2023-2024学年九年级数学《考点·题型·难点》期末高效复习（人教版）第07讲：相似（必刷9大考题+9大题型）解析版

第第页第07讲：相似【考点归纳】考点一：比例的性质考点二：相似图形和性质考点三：平行线分线段成比例定理考点四：相似三角形的判定考点五：相似三角形的性质考点六：相似三角形的实际应用考点七：位似考点八：相似三角形的动点问题考点九：相似三角形的综合问题【知识归纳】1.相似三角形：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形叫做相似三角形。对应边的比叫做相似比。2.相似三角形的判定方法:根据相似图形的特征来判断。（对应边的比相等，对应角相等）

eq\o\ac(○,1).平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；（预备定理）

eq\o\ac(○,2).如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；（“角角”）

eq\o\ac(○,3.)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；（“边比角边比”）

eq\o\ac(○,4.)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；（“边边边比”）3.直角三角形相似判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。（“斜边直角边比”）

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。4.相似三角形的性质:eq\o\ac(○,1).相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

eq\o\ac(○,2.)相似三角形周长的比等于相似比。

eq\o\ac(○,3).相似三角形面积的比等于相似比的平方。5、（1）位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（2）位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．【题型归纳】题型一：比例的性质1．（2023上·湖南株洲·九年级校考期末）已知，则的值为(

)A． B． C．2 D．【答案】B【分析】本题考查比例的性质，分式的约分等知识，设，求出a、b、c，再代入中约分即可得解，运用“设k法”求解是解题的关键．【详解】解：设，则，∴，故选：B．2．（2023下·安徽安庆·九年级统考期末）已知，则（

）A．−3 B．3 C． D．【答案】C【分析】由，可得，再代入计算即可．【详解】解：∵∴，∴；故选C．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟练地把比例式化为等积式是解本题的关键．3．（2022上·广东佛山·九年级校考期末）已知，若，则（

）A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A【分析】利用等比性质计算即可．【详解】∵，∴，∵，∴，故选A．题型二：相似图形和性质4．（2023上·山西阳泉·九年级统考期末）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据图形相似的概念进行解答即可．【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似，故选：A．【点睛】本题考查了两个图形的相似，掌握相似多边形的概念（即边数相同的两个多边形，如果对应角相等，对应边成比例）是解题的关键．5．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形的长，宽，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．【详解】解：设矩形的长，宽，则，矩形与矩形相似，，即，即．．故选：A．6．（2023上·浙江嘉兴·九年级统考期末）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是25，则四边形的面积是（

）A．4 B．10 C． D．【答案】A【分析】根据题意可得四边形与四边形相似比为，求出，即可得出答案．【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，，∴四边形与四边形相似比为，∴，∵四边形的面积是25，∴四边形的面积为，故A正确．故选：A．题型三：平行线分线段成比例定理7．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和，已知，若，则的长为（

）

A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据题意可得，设，则，由此即可求解，掌握平行线的分线段成比例，比例的性质，解方程的方法是解题的关键．【详解】解：根据题意可得，，设，则，∴，解得，，∴的长为，故选：．8．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【详解】解：A．，则，正确，故本选项不符合题意；B．，则，正确，故本选项不符合题意；C．，则，错误，故本选项符合题意；D．，则，正确，故本选项不符合题意；故选：C．9．（2023上·湖南娄底·九年级统考期末）如图所示，直线，另两条直线分别交于点及点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，进而求出，再根据线段之间的关系逐一判断即可．【详解】解：∵，∴，即，∴，∴，，∴，∴四个选项中只有A选项符合题意，故选A．题型四：相似三角形的判定10．（2023上·吉林·九年级统考期末）如图，是的边上一点，则能得到的条件为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，判断即可．【详解】解：由图可得：，，即时，．故选：A．11．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在中，点P在边上，则在下列条件中，不能证明相似的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：有两组角相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，熟记判定定理是解题的关键．【详解】解：A．当时，，，故A不符合题意；B．当时，，，故B不符合题意；C．当时，即，而，∴所以不能判定和相似，故C符合题意．D．当时，∵，，故D不符合题意．故选：C．12．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，在中，是边上的点，下列条件中不能判定和相似的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据有两个角对应相等的两个三角形相似，判定A、B选项；根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，判定C、D选项．【详解】解：A、∵，，∴，故此选项不符合题意；B、∵，，∴，故此选项不符合题意；C、∵，，∴不能判定和相似，故此选项符合题意；D、∵，，∴，故此选项不符合题意；故选：C．题型五：相似三角形的性质13．（2023上·海南海口·九年级校联考期末）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（）

A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】先利用等腰三角形的性质可得，再利用等量代换可得，然后利用两角相等的两个三角形的相似证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．14．（2022上·广西百色·九年级统考期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．【详解】解：∵△ABC∽△ADB，∴，∴AB2=AC•AD．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键．15．（2022下·山东威海·八年级统考期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由四边形是矩形，点的坐标为可得，由矩形与矩形是位似图形可得，，从而得到，，由相似三角形的性质可得，，进行计算可得，从而得到答案．【详解】解：四边形是矩形，点的坐标为，，矩形与矩形是位似图形，，，，，，，点的横坐标为，四边形是矩形，，即，，解得：，，故选：B．题型六：相似三角形的实际应用16．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：依题意，，根据物距为，像距为，得，即可作答．【详解】解：如图：依题意，∵物距为，像距为∴∵蜡烛火焰倒立的像的高度是∴∴故选：A17．（2023上·山西太原·九年级期末）如图，为了确定路灯灯泡的位置，小明与小亮选取了长1米的标杆，小明测得标杆在路灯下的影长米，从点B出发沿着所在直线行走7.5米时恰好在路灯的正下方．据此可得，路灯灯泡离地面的距离为（

）A．5.6米 B．6米 C．6.4米 D．7.5米【答案】B【分析】如图，为灯泡离地面的高度，证明，进行求解即可．【详解】解：如图，为灯泡离地面的高度，由题意，得：，∵，∴，∴∴，解得（米）；所以路灯灯泡离地面的距离为6m．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是证明三角形相似．18．（2022上·湖南衡阳·九年级统考期末）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为（）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，可得，可得，进而得出即可．【详解】解：如图，，则，∴，，即，解得，故选C．题型七：位似19．（2023上·山西长治·九年级校联考期末）如图，老师上课时用投影仪将四边形投影到屏幕上，占O为投影的光源，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了位似变换．熟练掌握位似的判定与性质是解题的关键．由题意知，四边形与四边形位似，O为位似中心，根据，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，由题意知，四边形与四边形位似，O为位似中心，∴，故选：A．20．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为15，则的周长为（

）

A．10 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形∴的周长为15，故选B．【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．21．（2023上·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似图形的面积比等于相似比的平方可得答案，熟记位似图形的性质是解本题的关键.【详解】解：∵与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，∴，∴，∴；故选B题型八：相似三角形的动点问题22．（2022上·安徽马鞍山·九年级校考期末）如图，在钝角三角形ABC中，，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是（）A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．【详解】解：两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似，则①当D与B对应时，有，∴，∴，∴；②当D与C对应时，有，∴，∴，∴，∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是1.5秒或2.4秒，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．23．（2020·山西·校联考一模）如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（

）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对【答案】C【分析】首先设秒钟与以、、为顶点的三角形相似，则，，，然后分两种情况当和当讨论．【详解】解：设运动时间为秒．，，，当，，即，解得；当，，即，解得，综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想．24．（2022上·河南郑州·九年级郑州中学校考期末）如图，中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿向点C运动，直到它们都到达点C为止．线段PQ的长度为y（cm），点P的运动时间为t（s），则y与t的函数图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理可得，然后分两段：当点Q在AB边上时，，当点Q在BC边上时，，分别求出函数关系式，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，根据题意得：点Q到达点B的时间是，到达点C的时间为，点P到达点C的时间为，当点Q在AB边上时，，，如图，过点Q作QD⊥AC于点D，则DQ∥BC，∴△ADQ∽△ACB，∴，∴，解得：，，∴，∴，即；当点Q在BC边上时，，，，如图，∴，，∴，即，综上所述，y与t的函数关系式为，∴函数图象第一段为过原点的直线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的线段．故选：A题型九：相似三角形的综合问题25．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点F，BD＝AD，BE＝EC．

(1)求证：△ABD∽△CBE；(2)若CD＝CF，试求∠ABC的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到；（2）设∠B＝x，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答．【详解】（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE

∴∠BAD＝∠BCE而∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE（2）解：设∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，∴∠ADC＝又∵CD＝CF∴∠ADC＝∠DFC＝

∴

∴即

【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．法的应用是解题关键．26．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在中，，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，使．

(1)求证：；(2)当P为中点时，求的值；(3)当时，求的值．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键.（1）先根据等边对等角证明，再根据三角形外角的性质证明即可证明，即可得证；（2）先求出、的长，然后利用相似三角形的性质求解即可；（3）如图所示，过点A作于D，先利用三线合一定理求出，由勾股定理得：，再根据相似三角形的性质得到，证明，求出，由勾股定理得：，即可求解.【详解】（1）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵，P为中点，∴，∵，∴，即，∴；（3）解：如图所示，过点A作于D，

∵在中，，∴，∴由勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴由勾股定理得：，∴；27．（2021·浙江宁波·统考模拟预测）定义：三角形内部有一小三角形与原三角形相似，其中小三角形的三个顶点在原三角形的三边上（顶点可重合），则称这两个三角形是星相似三角形例如：如图1，中，，和是星相似三角形．如图2，是的中点，以为直径画圆，交，于点，，．（1）①若，求的长．②设，，试写出与的函数关系式．（2）若，则与哪个三角形星相似，并证明．（3）在（2）的条件下，求的长．【答案】（1）①；②；（2）△CEG与△FEC星相似，证明见解析；（3）．【分析】（1）①利用勾股定理和等面积法即可求得CE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD，在利用勾股定理即可求得DE；②证明△FOG∽△EDG，可得，再解直角三角形求得DE和FO，即可求得与的函数关系式；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边对等角可得∠BCE=∠CGE，从而可证明△FEC∽△CEG，即△CEG与△FEC星相似；（3）可利用三角形外角的性质证明∠GCE=∠GDE，从而可得EC=ED=m，从而可得，，解直角三角形即可得出．【详解】解：（1）①在Rt△ABC中，，，∴，∵D为AB的中点，∴，∵，在Rt△ABC中，，即，解得，∴；②连接OF，∵OF=OC，∴∠DCB=∠OFC，由①可得BD=CD，∴∠DCB=∠B，∴∠OFC=∠B，∴△FOG∽△EDG，∴，∵CB=x，∴，，，，即，解得，，∴；（2）△CEG与△FEC星相似，由（1）可知OF//CD,又∵O为CD的中点，∴OF为△CBD的中位线，F为BC的中点，∵∠CEB=180°-∠CEA=90°,∴,∴∠BCE=∠FEC，∵CG=CE，∴∠CGE=∠FEC，∴∠BCE=∠CGE，∵∠FEC=∠FEC，∴△FEC∽△CEG，∴△CEG与△FEC星相似；（3）∵CD=BD，BF=EF，∴∠B=∠FCD=∠DEG，∵∠FCE=∠FCD+∠GCE，∠CGE=∠DEG+∠GDE，∴∠GCE=∠GDE，∴EC=ED，设CE=m，则DE=m，，，，即，解得．【强化精练】一、单选题28．（2023上·甘肃平凉·九年级校考期末）如图，在中，，且，则的值为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由，根据平行线分线段成比例定理得到，．【详解】解：，，，故选：A．29．（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，在平行四边形中，，E是的中点，在线段上取一点F，使，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，可求出的长，根据相似三角形的性质即可求解，掌握平行四边形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．【详解】解：已知四边形是平行四边形，，，点是的中点，∴，，，若，∴，∴，故选：．30．（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理，根据网格中的数据求出，，的长，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．【详解】解：根据题意可得：，，，A．由勾股定理求得三边分别为，1，，，∵，∴图中的三角形（阴影部分）与相似；B．由勾股定理求得三边分别为，，3，∵，∴图中的三角形（阴影部分）与不相似；C．由勾股定理求得三边分别为1，，，∵，∴图中的三角形（阴影部分）与不相似；D．由勾股定理求得三边分别为2，，，∵，∴图中的三角形（阴影部分）与不相似；故选：A．31．（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，在中，，，的延长线交的延长线于N，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先得到，再由平行线的性质得到，由此可证明得到，再证明得到，从而得到，由此可得答案．【详解】解；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，故选B．32．（2023上·山东青岛·九年级期末）如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解答本题的关键．设：点坐标为，，利用函数关系式表示出，，，，，利用三角形的面积公式，由此得到答案．【详解】解：设点坐标为，，则，，点的纵坐标为，点的横坐标为，，，，，，，，，，故选：．33．（2023上·四川达州·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或根据关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把点A的横纵坐标乘以或得到其对应点的坐标．【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，而点A坐标为，∴点A的对应点的坐标是或．故选：D．34．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，四边形中，对角线和相交于点，，（字母“”表示面积），则的值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，过点C作交延长线于点F，过点E作，交于点H，根据，得到，进而得到，即，根据，易得，即可得出结果．【详解】解：如图，过点C作交延长线于点F，过点E作，交于点H，，，，即，，，中边上的高和中边上的高之比为，，故选：C．35．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在中，，于点D，于点E，与交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②【答案】C【分析】根据中，，于点D，得到是等腰直角三角形，得到，根据于点E，，得到，根据，推出，得到，①正确；极端情况，当时，根据，得到A、E、F三点重合，得到，得到，②不正确；根据，得到点D、E都在以为直径的圆上，推出，结合，推出，③正确；根据,，得到，得到，推出，④正确．正确的有①③④．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形，圆周角定理，圆内接四边形．解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，圆周角定理推论，圆内接四边形性质．【详解】∵于点D，∴，∵，∴，∴，∴，∵于点E，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴①正确；②如图，当时，由于，∴A、E、F三点重合，此时，∴，∴②不正确；③∵，∴点D、E都在以为直径的圆上，∴，∵，∴，∴③正确；④∵,，∴，∴，∴，∴④正确．∴正确的有①③④．故选：C．二、填空题36．（2023上·安徽六安·九年级校考期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为．【答案】【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．根据，即可作答．【详解】解：∵P为的黄金分割点∴故答案为：37．（2023上·吉林·九年级校考期末）如图，与位似，点为位似中心，点为的中点，则与的周长比为.

【答案】【分析】本题考查了位似图形的性质，根据周长比等于相似比，相似比等于位似比，即可求解．【详解】解：∵点为的中点，∴∵与位似，∴位似比为：则与的周长比为，故答案为：．38．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在中，点是中点，连接，交于点，如果的面积为，则的面积为．【答案】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质应用，由四边形是平行四边形，易证得，又由点是中点，的面积为2，即可根据相似三角形的面积比是相似比的平方，求得的面积，继而求得答案．【详解】解：四边形是平行四边形，，，∴，故，点是的中点，，，的面积是2，，，，．故答案为：24．39．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）若，则．【答案】/0.75【分析】本题考查比例的性质，主要利用了等比性质，解题的关键是熟练掌握等比性质．【详解】解：∵，∴．故答案为：．40．（2023上·山西长治·九年级校联考期末）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为E，则的长为．【答案】3【分析】如图，作于，则，由勾股定理得，，由，求得，由勾股定理得，，则，由，可得，证明，则，计算求解即可．【详解】解：如图，作于，∵，，∴，由勾股定理得，，∵，∴，解得，，由勾股定理得，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，故答案为：3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题41．（2023上·广东揭阳·九年级校考期末）已知：如图，在中，D是上一点，E是上一点，且．

(1)求证：；(2)若求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，数形结合是解题关键．（1）由是公共角，可证得；（2）由，，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长．【详解】（1）证明：，．（2）42．（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，方格纸中的每个小正方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连接为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为．

(1)将沿轴向左平移3个单位，得到，画出；(2)将以为位似中心放大2倍，得到，画出；(3)写出、的坐标．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)的坐标为：；的坐标为：．【分析】考查画关于平移，位似的图形；得到关键点的对应点的位置是解决本题的突破点．（1）把A、B、C三点向左平移3个单位，得到相应的对应点，顺次连接即可；（2）延长到，使，延长到，使，连接即可；

（3）根据各点所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．【详解】（1）解：如图，．

（2）解：如图所示；（3）解：的坐标为：；的坐标为：．43．（2023上·广东揭阳·九年级校考期末）已知：如图，的顶点P在正方形的边上，，经过点C，与交于点Q．(1)在不添加字母和辅助线的情况下，图中；(2)若P为的中点，连接，求证：；(3)若时，试探究线段与线段的数量关系，并加以证明．【答案】(1)(2)见解析(3)，见解析【分析】（1），根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案；（2），延长交的延长线于点E，先证明，可得，，再根据线段垂直平分线的性质得，进而得出答案；（3），由（1）可知，可得，再根据，求出，即可得出答案.【详解】（1）．∵，∴，，∴．∵，∴．故答案为：；（2）证明：延长交的延长线于点E．∵P为中点，∴．∵是正方形，∴．∵，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．（3）当时，有．证明：由（1）可知，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等，过中点构造全等三角形是证明线段相等的常用方法．44．（2023上·甘肃平凉·九年级校考期末）如图，在中，过点B作，垂足为点E，连接，点F为上一点，且．

(1)求证：．(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质：（1）根据平行四边形性质得，推，再根据，证三角形相似，用的是两角对应相等两个三角形相似；（2）先根据，推，在直角三角形中，求出，的长，再根据，推比例线段，把已知的线段代入计算即可．【详解】（1）∵四边形为平行四边形，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴,∵，∴，∴，解得．45．（2023上·河南郑州·九年级校考期末）日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，与相切于点C，点A，B，F均在上，且为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线），的延长线分别与相交于点E，D，连接，已知．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则，再由平行线的性质可得；（2）连接，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【详解】（1）证明：∵AB为圆O直径，∴，∴，∵，∴．即；（2）解：连接，如图所示，∵，∴，∵，∴，∴，∵是圆O的切线，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴．46．（2023上·四川达州·九年级校考期末）在中，点D是边上的点，连接．

(1)如图①，若平分，过点A作于点E，，，，求的长．(2)如图②，若是边上的中线，，过点A作于点E，求证：．(3)如图③，若，，是边上的中线，点是的中点，连