浙江省杭二中2023-2024学年数学高一上期末联考试题含解析

浙江省杭二中2023-2024学年数学高一上期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈048）A.1033 B.1053C.1073 D.10932．垂直于直线且与圆相切的直线的方程是AB.C.D.3．设集合，若，则实数（）A.0 B.1C. D.24．，，，则（）A. B.C. D.5．如果，，那么（）A. B.C. D.6．已知角的终边经过点，则A. B.C.-2 D.7．直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是A. B.C. D.8．“是第一象限角”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．满足2，的集合A的个数是A.2 B.3C.4 D.810．已知，那么（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知，则__________.12．设函数和函数，若对任意都有使得，则实数a的取值范围为______13．若函数的定义域为，则函数的定义域为______14．已知圆心角为2rad的扇形的周长为12，则该扇形的面积为____________.15．已知，且，则______三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，且，设.（1）当时，求证：；（2）求的最大值.17．已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数的单调性，并证明；18．若函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）若函数在区间上的最小值是，求实数的值.19．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，1你认为谁选择的模型较好？需说明理由2至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题20．计算：（1）；（2）若，求的值21．已知(1)化简(2)若是第三象限角,且，求的值

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、D【解析】设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.2、B【解析】设所求直线方程为3x+y+c=0，则d=，解得d=±10.所以所求直线方程为3x+y+10=0或3x+y－10=0.3、B【解析】可根据已知条件，先求解出的值，然后分别带入集合A和集合B中去验证是否满足条件，即可完成求解.【详解】集合，，所以，①当时，集合，此时，成立；②当时，集合，此时，不满足题意，排除.故选：B.4、B【解析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出，，的大小关系【详解】，，，故选：5、D【解析】根据不等式的性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】因为，所以，故A错误；因为，当时，得，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于简单题.6、B【解析】按三角函数的定义，有.7、A【解析】如图所示，直线过点，圆的圆心坐标直线与曲线相切时，，直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是考点：直线与圆相交，相切问题8、B【解析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案.【详解】若是第一象限角，则，无法得到一定属于，充分性不成立，若，则一定第一象限角，必要性成立，所以“是第一象限角”是“”的必要不充分条件.故选：B9、C【解析】由条件，根据集合的子集的概念与运算，即可求解【详解】由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个故选C【点睛】本题主要考查了集合的定义，集合与集合的包含关系的应用，其中熟记集合的子集的概念，准确利用列举法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题10、B【解析】先利用指数函数单调性判断b，c和1大小关系，再判断a与1的关系，即得结果.【详解】因为在单调递增，，故，即，而，故.故选：B.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、3【解析】由同角三角函数商数关系及已知等式可得，应用诱导公式有，即可求值.【详解】由题设，，可得，∴.故答案为：312、【解析】先根据的单调性求出的值域A，分类讨论求得的值域B，再将条件转化为A，进行判断求解即可【详解】是上的递减函数，∴的值域为，令A=，令的值域为B，因为对任意都有使得，则有A，而，当a=0时，不满足A；当a>0时，，∴解得；当a<0时，，∴不满足条件A,综上得.故答案为.【点睛】本题考查了函数的值域及单调性的应用，关键是将条件转化为两个函数值域的关系，运用了分类讨论的数学思想，属于中档题13、【解析】利用的定义域，求出的值域，再求x的取值范围.【详解】的定义域为即的定义域为故答案为：14、9【解析】根据题意条件，先设出扇形的半径和弧长，并找到弧长与半径之间的关系，通过已知的扇形周长，可以求解出扇形的半径和弧长，然后再利用完成求解.【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得，圆心角，则，因为扇形的周长为12，所以，所以，，则.故答案为：9.15、##【解析】由，应用诱导公式，结合已知角的范围及正弦值求，即可得解.【详解】由题设，，又，即，且，所以，故.故答案为：三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）见解析（2）【解析】（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，即得，得证；（2）由三角函数的定义可设，，再利用三角函数的图像和性质求解.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，.当时，，则，，∴.∴.（2）由三角函数的定义可设，则，，，从而，所以，因为，故当时，取得最大值2.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查向量垂直的坐标表示，考查平面向量的数量积运算和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17、（1）；（2）是R上的增函数，证明详见解析.【解析】（1）由奇函数定义可解得；（2）是上的增函数，可用定义证明.【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，所以对任意，，即，所以，因为，所以，即.（2）由（1）知，则是上的增函数，下用定义证明.任取，且，，当时，，又，所以，即，故是上的增函数.18、（1）（2）【解析】（1）当时，，当时，函数的值最小，求解即可；（2）由于，分，，三种情况讨论，再结合题意，可得实数的值【小问1详解】解：依题意得若，则又，所以的值域为所以当时，取得最小值为小问2详解】解：∵∴所以当时，，所以，不符合题意当时，，解得当时，，得，不符合题意综上所述，实数的值为.19、（1）应将作为模拟函数,理由见解析；（2）个月.【解析】根据前3个月的数据求出两个函数模型的解析式，再计算4，5，6月的数据，与真实值比较得出结论；由（1），列不等式求解，即可得出结论【详解】由题意，把，2，3代入得：，解得，，，所以，所以，，；把，2，3代入，得：，解得，，，所以，所以，，；、、更接近真实值，应将作为模拟函数令，解得，至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及指数与对数的运算性质的应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，求解函数的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20、（1）（2）【解析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换