计算机应用数学 计算机数学 第三章

•微分的计算

难点

要求期gm

，理解

可导、微分的定义

•掌握

导数、微分的运算法则

导数公式

复合函数及隙

3.1导数的概念

3.1.1导数的定义

设函数＞=/（%）在点须）处及其左右近旁有定

义，当自变量X在％处有改变量时△%（△%，。），相

应的函数y有改变量△、=/（%+△%）—（△（））如果

当0时，F的极限存在，即lim生存在，

-0Ar，

Ay

则称［r巴。入；为函数丁二（月在点两处的导数。

记为y\x=x0

△y/(/+Ax)-f(x0)

即N_=lim

%一和—△x△x

也可以记作：/'(%)或今

或y'x一

X=XQ

函数y=/(x)在点x=/处存在导数，简称为函

数”/⑴在点X=xo处可导。

例

已知/⑴=%2，求/•，⑴,/，⑴,/，(通).

2

].(x()+AX)2—%2%2+2工2^冗+(△%)?—%

f(x)=hm------------二lim---------------------

△x-»oAx△%一()Ax

「Ax(2x+△%)八

二hm——---------=2x

△%->oAx

3.12导数的几何意义

313可导与连续的关系

定理1若函数y=/(%)在点工。可导,贝l]/(x)

在点明必连续。

注意此定理的逆定理不成立。即连续不一

定可导，但连续是可导的必要条件。

3.2导数的运算

jf3.2.1幕函数的导数

1.求导公式「

（一），=以”（4为任意常数）

2.两点说明

1）幕函数的求导公式的特点是：求一次导

数，幕指数降低一次。

2）在求幕函数的导数时，若遇到根式和分

式，应先化成分数指数或负指数，然后

再用上述公式求导。

例阊msiHHgq

已知/(X)=万,求T(x)

JC

解

1

因为"x)=?=x

所以广⑴=-2/T=-2]

3.2.2代数和的导数

如果力(X)/(X)，....fn(%)(〃为正整数)在点X可导

则[力⑴土八⑴……±fn(x)y=fi\x)±f2\x)±……±fn\x)

323乘积的导数

如果力⑴，力⑴都在点可导，则

[/1（%）・%（x）T=%'（%）・%（尤）+fl⑴/'⑴

特别地，当力（x）=c（c为常量）时，[或%（，）=。叫

k/i（x）r=cf\（X）｛或[c/<2（x）r=cf\（%）｝即常数因子可以

移到导数符号外面来。

।1

例已知]⑺=（1+/）（3--），W（1）

JQ

解因为]

尸（兀）=（1+%3）（3一%—2）+（1+元3）（3—%—2）,=3/2（3一%—2）+Q+%3）X2/一3

2-32

=9x-3+2x+2=9x+2-1所以/'⑴=9+2-1=10

22T商的导数

，如果力⑴/⑴都在点可导且%(%)wO贝代.

“1叫"一'1(X)・/2(X)—力二)・广2(外

/l2(X)H⑴

特别地，当/i(x)=c(°为常数)时，有［，-r=_J⑴

例%⑴于2⑴

已知，=T―7，求y'=?

解wKx+1

(X2+l)(x2-l)-(x2-l)(x2+1)12x(x2+1)-2x(x2-1)4x

”(x2+1)2(x2+l)2(x2+l)2

3.2.5复合函数的导数

\设函数y=f(u),u=(p(x)即y是X的一个复合

函数，即>=/[。(创如果在点x处有导数

.(X),>=/(〃)在点"处有导数仆)，则>=H。(创

在点X处的导数也存在，且f'(x)=「C

或写成虫=包.也

dxdudx/

例已知y=(l+2x)3°求y，(x)

解/设y=/,"=i+2x,则由复合函数求导公式

得了(犬)=330人.(1+2%)[=30〃29X2=60"29=60(1+2%)29

326三角函数的导数

1,正弦函数的导数(sinx)'=cosx

2.余弦函数的导数(cosx)'=-sinx

(tanxy=sec2%=-^-

.正切函数的导数

3COSX

—1

(cotx),=-csc2X=

sin2x

厂〕，327指数函数的导数”[]

(axy=ax=e时,(1)'=e'

例

已知/。)=*与11码求：7。)=?/'(1)=?

解「Jt

f\x)=(e玄)'sin;zx+e加(siivzx)'=e加(加)'sin/zx+e加•cos^x(^x)1

•一=碇"•sin衣+加公•cos7tx=庇公(sinm+cos吟

[7i

/*(—)=^^(sin—+cos-)-ne1

222

—Y3,2.8对数函数的导数一

(logax)，=—logae,当a=e时，(lnx)=—

例

已知y=Insin2X,求/(£)=?

解因为了⑶二,；Gil?%)=2smxcosx“eg

sinxsinx

所以y，(g)=2cotg=2百

329隐函数的导数M

例

已知y=xlny,求

解

3210取对数求导法

例

已知y=炉皿求y（］）=?

解等号两边取对数:

1isinx

——y=cosxlnxd-------

Iny=sinxInxyx

,/sinx、sm%/[sinx、

y=y(cosxl1nxH-------)=x(cosxlnxH-------)

xSHHHx

象此类的幕指函数还可以按以下方法求导:

sinx

)=(■)，=(/n%inxy=eSin%in、(sinx・lnx)'=eSii(cosxlnx+

X

■

3.ZH导数公式

公式见教材公式

3.3高阶导数

13.3.1高阶导数的概念

如果函数＞=/（无）的导数广⑴在点x处可导，则

称/'⑴在点X处的导数为二阶导数，记作：

广⑴y或今

dx

（〃-1）阶导数y（i）=/（〃-，%）的导数称为函数

y=/（%）的n阶导数，记作：

332高阶导数的运算

例

已知y=InX,求：

1-2_2

产-门二丁

解X3

例

已知求：y的二阶、三阶……几阶导数

用牛y=ae,y=ae,y—ae，泮-aeax

3.4^分

341微分的概念

在引入微分概念之前，我们先回顾我下

导数定义：设，=/（尤）在*处可导，则

AxfoAx

因此⑴+。其中

Ax

o为Axf0时无穷小故Ay=f\x）Ax+a-Ax显然

戊&是广（x）Ax的高阶无穷小。.

当|Ax|很小时，有Ayp尸⑴Axo

定义1设函数,在点x。具有导数/'5)则称

/，(％)•Ar为函数＞=/(/庵点元=%0处的微分，

记作dyX=XQ即阈X=%0=f(X。),X

函数的微分有以下两个特点：

L微分明自变量心成正比，即有线性关系。

2.函数微分办与函数改变量与之差是一个比Ax

高阶的无穷小量，因此函数微分是函数改变量

的主要部分。于是我们称函数微分为函数改变

量的线性主部。

3.4.2微分的运算

例

已知y=e*sinx,求：dy

解dy=(e，sinx)"dx="(sin犬+cosx)dx

3.4.3微分形式的不变性

设函数y=/(x)在x处可微，当X为自变量时，

有力="x)dx当/为中间变量时，设

%=0⑺且“⑺存在,贝|J办=电.心力=f,(x)(p'(t)dt

dxdt

乂dx="。)力，所以dy=即：无论X是

自变量还是中间变量，y=/(%)的微分力总可用

尸(元磔来表示，这个性质称为微分形式的不变性。

3.4.4微分的应用

例

求也.02的近似值

解设/⑴=VI则小）二毋'