复变函数课件6-2分式线性映射

复变函数课件6-2分式线性映射目录contents分式线性映射的定义和性质分式线性映射的导数和积分分式线性映射的应用分式线性映射的扩展和推广分式线性映射的习题和解答分式线性映射的定义和性质01分式线性映射是复平面上的一个变换，由一个复数域上的非零复数和复平面上的一个点通过特定的运算规则构成。分式线性映射由形如$f(z)=frac{az+b}{cz+d}$的函数表示，其中$a,b,c,d$是复数，并且$ad-bcneq0$。分式线性映射的定义运算规则定义分式线性映射的性质分式线性映射满足线性性质，即对于任意两个复数$z_1,z_2$和任意实数$k$，有$f(kz_1+z_2)=kf(z_1)+f(z_2)$。连续性和可微性分式线性映射在复平面上通常是连续的，并且在除去有限个点之外是可微的。保角性分式线性映射保持角度不变，即如果$z_1$和$z_2$之间的角度为$theta$，那么$f(z_1)$和$f(z_2)$之间的角度也为$theta$。线性性质平移将复平面上的点$z$向左或向右平移一个单位，对应的分式线性映射为$f(z)=z+1$或$f(z)=z-1$。旋转将复平面上的点逆时针旋转$theta$角度，对应的分式线性映射为$f(z)=e^{itheta}z$。分式线性映射的例子分式线性映射的导数和积分02计算方法分式线性映射的导数可以通过求极限的方法计算，具体计算过程涉及到复平面上的点、向量、极限等概念。应用分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等方面有重要应用。定义分式线性映射的导数是指在复平面上的每一点处，该映射对复平面上任意一点的变化率。分式线性映射的导数

分式线性映射的积分定义分式线性映射的积分是指在复平面上的一条曲线上的积分，表示该映射在曲线上的累积效果。计算方法分式线性映射的积分可以通过定积分的方法计算，具体计算过程涉及到复平面上的曲线、定积分等概念。应用分式线性映射的积分在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等方面有重要应用。分式线性映射的导数和积分的例子例子1考虑函数$f(z)=frac{z^2}{z-1}$，求其在点$z=1$处的导数。例子2考虑函数$f(z)=frac{1}{z}$，求其在曲线$|z|=1$上的积分。分式线性映射的应用03分式线性映射在几何学中的应用分式线性映射可以用于研究几何图形之间的变换关系，例如平面上的相似变换、仿射变换等。分式线性映射可以帮助理解几何学中的一些基本概念，如距离、角度、面积等在变换下的表现形式。在量子力学中，波函数通常通过分式线性变换进行描述，分式线性映射可以用于理解波函数的性质和行为。在光学中，分式线性映射可以用于描述光在不同介质之间的传播和变换，例如折射和反射等现象。分式线性映射在物理学中的应用分式线性映射在工程学中的应用在电路分析中，分式线性映射可以用于描述电路中电压和电流的分布和变化，帮助工程师理解和设计电路。在图像处理中，分式线性映射可以用于图像的缩放、旋转和平移等操作，实现图像的变换和编辑。分式线性映射的扩展和推广0403参数的扩展引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射的灵活性和适用性。01定义域的扩展将分式线性映射的定义域从有限区域扩展到无限区域，使其能够处理更广泛的函数。02值的扩展将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理复数函数的变换。分式线性映射的扩展将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间，以处理更复杂的几何变换和函数变换。推广到高维空间将分式线性映射的非线性特性进一步发挥，以实现更复杂的非线性变换。推广到非线性映射将分式线性映射离散化，以处理离散数据和数字信号的变换。推广到离散化形式分式线性映射的推广通过扩展和推广分式线性映射，可以实现图像的缩放、旋转和平移等几何变换，以及图像增强和去噪等处理。分式线性映射在图像处理中的应用在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输效率。分式线性映射在信号处理中的应用分式线性映射扩展和推广的例子分式线性映射的习题和解答05题目1设$f(z)=frac{z^2-1}{z(z-1)}$，求$f(z)$在$z=1$和$z=0$的留数。题目2设$f(z)=frac{1}{z^2-4z+3}$，求$f(z)$在$z=2+i$和$z=2-i$的留数。题目3设$f(z)=frac{1}{z^2-2z+2}$，求$f(z)$在$z=1+i$和$z=1-i$的留数。分式线性映射的习题030201010203解答1对于题目1，首先化简$f(z)=frac{z^2-1}{z(z-1)}=frac{(z+1)(z-1)}{z(z-1)}=frac{z+1}{z}$，然后根据留数的定义，得到在$z=1$和$z=0$的留数分别为0和-1。解答2对于题目2，首先化简$f(z)=frac{1}{z^2-4z+3}=frac{1}{(z-1)(z-3)}=frac{1}{2}left(frac{1}{z-1}-frac{1}{z-3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z=2+i$和$z=2-i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$-frac{i}{4}$。解答3对于题目3，首先化简$f(z)=frac{1}{z^2-2z+2}=frac{1}{(z-1)^2+1}=frac{1}{2}left(frac{1}{z-1}-frac{1}{z-1+i}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z=1+i$和$z=1-i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$-frac{i}{4}$。分式线性映射的解答VS设$f(z)=frac{sinz}{z^3}$，求$f(z)$在原点处的留数。分析首先化简$f(z)