2016-2023年上海春考数学真题试卷

依据考试大纲总结命题规律辅导备考策略历年考题详析梳理考试要点总结核心知识筛选最新考点精编典型习题积累备考经验全真模拟测试预测考试趋势让学习为我们创造终生价值一.填空题(本大题共12题，每题3分，共36分)1.复数3+4i(i为虚数单位)的实部是_.【答案】3h14h148.4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为(结果用数值表示).【答案】249.无穷等比数列{a,}的首项为2,公比为则{a,}的各项的和为_.10.若2+i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x²+ax+5=0的一个虚根，则a=【答案】-4二.选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.半径为1的球的表面积为()【答案】D第1页共47页D.4π15.在(1+x)*的二项展开式中，x²项的系数为()【答案】CA.2B.6A.1B.2A.直线1平行于直线mB.直线1与直线m异面C.直线1与直线m没有公共点D.直线1与直线m不垂直19.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n²+n(n∈N)的第(ii)步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为()【答案】DA.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k²+k+2(k+1)²B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k²+k+2D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1A.焦距相等，渐近线相同B.焦距相等，渐近线不相同C.焦距不相等，渐近线相同D.焦距不相等，渐近线不相同A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件22.下列关于实数a,b的不等式中，不恒成立的是()【答案】DA.a²+b²≥2abB.a²+b²≥-2abC.D.第2页共47页第2页，共47页A.①成立，②不成立B.①不成立，②成立C.①成立，②成立D.①不成立，②不成立无法得到无法得到a·b=0,因此a⊥b不一定正确24.对于椭圆.若点(x₀,yo)满足形为()【答案】B.则称该点在椭圆C内，A.三角形及其内部B.矩形及其内部C.圆及其内部D.椭圆及其内部由椭圆的对称性可知：点B(-2,1),点C(-2,-1),点D(2,-1),都在任意椭圆上可知：满足条件的点A构成的图形为矩形PBCD及其内部.故选B三.解答题(本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分)27.(8分)如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是24cm,灯深10cm,求灯泡与反射镜的顶点O的距离.【解析】建系，以【解析】建系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图所示：,(1)设f(x)=2|x|,g(x)=x+3, 第4页，共47页A.033.(3分)椭圆1的长半轴的长为_5第5页共47页第5页，共47页12/25合.【答案】(1)(1,2,3),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,5);(2){|t∈N且t≠3,t≠6;解得d=-2,c=6第6页共47页第6页，共47页2017年上海市春季高考数学试卷2017.1一.填空题(本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)第7页共47页第7页，共47页介介→二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)A.(0,+x)B.(1,+x)C.(-∞,A.[0.,8+6√2]B.[-2√2,8+6√2]C.[-8-6√2,2√2]D.[-8-6√2,8+6√2第8页共47页,,,,三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)由2*+1>1,可得(2)设∠BAD=2α,则总造价y=0.8-2π-60tanα+0.9-2π-60tan(45°-α)第9页共47页∴M₁半径30,M₂半径20,造价263.8千元20.(12分)已知双曲线,,关于y轴的对称点，直线PQ与y轴交于点N(0,n);(1)若点(2,0)是I的一个焦点，求T的渐近线方程；(2)若b=1,点P的坐标为(-1,0),且求k的值：,(3)若m=2,求n关于b的表达式.点(2,0)是F的一个焦点，求出c=2,a=1,点(2,0)是F的一个焦点，求出c=2,a=1,由此能求出T的 (3)设(3)设P(x₁,y),Q(x₂,y₂),k=k,则P(-x,x),1ro=k₂x+n得(b²-k²)x²-4kx-4-b²=0,由得(b²-k₀²)x²-2k₆nx-n²-b²=0由此利用韦达定理，结合已知条件能求出n关于b的表达式,设Q(x₂,y₂)(3)设P(x,y),Q(x₂,y₂),kp=k,则P(-x₁,y),l=k₂x+n由,第10页共47页第10页，共47页,,得21.(12分)已知函数(1)解方程f(x)=1;(2)设x∈(-1,1),a∈(1,+x),证明：第11页共47页∴f(x)是奇函数.①当n为奇数时，②当n为偶数时，,第12页共47页2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷参考答案一、填空题4.若复数z=1+i(i是虚数单位),则5.已知{a,}是等差数列，若a₂+a₂=10,则a₃+a6.已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(-1,0)的距离之和等于4,则动点P的轨迹方程8.某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为180(结果用数值表示)【解析】分2步分析：①学生甲必须参赛且不担任四辩，则甲可以担任一、二、三辩，有3种情况；②在剩下的5名学生中任选3人，安排到其他三个辩手的位置，有A=60种情况，则有3×60=180种不同的安排方法种数10.设m∈R,若z是关于x的方程x²+mx+m²-1=0的一个虚根，则||的取值范围是第13页共47页第13页，共47页若函数y=2x-1若函数y=2x-1不同的公共点，则a的取值范围即方程2x-1=x+2(1-x)sin(ax)有两不同根，也就是(x-1(2sinax+1)=0与y=f(x)的图象有且仅有两个有两不同根12.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线从A出发向D移动.同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒(精确到0.1)【解析】以O为坐标原点，建系，可设P(-10,-10+1.51),Q(10,10-1)即有点即有点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒第14页共47页第14页，共47页【提示】数列-3,-2,-1,0……是递增数列，但{S,}不是递增数列，即充分性不成立；数列1,2,3,……,满足{S,}是递增数列，但数列1,1,1,……,不是递增数列，即必要性不成立A.36B.60C.72,设点Q(,p%)17.(14分)已知y=cosx.(1)若的值；(2)求函数y=f(2x)-2f(x)的最小值.,(2)若a=1,直线y=kx+1与「相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1,求实数k的值第15页共47页19.(14分)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射灯的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，(1)求抛物线的焦点到准线的距离(2)在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD,AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹),解得(2)在图3中，∵OC//SD,∴,20.(16分)设a>0,函数(1)若a=1,求f(x)的反函数f-(x);第16页共47页第16页，共47页恒成立，求a的取值范围.*.第17页共47页第17页，共47页∴∴2n-l≤m<2n+1,∴m=2n或m=2n-1 当a<0时，0<q<1时，,即有1-q”>q^(1-q),且1-q°≤q~(1-q),取m=n+1,可得1-q”>q”(1-q)成立，1-q°⁴¹≤g°-(1-q)成立，可得q=1恒成立，第18页共47页第18页，共47页 一、填空题(本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)10、如图，已知正方形OABC,其中OA=a(a>1),函数y=3x²交BC于点P范围为第19页共47页12、已知集合A=[L,t+1]U[t+4,1+9],0gA,存在正数λ,使得对任意a∈A,都有则t的值是【答案】1或-3 即当a=t时，:当a=4+9时，,即2=(4-9):所以所以r(t+9)=(t+1)(t+4),解得t=1.即λ=(4+4)(+9),即λ=(4+4)(+9),当t+9<0时，同理可得，无解解法二：存在正数λ,使得对任意a₁∈A,都存在a₂∈A,使得a₁a₂=λ二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)第20页共47页【解析】因为【解析】因为₁=|-a₁|=√a}²+yF,y²=1-2a,同理，=1-2a₂设(2)求P-ABC的体积.卫生总费用(亿元)个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出(亿元)占卫生总费用比重(%)(亿元)占卫生总费用比重(%)(亿元)占卫生总费第21页共47页第21页，共47页(数据来源于国家统计年鉴)(1)指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：(2)设t=1表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数研究函数ʃ(1)的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.【答案】(1)个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多；(2)单调递增，(2)单调递增，t=51,2028年首次超过12万亿.(2)证明：存在常数a,使得2d(P)=|PF|+a;则则联立A(3)设P(-1,yi),P(-l,y₂),P(-1,y₃)2[d(R)+(B)]-4d(B)=1RF|+1BF|-2IPF|=√F+4第22页共47页(1)求集合S:(2)求d使得集合S恰好有两个元素；:,,或者d=π,又d≤π,故k=1,2 符合条件；。,又d≤π,故k=1,2,3第23页共47页第23页，共47页第24页共47页第24页，共47页一、填空题(本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)1、集合A={1,3},B={1,2,a},若ACB,则a=【答案】32 第25页共47页二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)A.3B.C15、已知椭圆,作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且AB=CD,两垂线相交于点P,则点P的轨迹是()【答案】BA.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线A.a₁=1,c=1B.a₁=2,c=2C.a₁=-1经检验B是不可能的，所以选B三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17、已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，边长为3,PD⊥平面ABCD.(1)若PC=5,求四棱锥P-ABCD的体积；(2)若直线AD与BP的夹角为60°,求PD的长.【答案】(1)12;(2)3√218、已知各项均为正数的数列{a,},其前n项和为S,a₁=1.,即2”>101,n的最小值为7第26页共47页第26页，共47页【答案】(1)fw(10)=160-10|=50,fa(80)=160-80|=20,f(95)=|120-95|=25,【解析】(1)投放点o(120,0),o₂(60,0),fw(10)表示与B(10,0)距离最近的投放点(即o,)的距离，所(2)由题意得f(x)={|t-x|,[120-x|于A、B两点.第27页共47页第27页，共47页,,由,,第28页共47页(2)依题意，(2)依题意，(3)·D(3)·D为整数集，具有4性质的函数均为常值函数，∴当1=-2,f(x)=f(x-2)恒成立，即f(2k)=p(k∈Z),f(2n-I)=q(n∈Z),当x=2k,f(x)=f(x+2n-2k-I),∴m当x=2n-1,f(x)=f(x+2k-2n+1),∴第29页共47页第29页，共47页2021年上海春考试卷.2021.01一.填空题(本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)1.已知等差数列{a。}的首项为3,公差为2,则a=【解析】21,a=a₁+9d=213.已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为4.不等式6,6.若方程组无解，则7点-8点8点-9点9点-10点10点-11点11点-12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟第30页共47页联立,∴12.已知θ>0,存在实数φ,使得对任意neN°,,即,keN,同时),50的最小值为二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)A.f(x)=xB.f(x)=sinxC.f(x)=2D.f(A.ABB.RACBC.A∩B=〇D.AUB=R第31页共47页第31页，共47页12/25它们的成立情况是()A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立【解析】选B,不妨设A(2x,2y),B(-1,0),C(1,0),D(0,0),E(x,y),三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17.四棱锥P-ABCD,底面为正方形ABCD,边长为4,E为AB中点，PE⊥平面ABCD.(1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥P-ABCD的体积；(2)若CD的中点为F,PF与平面ABCD所成角为45°,求PC与AD所成角的大小.【解析】(1)∵正方形【解析】(1)∵正方形ABCD边长为4(2)∵AD//BC,∴∠PCB即所求角第32页共47页法二：如图建系，法二：如图建系，P(0,0,4),C(2,4,0),A(-2,0,0)D(-2,4,0),∴PC=(2,4,-4),AD=求c. ,19.(1)团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|-|PB|=20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立(2)团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|-|QB|=30千米，IQC|-1QD|=10千米，求|OQ|(精确到1米)和Q点位置(精确到1°).(2)①|QA|-1QB|=30,a=15,c②|QC|-1QD|=10,a=5,c=1(1)若a=1,求函数的定义域：(2)若a≠0,若f(ax)=a有2个不同实数根，求a的取值范围；(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在定义域内具有单调性?若存在，求出a的取值范围.第33页共47页第33页，共47页(3)已知数列中恰有3项为0,即a,=a,=a,=0,2<r<s<t,且a₁=1,【解析】(1)由题意，2a,=a+a,或2 :,(舍),同理同理第34页共47页一、填空题(本大题满分共54分，其中1-6题各4分，7-12题各5分)1.已知复数z=2+i(其中i为虚数单位),则z=【答案】2-i5.设有二元一次方程组若方程组有无穷组解，则m的值为6.已知函数f(x)=x³,f(x)为f(x)的反函数，则f-'(27)=【,其展开式的则x→前的系数为【答案】,其展开式的则x→前的系数为【答案】66,9.设由数字1、2、3、4组成上各个位置上数字不能重复的四位数，则大于2134的四位数的个数【解析】【解析】P*-P³-1=1710.已知直角三角形ABC,且AC=BC=2,M为边AC的中点.若P在边AB上运动(点P可与A,B重合),【答案】【答案】718【解析】【解析】如图所示第35页共47页第35页，共47页二、选择题(本大题满分共20分，每小题各5分)(A).a+d>b+c(B).a+c>b+d第36页共47页三、解答题(本大题满分共76分，其中17~19题各14分，20题16分，21题18分)17.(本题共14分，其中第(1)小题6分，第(2)小题8分)【答案】(1)arctan2;(2)S=4π,V=2π(2)Sm=2πrh=2π×1×2=4n,(2)Sm=2πrh=2π×1×2=4n,18.(本题共14分，其中第(1)小题6分，第(2)小题8分)【答案】(1)4;(2)[0,1]第37页共47页19.(本题共14分，其中第(1)小题6分，第(2)小题8分)上海某地区想要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形绿地ABCD中(其中AB为30米，AD为15米),过道EF将其分为两个主要区域(E,F分别是AB,CD边上动点).监测区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，古树区为四边形BEFC,且EF与圆弧相切，记切点为G.(1)若∠ADE=20,求EF的长(结果精确到0.1);(2)E点在线段AB上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值(结果精确到0.01).【答案】(1)23.3米；【解析】【解析】如图，作FH⊥AB,由几何关系可知：,由梯形面积公式整理得：当且仅当时等号成立.第38页共47页第38页，共47页20.(本题共16分，其中第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分)A,B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且直线x=a上有两个不相同的点C,D(C是第一象限的点).(1)设F是椭圆F的右焦点，且求椭圆I的标准方程；(2)若C,D两点的纵坐标分别为2和1,判断：直线BC与AD的交点M是否在椭圆T上，并说明理由：(3)设直线AD与直线BC交椭圆F于P,Q两点，且P,Q关于原点对称，求|CD|的最小值.第39页共47页第39页，共47页21.(本题共18分，其中第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分)在定义域为R的函数f(x)上，定义下面两个变换：9:f(x)→f(x)-f(x-l),o:f(x)→|f(x+1)-f(x)|,其中t>0.函数h(x):对函数f(x)先作o变换再做φ变换得到函数h,(x),且对于任意t>0,在R上有h(x)=h₂(x)成(2)若(2)若f(x)=x²,对f(x)进行w变换后得到函数h(x)h(x)=|(x+1)-x²|=|2x+r²|≥f(x),y2α+r²|≥x²,2x+r²≥x²或2x+t²≤-x²→x(3)h(x)=|Lf(x+1)-f(x)]-[f(x)-f(x-D},h₂(x)=|f(x+)-f(x)|-令t=x₂-x,t>0,此时必存在k∈z*,满足x₂-kt<0,h,(x₂-kt)=h₂(x₂-kt)→|/[x₂-(k-1)r]-f(x₂-kx)-f(x₂-kt)-f(x₁-kt)|=|/[x₂-(k-1]-f∵0>x₂-kt>x₁-kr,f(x)在(-x,0)上单调递增∴f(x₂-kr)>f(x₁-kt)依次类推，得f(x₂)-f(x)>0,与假设矛盾，假设不成立.所以函数f(x)在R上单调递增第40页共47页5.已知事件A发生的概率为P(A)=0.5,则它的对立事件P(A)= 7.某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm,最小值154cm,根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5,且第一组下限为153.5,则组数为【答案】7【解析】∵153.5+6×5=183.5<186,153.5+7×5=188.5>186,组数有7组， 且则方程g(x)=2的解为【答案】【答案】x=310.已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为第41页共47页【解析】方法1:【解析】方法1:z₁-1|=1→z₁=1+cosθ+isin0,z₂=-zi=sinO+(-1-cos0)i→z₂=s二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.第42页共47页第42页，共47页