浙教版七年级数学上册期末专题复习 第12讲图形的初步认识（二）（13大考点）（原卷版+解析版）

第12讲图形的初步认识（二）（13大考点）考点考向考点考向一.角的概念（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．

（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．

（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．（5）比较角的大小有两种方法：

①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．

②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．

二.角的计算（1）角的和差倍分

①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．

（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．

（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．三.余角与补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．四.对顶角与邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．五.平行：（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．六.垂直：（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．考点精讲考点精讲一．角的概念（共2小题）1．（2021秋•定海区期末）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB、∠O三种方法表示同一角的图形是（）A． B． C． D．2．（2021秋•上虞区期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．二．钟面角（共1小题）3．（2021秋•余姚市期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是度，15分钟后时针与分针的夹角是度．三．方向角（共4小题）4．（2021秋•龙泉市期末）如图，点A在点O的南偏东20°方向上，且射线OA与OB的夹角是110°，则射线OB的方向是（）A．北偏东70° B．北偏东60° C．北偏东50° D．北偏东40°5．（2021秋•椒江区期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏西10°的方向上，同时货轮B在它北偏东60°的方向上，则此时∠AOB的大小是（）A．140° B．130° C．120° D．100°6．（2021秋•台州期末）如图，点A在点O的东南方向，点B在点O的北偏东50°方向，则∠AOB＝°．7．（2021秋•定海区期末）如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是．四．度分秒的换算（共5小题）8．（2021秋•钱塘区期末）若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于．9．（2021秋•柯桥区期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（）A．27°40′ B．57°40′ C．58°20′ D．62°20′10．（2021秋•椒江区期末）48°21′+67°9′＝°．11．（2021秋•柯桥区期末）把35°12'化为以度为单位，结果是．12．（2021秋•滨江区期末）若∠A＝36°18′，则90°﹣∠A＝．（结果用度表示）五．角的计算（共9小题）13．（2021秋•海曙区期末）如图，将三个三角板直角顶点重叠在一起，公共的直角顶点为点B，若∠ABE＝45°，∠GBH＝30°，那么∠FBC的度数为（）A．15° B．30° C．45° D．60°14．（2021秋•嘉兴期末）如图放置一副三角板，若∠BOC＝∠COD，则∠AOD的度数是．15．（2021秋•定海区期末）计算：35°49'+44°26'＝．16．（2021秋•江北区期末）如图，∠AOB＝∠COD＝120°，若∠BOC＝108°，则∠AOD的度数是．17．（2021秋•温州期末）如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）A．20° B．30° C．35° D．45°18．（2021秋•青田县期末）如图，∠COD是Rt∠，∠BOD＝35°，则∠AOC＝．19．（2021秋•金华期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．20．（2021秋•新昌县期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．（1）如图，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．（2）当∠A′EB′＝∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．21．（2021秋•湖州期末）（1）如图1，点D是线段AC的中点，且AB＝BC，BC＝6，求线段BD的长；（2）如图2，已知OB平分∠AOD，∠BOC＝∠AOC，若∠AOD＝100°，求∠BOC的度数．六．余角和补角（共8小题）22．（2021秋•定海区期末）若一个角是53°，则它的补角是．23．（2021秋•东阳市期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为．24．（2021秋•衢江区期末）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β不一定相等的是（）A． B． C． D．25．（2021秋•金华期末）与25°角互余的角的度数是（）A．55° B．65° C．75° D．155°26．（2021秋•青田县期末）将一副尺子中的两个三角板按如图方式摆放，其中∠1＝∠2的有几个（）A．1 B．2 C．3 D．427．（2021秋•嘉兴期末）已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°（∠α≠0°，∠β≠0°），下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④28．（2021秋•镇海区期末）已知∠A的余角比∠A的2倍少15°，则∠A＝度．29．（2021秋•义乌市期末）将一副三角尺按下列三种位置摆放，其中能使∠α和∠β相等的摆放方式是（）A． B． C． D．七．七巧板（共3小题）30．（2020秋•长兴县月考）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中h的值为（）A．6 B．4 C．4+ D．831．（2021秋•定海区校级月考）如图，把一幅七巧板按如图所示进行①～⑦编号，①～⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号①对应的面积等于2，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于．32．（2022秋•鹿城区校级期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为（取1.4）．八．角的大小比较（共2小题）33．（2021秋•海曙区期末）已知∠1＝12.30°，∠2＝12°30′，比较这两个角的大小，结果为∠1∠2．34．（2021秋•杭州期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC＝∠AOB，则下列结论成立的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOB C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC九．相交线（共2小题）35．（2020秋•奉化区校级期末）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（）A．100个 B．135个 C．190个 D．200个36．（2020秋•奉化区校级期末）下列说法：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0；②若﹣a不是正数，则a为非负数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若+＝0，则＝﹣1；⑤平面内n条直线两两相交，最多个交点．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个一十．对顶角、邻补角（共4小题）37．（2021秋•杭州期末）如图，直线AC、DE交于点B，则下列结论中一定成立的是（）A．∠ABE+∠DBC＝180° B．∠ABE＝∠DBC C．∠ABD＝∠ABE D．∠ABD＝2∠DBC38．（2021秋•钱塘区期末）下列说法中，正确的是（）A．相等的角是对顶角 B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点 C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度39．（2021秋•新昌县期末）如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于．40．（2021秋•普陀区期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．（1）若∠AOC＝37°，求∠BOE的度数．（2）若∠BOD：∠BOC＝3：6，求∠AOE的度数．一十一．垂线（共4小题）41．（2021秋•新昌县期末）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠BOC的度数为（）A．20° B．70° C．80° D．90°42．（2021秋•东阳市期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝135°，∠BOD＝45°，则OE⊥AB．请说明理由（补全解答过程）．解：∵∠AOC＝∠BOD＝45°（）；∴∠AOE＝＝（°）；∴OE⊥AB（）．43．（2021秋•温州期末）如图，直线AB，CD交于点O，OM⊥AB，ON⊥CD．（1）写出图中所有与∠AOC互余的角．（2）当∠MON＝120°时，求∠BOD的度数．44．（2021秋•海曙区期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD＝30°，则∠COE＝．一十二．垂线段最短（共2小题）45．（2021秋•湖州期末）如图，口渴的马儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中的数学依据是．46．（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；（3）在以上的图中，互余的角为，互补的角为．（各写出一对即可）一十三．点到直线的距离（共3小题）47．（2021秋•滨江区期末）如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则点B到直线AC的距离是线段的长．48．（2021秋•东阳市期末）如图，表示点A到BC距离的是（）A．AD的长度 B．AE的长度 C．BE的长度 D．CE的长度49．（2021秋•上城区期末）如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（）A．3 B．4 C．5 D．7巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·浙江嵊州·七年级期末）下列图中是对顶角的为（）A． B．C． D．2．（2021·浙江仙居·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．若∠BOD＝42°，则∠EOD的度数为（）A．96° B．94° C．104° D．106°3．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知，下列选项正确的是（）A．若是锐角，则是钝角 B．若是钝角，则是锐角C．若是锐角，则是锐角 D．若是锐角，则是钝角4．（2020·浙江浙江·七年级期中）比较大小，正确的是（）A． B．C． D．无法比较5．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，点O在直线AB上，射线OC，射线OD，射线OE在直线AB同侧，若，OE平分，则（）A． B．C． D．二、填空题6．（2021·浙江仙居·七年级期末）如图，三角形ABC中，AC⊥BC，则边AC与边AB的大小关系是________，依据是________．7．（2020·浙江杭州·模拟预测）_______分_________秒．8．（2021·浙江嵊州·七年级期末）已知，则的余角=_______________．三、解答题9．（2021·浙江·杭州市公益中学七年级月考）如图，将∠AOB绕点O逆时针旋转θ角，得到∠A′OB′．（1）若∠AOB＝90°，且∠A′OB＝32°，求∠AOB′的度数．（2）若∠AOB′＝160°，且∠A′OB：∠BOB′＝2：3，求θ角的度数．10．（2020·浙江杭州·七年级期中）计算：11．（2021·浙江浙江·七年级期中）已知：如图，直线相交于点O，于O．（1）若，求的度数；（2）在（1）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数．12．（2021·浙江浙江·七年级期末）已知同一平面上以O为端点有三条射线；①若，求的度数；②若，（均为锐角），求的度数（用表示）．13．（2018·浙江镇海·七年级期末）已知是直线上的一点，是直角，平分.（1）如图①，若，求的度数；（2）在图①中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；（3）在（1）问前提下绕顶点顺时针旋转一周.①当旋转至图②的位置，写出和的度数之间的关系，并说明理由；②若旋转的速度为每秒，几秒后？（直接写出答案）14．（2020·浙江·金华市南苑中学七年级月考）如果两个锐角的和等于90°，就称这两个角互为余角．类似可以定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠l=120°，∠2=30°，|∠1-∠2|=90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）.（1）如图，0为直线AB上一点，OC丄AB于点O，OE⊥OD于点O，请写出图中所有互为垂角的角有_____________；（2）如果有一个角的互为垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数.15．（2017·浙江嵊州·七年级期末）点A，O，B依次在直线MN上，如图1，现将射线OA绕点O顺时针方向以每秒10°的速度旋转，同时射线OB绕着点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t秒（t≤12）．（1）在旋转过程中，当t=2时，求∠AOB的度数．（2）在旋转过程中，当∠AOB=105°时，求t的值．（3）在旋转过程中，当OA或OB是某一个角（小于180°）的角平分线时，求t的值．第12讲图形的初步认识（二）（13大考点）考点考向考点考向一.角的概念（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．

（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．

（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．（5）比较角的大小有两种方法：

①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．

②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．

二.角的计算（1）角的和差倍分

①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．

（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．

（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．三.余角与补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．四.对顶角与邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．五.平行：（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．六.垂直：（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．考点精讲考点精讲一．角的概念（共2小题）1．（2021秋•定海区期末）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB、∠O三种方法表示同一角的图形是（）A． B． C． D．【分析】根据角的表示方法和图形进行判断即可．【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；C、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．2．（2021秋•上虞区期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．二．钟面角（共1小题）3．（2021秋•余姚市期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是45度，15分钟后时针与分针的夹角是127.5度．【分析】根据时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°进行计算即可．【解答】解：由题意得：30°+×30°＝45°，∴钟面上4时30分，时针与分针的夹角是45度，由题意得：5×30°﹣45×0.5°＝150°﹣22.5°＝127.5°，∴15分钟后时针与分针的夹角是127.5度，故答案为：45，127.5．【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°是解题的关键．三．方向角（共4小题）4．（2021秋•龙泉市期末）如图，点A在点O的南偏东20°方向上，且射线OA与OB的夹角是110°，则射线OB的方向是（）A．北偏东70° B．北偏东60° C．北偏东50° D．北偏东40°【分析】利用平角180°减去20°与110°的和进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：180°﹣（20°+110°）＝180°﹣130°＝50°，∴射线OB的方向是北偏东50°，故选：C．【点评】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．5．（2021秋•椒江区期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏西10°的方向上，同时货轮B在它北偏东60°的方向上，则此时∠AOB的大小是（）A．140° B．130° C．120° D．100°【分析】先求出60°的余角为30°，然后再加上90°与10°的和即可解答．【解答】解：由题意得：90°﹣60°＝30°，∴∠AOB＝30°+90°+10°＝130°，故选：B．【点评】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．6．（2021秋•台州期末）如图，点A在点O的东南方向，点B在点O的北偏东50°方向，则∠AOB＝85°．【分析】利用平角180°减去45°与50°的和进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∠AOB＝180°﹣（45°+50°）＝85°，故答案为：85．【点评】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．7．（2021秋•定海区期末）如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是北偏东75°．【分析】首先求得∠AOB的度数，然后求得OC与正北方向的夹角即可判断．【解答】解：∠AOB＝45°+15°＝60°，则∠AOC＝∠AOB＝60°，OC与正北方向的夹角是60+15＝75°．则OC在北偏东75°．故答案为：北偏东75°【点评】本题主要考查了方向角，解答此题的关键是结合各角的互余关系求解．四．度分秒的换算（共5小题）8．（2021秋•钱塘区期末）若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于57°42′．【分析】先将0.3°化成18′，即∠β＝15.3°＝15°18′，然后计算两个角的和即可．【解答】解：∵∠β＝15.3°＝15°+0.3×60′＝15°18′，∴∠α+∠β＝42°24′+15°18′＝57°42′．故答案为：57°42′．【点评】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算方法以及单位之间的进率是正确解答的前提．9．（2021秋•柯桥区期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（）A．27°40′ B．57°40′ C．58°20′ D．62°20′【分析】根据∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2＝90°﹣∠EAC，即可求出∠2的度数．【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，∴∠EAC＝32°20′，∵∠EAD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；故选：B．【点评】本题主要考查了度分秒的换算，关键是求出∠EAC的度数，是一道基础题．10．（2021秋•椒江区期末）48°21′+67°9′＝115.5°．【分析】根据度分秒的进制进行计算即可解答．【解答】解：48°21′+67°9′＝115°30′，∵1°＝60′，∴30′＝0.5°，∴115°30′＝115.5°，∴48°21′+67°9′＝115.5°，故答案为：115.5．【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．11．（2021秋•柯桥区期末）把35°12'化为以度为单位，结果是35.2．【分析】根据度分秒的进制进行计算即可解答．【解答】解：∵1°＝60′，∴12′＝0.2°，∴35°12′＝35.2°，故答案为：35.2．【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．12．（2021秋•滨江区期末）若∠A＝36°18′，则90°﹣∠A＝53.7°．（结果用度表示）【分析】根据度分秒的进制，先求出∠A＝36.3°，然后进行计算即可．【解答】解：∵1°＝60′，∴18′＝0.3°，∴∠A＝36°18′＝36.3°，∴90°﹣∠A＝53.7°，故答案为：53.7°，【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．五．角的计算（共9小题）13．（2021秋•海曙区期末）如图，将三个三角板直角顶点重叠在一起，公共的直角顶点为点B，若∠ABE＝45°，∠GBH＝30°，那么∠FBC的度数为（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】根据∠ABE＝45°，求出∠CBG，再根据∠GBH＝30°，求出∠FBG，最后根据∠FBC＝∠FBG﹣∠CBG进行计算即可．【解答】解：∵∠ABE＝45°，∴∠CBE＝45°，∴∠CBG＝45°，∵∠GBH＝30°，∴∠FBG＝60°，∴∠FBC＝∠FBG﹣∠CBG＝60°﹣45°＝15°，故选：A．【点评】此题考查了角的计算，关键是根据已知条件求出角的度数，要能根据图形找出角之间的关系．14．（2021秋•嘉兴期末）如图放置一副三角板，若∠BOC＝∠COD，则∠AOD的度数是130°．【分析】根据三角板各角度结合条件∠BOC＝∠COD，即可计算出∠AOD的度数．【解答】解：∠BOC＝∠COD＝20°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣20°＝40°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+40°＝130°．故填130°【点评】本题考查与三角板有关角度的计算，属于基础题．15．（2021秋•定海区期末）计算：35°49'+44°26'＝80°15′．【分析】根据角的单位换算计算即可．【解答】解：35°49'+44°26'＝79°75′＝80°15′．故答案为：80°15′．【点评】此题主要考查了角的计算以及度分秒的换算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．16．（2021秋•江北区期末）如图，∠AOB＝∠COD＝120°，若∠BOC＝108°，则∠AOD的度数是132°．【分析】由∠BOD＝∠AOB﹣∠BOC可求解∠BOD的度数，然后再根据∠AOD＝∠AOB+∠BOD即可求出∠AOD的度数．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝120°，∠BOC＝108°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣108°＝12°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝120°+12°＝132°．故答案为：132°．【点评】此题主要考查了角的计算，解题的关键是：利用角的和差进行计算．17．（2021秋•温州期末）如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）A．20° B．30° C．35° D．45°【分析】由∠AOB：∠BOC＝2：3，可得∠AOB＝∠AOC进而求出答案，做出选择．【解答】解：∵∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，∴∠AOB＝∠AOC＝×75°＝30°，故选：B．【点评】本题考查角的有关计算，按比例分配转化为∠AOB＝∠AOC是解答的关键．18．（2021秋•青田县期末）如图，∠COD是Rt∠，∠BOD＝35°，则∠AOC＝55°．【分析】根据平角的定义进行计算即可．【解答】解：∵∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°，∠COD＝90°，∠BOD＝35°，∴∠AOC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查角的计算，理解平角的定义是正确计算的前提．19．（2021秋•金华期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．【分析】（1）分两种情况讨论，分别计算．（2）作出图形，用t表示图中的各个角，列出t的方程求解．注意t的取值范围，对解出的结果需要验证和取舍．【解答】解：（1）依题意，∠AOC+∠COB＝120°，且2∠AOC＝∠COB，或∠AOC＝2∠COB．当2∠AOC＝∠COB时，∠AOC＝∠AOB＝40°；当∠AOC＝2∠COB时，∠AOC＝∠AOB＝80°．（2）∵5t＜180°，∴t＜36°．①当∠AOC＝2∠COD时，∠AOC＝∠AOD，即3t＝（180°﹣5t），解得t＝．当2∠AOC＝∠COD时，∠AOC＝∠AOD，即3t＝（180°﹣5t），解得t＝．②当∠BOC＝2∠COD时，∠BOC＝∠BOD，即180°﹣3t＝×5t，解得t＝．∴∠BOD＝5t＝．当2∠BOC＝∠COD时，∠BOC＝∠BOD，即180°﹣3t＝×5t，解得t＝＞36°，不合题意舍去．【点评】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论．20．（2021秋•新昌县期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．（1）如图，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．（2）当∠A′EB′＝∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．【分析】（1）利用翻折变换的性质和角的计算即可；（2）①根据已知条件，通过角的和差计算即可；②假设EB′能平分∠FEG，通过角平分线的性质和①计算即可．【解答】解：（1）猜想：∠FEG＝90°．∵∠AEA'+∠A'EB＝180°，∵折叠∴∠AEF＝∠A'EF，∠B'EG＝∠GEB，∴∠FEA'+∠A'EG＝∠FEG＝90°；（2）①当点B落在∠AEG内部时，′∠B'EG＝x，∴∠FEA'＝∠AEA'＝90°﹣2x，∴∠FEG＝∠FAA'+∠A'EB'+∠B'EG＝90°﹣2x+x+x，∴∠FEG＝90°+x；如图2，当点B落在∠A'EF内部时，∠A'EB'＝x，∠A'EB'＝∠B′EB，∴∠B'EB＝3x，∴AEA'＝180°﹣A'EB＝180°﹣（∠B'EB﹣∠A'EB）＝180°﹣2x，∴∠BEG＝∠BEB'＝，∠AEF＝∠AEA'＝90°﹣x，∴∠FEG＝180°﹣∠BEG﹣∠AEF＝90°﹣．综上所述，当点B落在∠A'EG内部时，∠FEG＝90°+，当点B落在∠A'EF内部时，∠FEG＝90°﹣；②可能．当点B落在∠AEG内部时，若EB'平分∠FEG，此时，∠GEB'＝∠FEA'+∠GEA'＝∠FEB'，∴45°+x＝x，解得：x＝36°，∴∠FEG＝108°，此时∠B'EG＝54°，∠FEA'＝18°，在正方形ABCD中可以实现，因此，∠FEG＝108°．当点B落在∠A′EF内部时，∠FEG＝90°﹣，∵EB平分∠FEG，∴∠B'EG＝FEG＝45°﹣，又∵∠B'EG＝∠BEB′＝，∴45°﹣＝，解得x＝（）°，此时∠FEG＝90°﹣＝（）°，综上所述，当点B落在∠A'EG内部时，∠FEG＝108°；当点B落在∠A'EF内部时，∠FEG＝（）°．【点评】考查了矩形的性质、翻折变换的性质、角的计算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．21．（2021秋•湖州期末）（1）如图1，点D是线段AC的中点，且AB＝BC，BC＝6，求线段BD的长；（2）如图2，已知OB平分∠AOD，∠BOC＝∠AOC，若∠AOD＝100°，求∠BOC的度数．【分析】（1）根据AB＝，BC＝6求出AB的值，再根据线段的中点求出AD的值，然后可求BD的长；（2）先根据角平分线的定义求出∠AOB，再根据，求解即可．【解答】解：（1）∵，∴，∴AC＝AB+BC＝10，∵点D是线段AC的中点，∴，∴BD＝AD﹣AB＝5﹣4＝1；（2）∵OB平分∠AOD，∠AOD＝100°，∴，∵，∴，∴∠AOC＝30°，∴．【点评】本题考查了线段的中点，和差，角平分线的定义，角的和差，关键是数形结合．六．余角和补角（共8小题）22．（2021秋•定海区期末）若一个角是53°，则它的补角是127°．【分析】根据补角的定义进行求解即可得出答案．【解答】解：根据题意，这个角的补角为，180°﹣53°＝127°．故答案为：127°．【点评】本题主要考查了补角的定义，熟练掌握补角的定义进行求解是解决本题的关键．23．（2021秋•东阳市期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为145°．【分析】由∠DCE＝35°，得∠ACE＝∠DCB＝90°﹣35°＝55°，则∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝55°+90°＝145°．【解答】解：∵∠DCE＝35°，∴∠ACE＝∠DCB＝90°﹣35°＝55°，∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝55°+90°＝145°，故答案为：145°．【点评】本题主要考查了余角的定义，角的和差关系等知识，将所求的角转化为已知角的和与差是解题的关键．24．（2021秋•衢江区期末）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β不一定相等的是（）A． B． C． D．【分析】A、由图形可分别求出∠α＝∠β＝45°，即可做出判断；B、由图形可得两角互余，即可做出判断；C、由对顶角相等可得∠α＝∠β，即可做出判断；D、根据同角的余角相等，即可做出判断．【解答】解：A、由图形可得∠β＝45°，∠α＝∠90°﹣45°＝45°，则∠α＝∠β＝45°，故A不符合题意；B、由图形可得∠α+∠β＝90°，故B符合题意；C、由对顶角相等得：∠α＝∠β，故C不符合题意；D、根据同角的余角相等，得：∠α＝∠β，故D不符合题意，故选：B．【点评】本题主要考查余角，解答的关键是对余角的定义的掌握．25．（2021秋•金华期末）与25°角互余的角的度数是（）A．55° B．65° C．75° D．155°【分析】根据两个角的和等于90°，这两个角互为余角，列式计算．【解答】解：根据题意得：90°﹣25°＝65°，故选：B．【点评】本题考查余角和补角，掌握余角定义的应用，根据题意列出算式是解题关键．26．（2021秋•青田县期末）将一副尺子中的两个三角板按如图方式摆放，其中∠1＝∠2的有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据三角板的度数为90°、30°、60°、45°，观察图形判断∠1与∠2的关系．【解答】解：图一：∠1＝∠2＝135°；图二：∠1＝∠2；图三：∠1+∠2＝90°；图四：∠1≠∠2；故选：B．【点评】本题考查余角和补角，掌握余角和补角定义的应用，明确三角板每一个角的度数是解题关键．27．（2021秋•嘉兴期末）已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°（∠α≠0°，∠β≠0°），下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【分析】根据3∠β＝180°﹣2∠α求出∠β＝60°﹣∠α，求出∠β的余角是90°﹣∠β，求出∠β的余角＝90°﹣（60∠α）＝30°+∠α，再逐个判断即可．【解答】解：∠β的余角是90°﹣∠β，故①正确；∵∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°，∴3∠β＝180°﹣2∠α，∴∠β＝60°﹣∠α，∴∠β的余角是90°﹣（60∠α）＝30°+∠α，故②错误；∵∠α+β＝∠α+（60°﹣∠α）＝∠α+30°﹣＝30°+∠α，∴∠α+∠β是∠β的余角，故③正确；∵2∠α+∠β＝2∠α+60°﹣∠α＝60°+∠α≠30°+∠α，故④错误；即正确的是①③，故选：B．【点评】本题考查了余角与补角，能求出∠β的余角＝90°﹣∠β＝30°+∠α是解此题的关键．28．（2021秋•镇海区期末）已知∠A的余角比∠A的2倍少15°，则∠A＝35度．【分析】先根据题意列出关于∠A的方程，求解即可．【解答】解：由题意，得2∠A﹣（90°﹣∠A）＝15°，∴3∠A＝105°．∴∠A＝35°．故答案为：35．【点评】本题考查了余角和补角，理解题意列出关于∠A的方程是解决本题的关键．29．（2021秋•义乌市期末）将一副三角尺按下列三种位置摆放，其中能使∠α和∠β相等的摆放方式是（）A． B． C． D．【分析】根据三角尺每个角的度数、结合图形进行判断即可．【解答】解：A．∠α＝∠β，故本选项正确；B．∠α＞∠β，故本选项错误；C．∠α＞∠β，故本选项错误；D．∠α＜∠β，故本选项错误，故选：A．【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．七．七巧板（共3小题）30．（2020秋•长兴县月考）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中h的值为（）A．6 B．4 C．4+ D．8【分析】根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴②的斜边上的高为2，④的高为1，⑥的斜边上的高为1，⑦的斜边上的高为，∴图2中h的值为4+．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，七巧板知识，解题的关键是得到②④⑥⑦的高．31．（2021秋•定海区校级月考）如图，把一幅七巧板按如图所示进行①～⑦编号，①～⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号①对应的面积等于2，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于16．【分析】根据①的面积可求出①的边长，进而求出②的斜边长，即可求大正方形的面积，根据面积相等即可得出“天鹅”的面积．【解答】解：∵①对应的面积等于2，∴①的边长为，⑤的直角边为，∴②的直角边为2，∴大正方形的边长为②的斜边长，为4，∵“天鹅”是由七巧板拼成的，∴“天鹅”的面积等于大正方形的面积，即4×4＝16，故答案为：16．【点评】本题主要考查七巧板的知识，熟练利用七巧板中各个图形的边长关系是解题的关键．32．（2022秋•鹿城区校级期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为15.6（取1.4）．【分析】先依次将原七巧板里面的各个图形的边长求出来，然后根据构成“衣服型”图形的每个图形的的边长计算其周长即可．【解答】解：如图1，∵七巧板里面的各个三角形均为等腰直角三角形，∴所有锐角都等于45°，∵正方形的面积为16，∴正方形的边长为4，根据勾股定理，有：OA＝OD＝OC＝EF＝2，AE＝BE＝BF＝CF＝HI＝，GA＝GE＝EI＝OG＝OI＝OH＝HC＝1．如图2，当七巧板拼成“衣服型”时，则“衣服型”的周长为：AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KA＝2+2++1++1+1++1++2＝10+4＝10+4×1.4＝15.6．故答案为：15.6．【点评】本题主要考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，求出七巧板里面各个图形的边长是解题关键．八．角的大小比较（共2小题）33．（2021秋•海曙区期末）已知∠1＝12.30°，∠2＝12°30′，比较这两个角的大小，结果为∠1＜∠2．【分析】根据度分秒的换算关系把∠2＝12°30′，化为∠2＝12.5°，比较可得答案．【解答】解：∵1°＝60′，∴12°30′＝12.5°，∵12.30°＜12.5°，∴∠1＜∠2，故答案为：＜．【点评】此题考查的是角的大小比较及度分秒的换算，掌握度分秒的换算关系是解决此题关键．34．（2021秋•杭州期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC＝∠AOB，则下列结论成立的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOB C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC【分析】分两种情况，∠BOC在∠AOB的外部，∠BOC在∠AOB的内部．【解答】解：分两种情况：当∠BOC在∠AOB的外部，如图：∵∠BOC＝∠AOB，∴∠AOC＝3∠BOC，当∠BOC在∠AOB的内部，如图：∵∠BOC＝∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，故选：D．【点评】本题考查了角的大小比较，根据题目的已知条件画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．九．相交线（共2小题）35．（2020秋•奉化区校级期末）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（）A．100个 B．135个 C．190个 D．200个【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点，据此解答即可．【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，1＝×1×2，3条直线相交最多有3个交点，3＝1+2＝×2×3，4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+3＝×3×4，5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+4＝×4×5，…n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）．20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×20×19＝190．故选：C．【点评】此题主要考查了相交线探索规律．此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法是解题的关键．36．（2020秋•奉化区校级期末）下列说法：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0；②若﹣a不是正数，则a为非负数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若+＝0，则＝﹣1；⑤平面内n条直线两两相交，最多个交点．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】依据绝对值的性质，非负数的概念以及相交线，即可得到正确结论．【解答】解：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0，故本选项正确；②若﹣a不是正数，则a为非负数，故本选项正确；③|﹣a2|＝（﹣a）2，故本选项正确；④若+＝0，则a，b异号，即＝﹣1，故本选项正确；⑤平面内n条直线两两相交，最多n（n﹣1）个交点，故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查了绝对值的性质，非负数的概念以及相交线，解题时注意：平面内n条直线两两相交，最多有n（n﹣1）个交点．一十．对顶角、邻补角（共4小题）37．（2021秋•杭州期末）如图，直线AC、DE交于点B，则下列结论中一定成立的是（）A．∠ABE+∠DBC＝180° B．∠ABE＝∠DBC C．∠ABD＝∠ABE D．∠ABD＝2∠DBC【分析】根据对顶角和邻补角的意义结合图形，判断即可．【解答】解：A．∠ABE+∠ABD＝180°，∠ABE+∠EBC＝180°，故A不符合题意；B．∠ABE＝∠DBC，故B符合题意；C．∠ABD＝∠EBC，故C不符合题意；D．∠ABD与2∠DBC不一定相等，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了对顶角，邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．38．（2021秋•钱塘区期末）下列说法中，正确的是（）A．相等的角是对顶角 B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点 C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度【分析】根据对顶角性质、线段中点的定义、点到直线的距离，逐一判定即可解答．【解答】解：A、对顶角相等，但是相等的角不一定是是对顶角，故本选项不符合题意；B、三点不在一条直线上，AB＝BC，但是B不是线段AC的中点，故本选项不符合题意；C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故此选项不符合题意；D、若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．39．（2021秋•新昌县期末）如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于180°．【分析】根据对顶角相等和周角的定义求三个角的和．【解答】解：∵∠COF与∠DOE是对顶角，∴∠COF＝∠DOE，∴∠AOE+∠DOB+∠COF＝∠AOE+∠DOB+∠COF＝×360°＝180°．故答案为：180°．【点评】本题主要考查了对顶角．解题的关键是掌握对顶角相等，以及计算角的度数的能力．40．（2021秋•普陀区期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．（1）若∠AOC＝37°，求∠BOE的度数．（2）若∠BOD：∠BOC＝3：6，求∠AOE的度数．【分析】（1）根据对顶角相等，互为余角的定义进行计算即可；（2）根据∠BOD：∠BOC＝3：6，以及互为补角的定义可求出∠BOD＝60°，再根据对顶角相等以及角的和差关系得出答案．【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∠AOC＝37°，∴∠BOE＝180°−∠AOC−∠COE＝180°−37°−90°＝53°；（2）∵∠BOD：∠BOC＝3：6，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOD＝180°×＝60°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝60°，∵∠COE＝90°，∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝90°+60°＝150°．【点评】本题考查对顶角、邻补角、互为余角、互为补角，理解对顶角、邻补角、互为余角、互为补角，的意义是正确解答的关键．一十一．垂线（共4小题）41．（2021秋•新昌县期末）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠BOC的度数为（）A．20° B．70° C．80° D．90°【分析】由垂直的定义可知∠AOC＝90°，再余角的定义可得∠BOC的度数．【解答】解：∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°，∵∠1＝20°，∴∠BOC＝90°﹣∠1＝70°．故选：B．【点评】本题考查了余角的定义，角的和差及角的计算，求出∠AOC＝90°是解题的关键．42．（2021秋•东阳市期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝135°，∠BOD＝45°，则OE⊥AB．请说明理由（补全解答过程）．解：∵∠AOC＝∠BOD＝45°（对顶角相等）；∴∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝（90°）；∴OE⊥AB（垂直的定义）．【分析】根据垂线的定义、对顶角的性质即可求出答案．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝45°（对顶角相等）；∴∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝90°；∴OE⊥AB（垂直的定义）．故答案为：对顶角相等；∠COE﹣∠AOC；90°；垂直的定义．【点评】本题考查垂线、角平分线的定义，解题的关键正确运用垂线与角平分线的定义求出相关的角的度数，本题属于基础题型．43．（2021秋•温州期末）如图，直线AB，CD交于点O，OM⊥AB，ON⊥CD．（1）写出图中所有与∠AOC互余的角．（2）当∠MON＝120°时，求∠BOD的度数．【分析】（1）利用互余两角的和为90°即可判断；（2）先求出∠AON＝30°，然后再利用平角180°减去90°与30°的和即可解答．【解答】解：（1）∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠AOM＝∠CON＝90°，∴∠AOC+∠COM＝90°，∠AOC+∠AON＝90°，∴与∠AOC互余的角为：∠COM，∠AON；（2）∵∠MON＝120°，∠AOM＝90°，∴∠AON＝∠MON﹣∠AOM＝30°，∵ON⊥CD，∴∠NOD＝90°，∴∠BOD＝180°﹣∠AON﹣∠NOD＝60°．【点评】本题考查了垂线，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．44．（2021秋•海曙区期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD＝30°，则∠COE＝120°．【分析】根据垂直定义求出∠AOE，根据对顶角求出∠AOC，相加即可．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝∠BOD＝30°，∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝90°+30°＝120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了垂直，对顶角的应用，主要考查学生的计算能力．一十二．垂线段最短（共2小题）45．（2021秋•湖州期末）如图，口渴的马儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中的数学依据是垂线段最短．【分析】垂线段的性质：垂线段最短．据此判断即可．【解答】解：口渴的马儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中的数学依据是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．46．（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；（3）在以上的图中，互余的角为∠DAC、∠DCA，互补的角为∠ADC、∠BDC．（各写出一对即可）【分析】（1）根据垂线的定义，线段，射线的定义作图即可；（2）根据垂线段最短即可求解；（3）由互余、互补的定义解题即可．【解答】解：（1）如图：（2）∵CD⊥AD，∴CA＞CD；（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAC与∠DCA互余，∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，∴∠ADC与∠BDC互补，故答案为：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC．【点评】本题考查垂线段最短，两个角的互余、互补，熟练掌握垂线段最短，两个角的互余、互补的定义，会作图线段、射线、垂线段是解题的关键．一十三．点到直线的距离（共3小题）47．（2021秋•滨江区期末）如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则点B到直线AC的距离是线段BC的长．【分析】直接利用点到直线的距离得出答案．【解答】解：∵AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，∴点B到AC的距离是线段BC的长度．故答案为：BC．【点评】此题主要考查了点的直线的距离，正确把握相关定义是解题关键．48．（2021秋•东阳市期末）如图，表示点A到BC距离的是（）A．AD的长度 B．AE的长度 C．BE的长度 D．CE的长度【分析】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答．【解答】解：A．线段AD的长度表示点A到BC的距离，符合题意；B．线段AE的长度表示点A到CE的距离，不符合题意；C．线段的BE长度表示点B到CE的距离，不符合题意；D．线段CE的长度表示点C到AB的距离，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键．49．（2021秋•上城区期末）如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（）A．3 B．4 C．5 D．7【分析】根据垂线段最短判断即可．【解答】解：因为垂线段最短，∴点P到直线l的距离小于4，故选：A．【点评】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·浙江嵊州·七年级期末）下列图中是对顶角的为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角，据此判断即可．【详解】解：根据对顶角的定义可知，为对顶角的只有D，故选：D．【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟知定义是解本题的关键．2．（2021·浙江仙居·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．若∠BOD＝42°，则∠EOD的度数为（）A．96° B．94° C．104° D．106°【答案】A【分析】根据对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD＝42°，由于OA平分∠COE，可得∠AOE的度数，再由平角的定义可求出∠EOD的度数．【详解】解：∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝42°，∴∠AOC＝42°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOE＝∠AOC＝42°，∴∠EOD＝180°−（∠AOE＋∠BOD）＝180°−（42°＋42°）＝96°．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质．解决本题的关键是熟记对顶角相等．3．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知，下列选项正确的是（）A．若是锐角，则是钝角 B．若是钝角，则是锐角C．若是锐角，则是锐角 D．若是锐角，则是钝角【答案】B【分析】根据锐角、钝角的定义推理或举反例判断即可.【详解】A.根据∠A=2∠B，可知∠B=∠A，所以∠A是锐角时，∠B一定是锐角，故选项错误；B.若∠A是钝角，则90°<∠A<180°，那么∠A一定小于90°，即∠B一定小于90°，所以∠B一定是锐角，故选项正确；C.若∠B=80°，根据∠A=2∠B，可知∠A=160°>90°，所以∠B为锐角时，∠A不一定为锐角，故选项错误；D.若∠B=30°，根据∠A=2∠B，可知∠A=60°<90°，所以∠B为锐角时，∠A不一定为钝角，故选项错误.故选：B.【点睛】本题考查锐角和钝角，掌握锐角、钝角定义是解题关键.4．（2020·浙江浙江·七年级期中）比较大小，正确的是（）A． B．C． D．无法比较【答案】A【分析】先把化成只有度的单位，统一单位后再比较角的大小，选出正确答案即可．【详解】解：∵比较，，，，∴．故选：A．【点睛】本题考查了角度单位的换算，角的度数大小比较，统一角度单位后再进行比较是解题关键．5．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，点O在直线AB上，射线OC，射线OD，射线OE在直线AB同侧，若，OE平分，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据条件及角度之间的关系逐项进行判断即可.【详解】由OC⊥OD可知，∠DOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，由OE平分∠AOC可得，∠COE=∠AOE=∠AOC，A.∵∠DOE=∠DOC+∠COE=90°+∠COE，∠BOC=∠DOC+∠BOD=90°+∠BOD，∠COE≠∠BOD，∴∠DOE≠∠BOC，故本选项错误；B.∵∠DOE=∠DOC+∠COE=90°+∠AOC=90°+(90°－∠BOD)=135°－∠BOD，∴∠DOE≠3∠BOD，故本选项错误；C.∵∠BOD+∠AOC=90°，∴∠BOD+∠AOE+∠COE=90°，∴∠BOD+∠AOE=90°－∠COE=∠DOC－∠COE，故本选项正确；D.∵∠COE=∠AOE，∠DOC≠∠BOD，∴∠DOC+∠COE≠∠BOD+∠AOE，故本选项错误，故选：C.【点睛】本题考查角的计算，正确找出角之间的关系是解题的关键.二、填空题6．（2021·浙江仙居·七年级期末）如图，三角形ABC中，AC⊥BC，则边AC与边AB的大小关系是________，依据是________．【答案】AC＜AB垂线段最短【分析】点到直线的距离也是点到直线的垂线段，是最短的；据此解答【详解】AC小于AB，因为垂线段最短故答案为①AC<AB②垂线段最短【点睛】本题考查两点之间垂线段最短，掌握这一点就能正确解题．7．（2020·浙江杭州·模拟预测）_______分_________秒．【答案】2812【分析】度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．依此即可求解．【详解】解：1.47°=1°28分12秒，故答案为：28，12．【点睛】本题考查了度分秒的换算，具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．8．（2021·浙江嵊州·七年级期末）已知，则的余角=_______________．【答案】【分析】根据互为余角的两个角的和是90度，用即可得解；【详解】∵，∴的余角；故答案是：．【点睛】本题主要考查了余角的计算，准确计算是解题的关键．三、解答题9．（2021·浙江·杭州市公益中学七年级月考）如图，将∠AOB绕点O逆时针旋转θ角，得到∠A′OB′．（1）若∠AOB＝90°，且∠A′OB＝32°，求∠AOB′的度数．（2）若∠AOB′＝160°，且∠A′OB：∠BOB′＝2：3，求θ角的度数．【答案】（1）∠AOB′=148°；（2）θ＝60°【分析】（1）由旋转可知：∠AOB＝∠A′OB′，可得∠AOB﹣∠A′OB＝∠A′OB′﹣∠A′OB，即∠AOA′＝∠BOB′，求得∠AOA′，结论可求；（2）利用（1）中的结论∠AOA′＝∠BOB′，设∠A′OB＝2x°，则∠BOB′＝3x°，依题意列出方程，结论可求．【详解】解：（1）∵将∠AOB绕点O逆时针旋转θ角，得到∠A′OB′，∴∠AOB＝∠A′OB′．∴∠AOB﹣∠A′OB＝∠A′OB′﹣∠A′OB．即∠AOA′＝∠BOB′．∵∠AOB＝90°，∠A′OB＝32°，∴∠AOA′＝90°﹣32°＝58°．∴∠BOB′＝58°．∴∠AOB′＝∠AOB+∠BOB′＝90°+58°＝148°．（2）由（1）知：∠AOA′＝∠BOB′．∵∠A′OB：∠BOB′＝2：3，∴设∠A′OB＝2x°，则∠AOA′＝∠BOB′＝3x°．∵∠AOB′＝160°，∴∠AOA′+∠A′OB+∠BOB′＝160°．∴3x+2x+3x＝160．∴x＝20．∵将∠AOB绕点O逆时针旋转θ角，得到∠A′OB′，∴θ＝∠AOA′＝3x＝60°．【点睛】本题主要考查了角度计算．利用旋转不变性得到：∠AOB＝∠A′O