=8而殍=4(1345。)=4-2亚能=丝黑二”=-3+瓜

得用+〃=—3+8=5.

9,拽5a2.巫a将三棱锥的侧棱PA剪开，当AADE的周长最小时，其展开图如图

645

^ADE的周长即是展开图中线段AA'的长.易证^ABD

sAPAB，又PA=2AB=2a,故AD=AB=2BD=a,

3PD3

PD=PB-BD=-a,DE=——BC==a.MDE中,

2PB4

I-i7J55

DE上的高A”=JAQ2—(一。E)2=*a于是

V28

22

SMDE=-xAHxDE=之叵«；从P向底面作高PO.则P0=yJp^-AO

264

qPD2Q0=2x姮a3=之叵a3设p到截面的距离

又口"DE_ru,_二得丫=-V

S~PB2~16^A-PDE\6A-PBC

SPBC161264

为d'则匕"。-==；小SM.=鸣°'于是d=?..

10,4设半径为3的球心为A,B,半径为2的球心为C,D.则易知

AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为O,半径为r，则O在

四面体ABCD内且AO=BO=3+r,CO=DO=2+r.取AB中点E,连结

CE,DE,则CE1AB,DE_LAB,故平面CDE为线段AB的垂直平分面

a,所以O在平面CDE内，又由OC=OD=2+r知O在CD的垂直平

分面p内，故0在等腰△CED底边CD上的高EF±（F为CD中点），易算出ED=EC=

32-32=4,得AECD为等边三角形.于是EF=—ED=26.而OF=y/0C2-CF2

2

=J(2+r)2-22=〃(4+r).0E=JoV-A炉=J(3+»2-32="(6+r)，代入OE+OF

=EF=25/3得Jr(4+r)+Jr(6+r)=2G，解得r=4.

123

11,864将几何体补成一个棱长为12的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半，为一.

2

12,0°<6<30°作AD_LA由于D,易证AD_L平面4BC,所以NACD=6.设例=a,

AB=x，则AD=—-=•sin6,故犬=即三里.易证BC，平面片ABB,,

y/a2+x2l-3sin-0

Q2•2zjt

故NC8A=90°,从而AB＜AC,即x＜Ga,于是04上一空二＜3"2,卜皿4＜上,

l-3sin“e2

又0°＜夕＜90°,得0°＜夕＜30°.

13,证明:设D,。分另ij为AB,A4的中点.连结CD,G。及B。，£>A.因为BD/Jp、人,所以

四边形80同。为平行四边形，得因AC=BC,于是用G=£A.又D,。分别为

AB,A4的中点，故CD1AB,G。1AB|，而AB|在平面ABC（或A与£）内的射影为AB

（或仁耳），得AB,±CD,ABt1CQ,又已知ABt1BQ,所以1平面BCQ，从而的

.LBD］，又BD\HDA{，所以ABt_L.又ABt,LQD,，得AB{_L平面A,CD,从而得证.

14,解:为了建立V与原四棱锥5-ABC。的关系.我们先引用

下面的事实：

（如图）设为,用,G分别在三棱锥S-ABC的侧棱SA,SB,SC上，

又S-A用G与S—ABC的体积分别是乂和V,则

V；SA-5B.-SC,

V-SASBSC'

事实上，设C,G在平面SAB的射影分别是H,”「则C旦=/

11CHSC

又怒=骋'所以*端尸=塞舒.下面回到原题.

3ASAB

设型=x?=y,因S—ABC。的体积为匕=_Lx3x22=4.于是由上面的事实有

SBSD3

4=匕-,皿1匕-由，匕-AMK得V=SM-SM&4।SMSNSK

lvV$_ABDVSWBD匕W匕-皿''2SBSDSASBSDSC

SMSKSASN-SKSA+；个=于是y