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第十三章轴对称第28课时含30°锐角的直角三角形的性质

（基础过关）A组1.

如图F28-1，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，D为边AC的中点.

若BC＝6，则BD的长为（

A

）图F28-1A.3B.4C.6D.8A2.

如图F28-2，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.若BD＝3，求BC和AD的长.图F28-2解：∵∠ACB为直角，∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝60°.∵CD⊥AB于点D，∴∠DCB＝90°－∠B＝30°.∴BC＝2BD＝6.∴AB＝2BC＝12.∴AD＝AB－BD＝9.3.

如图F28-3，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D.若BE＝8cm，∠B＝15°，求AC的长度.图F28-3

（能力提升）B组4.

如图F28-4，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长为（

A

）图F28-4AA.3B.4C.5D.65.

如图F28-5，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F.

图F28-5（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的长.

（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵FE⊥BC，∴∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°.∴∠F＝∠BDE.∵∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA.∴AF＝AD.∴△ADF是等腰三角形.

（拓展探究）C组6.

如图F28-6，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边AB，BC上匀速移动，它们的速度分别为vP＝2cm/s，vQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts.

图F28-6（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝60°.∵6÷2＝3，∴0≤t≤3，BP＝（6－2t）cm，BQ＝tcm.

当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形，即6－2t＝t.解得t＝2.∴当t＝2时，△PBQ为等边三角形.解：（2）若△PBQ为直角三角形，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ，即6－2t＝2t.解得t＝1.5；②当∠BPQ＝90°时，∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，即t＝

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