初中数学18.2.3 正方形-2022+-2023学年八年级数学下册同步教学课件（人教版）

人教版•八下第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形学习目标1.探索并证明正方形的性质和判定条件，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)2.会应用正方形的性质和判定条件解决相关证明及计算问题.（难点）课前导入探索新知巩固练习课堂小结0102030401课前导入课前导入除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？?正方形有什么性质？02探索新知正方形

正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.正方形

正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.正方形

正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.正方形是轴对称图形，有4条对称轴正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？正方形的性质总结：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.正方形的判定思考如何判定一个四边形是正方形呢？猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.正方形的判定已知：如图,在矩形ABCD中,AB=AD求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC.∵AB=AD,∴AD=AB=BC=CD,∴四边形ABCD是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.正方形的判定猜想：有一个角是直角的菱形是正方形.

对角线相等的菱形是正方形.正方形的判定已知：如图,在菱形ABCD中,∠ADC=90°

求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴∠DAB=∠ABC，∠BCD=∠ADC

∵∠ADC=90°∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°

∴四边形ABCD是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.正方形的判定总结：1.先证它是矩形，再证它有一组邻边相等或者对角线互相垂直；2.先证它是菱形，再证它有一个角为直角或者对角线相等.正方形的判定例1求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。正方形的判定证明：∵四边形ABCD是正方形。∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系四边形平行四边形菱形矩形正方形正方形03巩固练习巩固练习1、（1）把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？解：由折叠可知：∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，∴四边形ABCD是矩形.又∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是正方形.巩固练习（2）如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。巩固练习2.如图，四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？巩固练习

巩固练习3.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？

（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（

）

（2）对角线互相垂直的矩形.（

）

（3）对角线相等的菱形.（

）

（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.（

）是是是是巩固练习4.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN.试判断四边形EFMN是什么图形？并证明你的结论.解：四边形EFMN是正方形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，又∵AE=BF=CM=DN，巩固练习∴AN=DM=CF=BE，∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，∴EN=NM=MF=FE，∴四边形EFMN为菱形.∵∠BFE+∠BEF=90°，∴∠BEF+∠AEN=90°。∴∠NEF=90°，∴四边形EFMN为正方形.巩固练习5.如图，在四边形ABCD中,

AB=BC

,对角线BD平

ABC

,

P是BD上一点,过点P作PM

AD

,

PN

CD

,垂足分别为M、N.若

ADC=90

,求证：四边形MPND是正方形.CABDPMN巩固练习证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP.

又∵AB=BC,BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.∵PM⊥AD,PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°.又∵∠ADC=90°，∴四边形NPMD是矩形.∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.

∴DM=PM,DN=PN.∴四边形NPMD是正方形.04