沪科版七年级数学上册专题特训 专题2.6 利用整体思想求值【六大题型】（原卷版+解析版）

专题2.6利用整体思想求值【六大题型】【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用整体思想直接代入求值】 1【题型2利用整体思想配系数求值】 1【题型3利用整体思想的奇次项为相反数求值】 1【题型4利用整体思想赋值求值】 2【题型5利用整体思想拆分某项构造整体求值】 2【题型6多次利用整体思想构造整体求值】 3【题型1利用整体思想直接代入求值】【例1】（2022秋•柳江区期中）已知a﹣b＝2，则2（a﹣b）﹣5的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣3【变式1-1】（2022秋•巫溪县期末）已知：x﹣2y＝﹣3，则4（x﹣2y）2﹣3（x﹣2y）+20的值是．【变式1-2】（2022春•八步区期末）若a2+a﹣1＝0．则2a2+2a的值为．【变式1-3】（2022秋•潍坊期末）已知m﹣n＝2，mn＝﹣5，则3（mn﹣n）﹣（mn﹣3m）的值为．【题型2利用整体思想配系数求值】【例2】（2022春•赣榆区期末）已知代数式3x2﹣4x﹣6的值是9，则代数式x2−4【变式2-1】（2022•德城区校级开学）若x﹣5y＝7时，则代数式3﹣2x+10y的值为（）A．17 B．11 C．﹣11 D．10【变式2-2】（2022秋•泗洪县期中）当x＝2，y＝﹣4时，代数式ax3+12by+8＝2018，当x＝﹣4，y=−12时，代数式3ax﹣24by【变式2-3】（2022秋•营山县期中）已知a2﹣5b+3＝2021，则10b﹣2a2+3的值为（）A．4042 B．﹣4042 C．﹣4039 D．﹣4033【题型3利用整体思想的奇次项为相反数求值】【例3】（2022秋•威县期中）已知当x＝1时，多项式ax3+bx+2022的值为2023；则当x＝﹣1时，多项式ax3+bx+2022的值为（）A．2024 B．2022 C．2021 D．2019【变式3-1】（2022秋•义马市期中）当x＝5时，代数式ax5+bx3+cx﹣8的值为6，则当x＝﹣5时，代数式ax5+bx3+cx﹣8的值为．【变式3-2】（2022秋•麦积区期末）当x＝3时，代数式px5+qx3+1的值为2022，则当x＝﹣3时，代数式px5+qx3+1的值为：．【变式3-3】（2022春•高州市月考）当x＝﹣2005时，代数式ax2005+bx2003﹣1的值是2005，那么当x＝2005时，代数式ax2005+bx2003﹣1的值是．【题型4利用整体思想赋值求值】【例4】（2022•新乐市一模）如果（x−12）3＝ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d＝【变式4-1】（2022秋•桐城市校级期末）已知（﹣2x+1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0是关于x的恒等式（即x取任意值时等式都成立），则a1+a2+a3+a4+a5＝．【变式4-2】（2022秋•海州区期中）已知多项式ax2009+bx2007+cx2005+dx2003﹣3，当x＝﹣1时，多项式的值为17，则当x＝1时，多项式ax2009+bx2007+cx2005+dx2003﹣3的值是．【变式4-3】（2022春•安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．请类比上例，解决下面的问题：已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，求（1）a0的值；（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；（3）a6+a4+a2的值．【题型5利用整体思想拆分某项构造整体求值】【例5】（2022秋•桐柏县月考）若x+y＝2，﹣y+z＝﹣4，则2x﹣y+3z的值是．【变式5-1】（2022秋•蔡甸区期中）已知m2+mn＝﹣2，3mn+n2＝﹣9，则2m2+11mn+3n2的值是（）A．﹣27 B．﹣31 C．﹣4 D．﹣23【变式5-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）a2+ab＝3，ab﹣b2＝6，则a2+3ab﹣2b2＝．【变式5-3】（2022秋•铁锋区期中）已知a2+2ab＝﹣10，b2+2ab＝16，则a2+4ab+b2+5＝．【题型6多次利用整体思想构造整体求值】【例6】（2022秋•郾城区期末）若x，y二者满足等式x2﹣2x＝2y﹣y2，且xy=12，则式子x2+2xy+y2﹣2（x+A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【变式6-1】（2022•盐亭县模拟）若a﹣b＝2，3a+2b＝3，则3a（a﹣b）+2b（a﹣b）＝．【变式6-2】（2022秋•常州期末）已知xy+x＝﹣6，y﹣xy＝﹣2，求代数式2[x+（xy﹣y）2]﹣3[（xy﹣y）2﹣y]﹣xy的值．【变式6-3】（2022•苏州自主招生）已知a是实数，并且a2﹣2020a+4＝0，则代数式a2A．2019 B．2020 C．2021 D．2022专题2.6利用整体思想求值【六大题型】【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用整体思想直接代入求值】 1【题型2利用整体思想配系数求值】 2【题型3利用整体思想的奇次项为相反数求值】 4【题型4利用整体思想赋值求值】 6【题型5利用整体思想拆分某项构造整体求值】 7【题型6多次利用整体思想构造整体求值】 8【题型1利用整体思想直接代入求值】【例1】（2022秋•柳江区期中）已知a﹣b＝2，则2（a﹣b）﹣5的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣3【分析】将a﹣b＝2整体代入代数式2（a﹣b）﹣5进行计算即可．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴2（a﹣b）﹣5＝2×2﹣5＝4﹣5＝﹣1，故选：B．【变式1-1】（2022秋•巫溪县期末）已知：x﹣2y＝﹣3，则4（x﹣2y）2﹣3（x﹣2y）+20的值是65．【分析】整体代入思想把x﹣2y＝﹣3整体代入求值即可．【解答】解：∵x﹣2y＝﹣3，∴原式＝4×（﹣3）2﹣3×（﹣3）+20＝36+9+20＝65．故答案为：65．【变式1-2】（2022春•八步区期末）若a2+a﹣1＝0．则2a2+2a的值为2．【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可得出结论．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1．原式＝2（a2+a）＝2×1＝2．故答案为：2．【变式1-3】（2022秋•潍坊期末）已知m﹣n＝2，mn＝﹣5，则3（mn﹣n）﹣（mn﹣3m）的值为﹣4．【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入求值．【解答】解：原式＝3mn﹣3n﹣mn+3m＝3m﹣3n+2mn，∵m﹣n＝2，mn＝﹣5，∴原式＝3（m﹣n）+2mn＝3×2+2×（﹣5）＝6﹣10＝﹣4，故答案为：﹣4．【题型2利用整体思想配系数求值】【例2】（2022春•赣榆区期末）已知代数式3x2﹣4x﹣6的值是9，则代数式x2−4【分析】将代数式适当变形利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：∵3x2﹣4x﹣6＝9，∴3x2﹣4x＝15．∴x2−43∴原式=＝5+2＝7．故答案为：7．【变式2-1】（2022•德城区校级开学）若x﹣5y＝7时，则代数式3﹣2x+10y的值为（）A．17 B．11 C．﹣11 D．10【分析】根据x﹣5y＝7，对要求的代数式进行变形，整体代入即可求得结果．【解答】解：原式＝3﹣2x+10y＝3﹣2（x﹣5y），当x﹣5y＝7时，原式＝3﹣2×7＝﹣11．故选：C．【变式2-2】（2022秋•泗洪县期中）当x＝2，y＝﹣4时，代数式ax3+12by+8＝2018，当x＝﹣4，y=−12时，代数式3ax﹣24by3+6＝【分析】先将x＝2，y＝﹣4代入ax3+12by+8＝2018，可得出关于a，b的等式，然后再将x＝﹣4，y【解答】解：将x＝2，y＝﹣4代入ax3+128a﹣2b＝2010∴4a﹣b＝1005将x＝﹣4，y=−12代入3ax﹣24by得﹣12a+3b+6＝﹣3（4a﹣b）+6＝﹣3×1005+6＝﹣3009【变式2-3】（2022秋•营山县期中）已知a2﹣5b+3＝2021，则10b﹣2a2+3的值为（）A．4042 B．﹣4042 C．﹣4039 D．﹣4033【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：∵a2﹣5b+3＝2021，∴a2﹣5b＝2018，∴原式＝10b﹣2a2+3＝﹣2（a2﹣5b）+3＝﹣2×2018+3＝﹣4033．故选：D．【题型3利用整体思想的奇次项为相反数求值】【例3】（2022秋•威县期中）已知当x＝1时，多项式ax3+bx+2022的值为2023；则当x＝﹣1时，多项式ax3+bx+2022的值为（）A．2024 B．2022 C．2021 D．2019【分析】将x＝1代入多项式，得到关于a，b的关系式，再将x＝﹣1代入后适当变形利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：∵当x＝1时，多项式ax3+bx+2022的值为2023，∴a+b+2022＝2023．∴a+b＝1．∴当x＝﹣1时，ax3+bx+2022＝﹣a﹣b+2022＝﹣（a+b）+2022＝﹣1+2022＝2021．故选：C．【变式3-1】（2022秋•义马市期中）当x＝5时，代数式ax5+bx3+cx﹣8的值为6，则当x＝﹣5时，代数式ax5+bx3+cx﹣8的值为﹣22．【分析】根据题意，可得：55a+53b+5c﹣8＝6，所以3125a+125b+5c＝14，据此求出当x＝﹣5时，代数式ax5+bx3+cx﹣8的值为多少即可．【解答】解：∵当x＝5时，ax5+bx3+cx﹣8＝6，∴55a+53b+5c﹣8＝6，∴3125a+125b+5c＝14，∴当x＝﹣5时，ax5+bx3+cx﹣8＝﹣55a﹣53b﹣5c﹣8＝﹣3125a﹣125b﹣5c﹣8＝﹣（3125a+125b+5c）﹣8＝﹣14﹣8＝﹣22．故答案为：﹣22．【变式3-2】（2022秋•麦积区期末）当x＝3时，代数式px5+qx3+1的值为2022，则当x＝﹣3时，代数式px5+qx3+1的值为：﹣2020．【分析】先把3代入代数式，得到35p+33q＝2021．再把﹣3代入，利用整体代入的思想求解即可．【解答】解：∵当x＝3时，代数式px5+qx3+1的值为2022，∴35p+33q+1＝2022．∴35p+33q＝2021．当x＝﹣3时，代数式px5+qx3+1＝（﹣3）5p+（﹣3）3q+1＝﹣35p﹣33q+1＝﹣（35p+33q）+1＝﹣2021+1＝﹣2020．【变式3-3】（2022春•高州市月考）当x＝﹣2005时，代数式ax2005+bx2003﹣1的值是2005，那么当x＝2005时，代数式ax2005+bx2003﹣1的值是﹣2007．【分析】由题意可得20052005a+20052003b＝﹣2006，把x＝2005时代入代数式ax2005+bx2003﹣1得20052005a+20052003b﹣1，再把20052005a+20052003b＝﹣2006代入计算即可得出结果．【解答】解：∵当x＝﹣2005时，代数式ax2005+bx2003﹣1的值是2005，∴（﹣2005）2005a+（﹣2005）2003b﹣1＝2005，∴﹣20052005a﹣20052003b＝2006，∴20052005a+20052003b＝﹣2006，∴当x＝2005时，ax2005+bx2003﹣1＝20052005a+20052003b﹣1＝﹣2006﹣1＝﹣2007，故答案为：﹣2007．【题型4利用整体思想赋值求值】【例4】（2022•新乐市一模）如果（x−12）3＝ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d＝1【分析】令x＝1，则ax2+bx2+cx+d＝a+b+c+d，然后把x＝1代入（x−12）3，求出a+b+c+【解答】解：令x＝1，则ax3+bx2+cx+d＝a+b+c+d，∴a+b+c+d＝（1−12=(=1故答案为：18【变式4-1】（2022秋•桐城市校级期末）已知（﹣2x+1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0是关于x的恒等式（即x取任意值时等式都成立），则a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．【分析】令x＝0和x＝1得到两个等式，即可求出所求．【解答】解：当x＝0时，a0＝1；当x＝1时，a5+a4+a3+a2+a1+a0＝﹣1，则a5+a4+a3+a2+a1＝﹣2，故答案为：﹣2【变式4-2】（2022秋•海州区期中）已知多项式ax2009+bx2007+cx2005+dx2003﹣3，当x＝﹣1时，多项式的值为17，则当x＝1时，多项式ax2009+bx2007+cx2005+dx2003﹣3的值是﹣23．【分析】把x＝﹣1代入上述多项式，可得a+b+c+d的值，再把x＝1代入该多项式，可求出多项式的值．【解答】解：当x＝﹣1时，多项式＝﹣a﹣b﹣c﹣d﹣3＝17，∴a+b+c+d＝﹣20，∴当x＝1时，原式＝a+b+c+d﹣3＝﹣20﹣3＝﹣23．故答案为：﹣23．【变式4-3】（2022春•安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．请类比上例，解决下面的问题：已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，求（1）a0的值；（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；（3）a6+a4+a2的值．【分析】（1）观察等式可发现只要令x＝1即可求出a（2）观察等式可发现只要令x＝2即可求出a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．（3）令x＝0即可求出等式①，令x＝2即可求出等式②，两个式子相加即可求出来．【解答】解：（1）当x＝1时，a0＝4×1＝4；（2）当x＝2时，可得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8；（3）当x＝0时，可得a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝0①，由（2）得得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8②；①+②得：2a6+2a4+2a2+2a0＝8，∴2（a6+a4+a2）＝8﹣2×4＝0，∴a6+a4+a2＝0．【题型5利用整体思想拆分某项构造整体求值】【例5】（2022秋•桐柏县月考）若x+y＝2，﹣y+z＝﹣4，则2x﹣y+3z的值是﹣8．【分析】原式进行变形后，利用整体思想代入求值．【解答】解：原式＝2x+2y﹣3y+3z＝2（x+y）+3（﹣y+z），∵x+y＝2，﹣y+z＝﹣4，∴原式＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8，故答案为：﹣8．【变式5-1】（2022秋•蔡甸区期中）已知m2+mn＝﹣2，3mn+n2＝﹣9，则2m2+11mn+3n2的值是（）A．﹣27 B．﹣31 C．﹣4 D．﹣23【分析】把所给的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，整体代入运算即可．【解答】解：∵m2+mn＝﹣2，3mn+n2＝﹣9，∴2m2+11mn+3n2＝2m2+2mn+9mn+3n2＝2（m2+mn）+3（3mn+n2）＝2×（﹣2）+3×（﹣9）＝﹣4+（﹣27）＝﹣31．故选：B．【变式5-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）a2+ab＝3，ab﹣b2＝6，则a2+3ab﹣2b2＝15．【分析】原式进行变形后，利用整体思想代入求值．【解答】解：原式＝a2+ab+2ab﹣2b2，∵a2+ab＝3，ab﹣b2＝6，∴原式＝a2+ab+2（ab﹣b2）＝3+2×6＝3+12＝15，故答案为：15．【变式5-3】（2022秋•铁锋区期中）已知a2+2ab＝﹣10，b2+2ab＝16，则a2+4ab+b2+5＝11．【分析】将原式变形为a2+2ab+b2+2ab+5，然后利用整体思想代入求值即可．【解答】解：原式＝a2+2ab+b2+2ab+5，∵a2+2ab＝﹣10，b2+2ab＝16，∴原式＝﹣10+16+5＝11，故答案为：11．【题型6多次利用整体思想构造整体求值】【例6】（2022秋•郾城区期末）若x，y二者满足