导数与优化问题

1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.§1.4生活中的优化问题举例知识点生活中的优化问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为

.2.利用导数解决优化问题的实质是

.3.解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的

过程.优化问题求函数最值数学建模类型一面积、容积的最值问题例1

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x应取何值？当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x＝15.(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.令V′>0，得0<x<20；令V′<0，得20<x<30.1.这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了.2.这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x的不等式(组)求定义域.跟踪训练1

某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位：m2)，

∠AON＝θ(单位：弧度).(1)将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.解S′＝5000(2cos2

θ＋cos

θ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1).类型二利润最大问题例2

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.解当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产

中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.跟踪训练2

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝

＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；所以a＝2.(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解由(1)可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]

＝30(x－4)(x－6).于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.例3

已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？类型三费用(用材)最省问题解设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y，由题意，得令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，即v＝16km/h时全程燃料费最省，ymin＝32000(元)；当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，即y在(8，v0]上为减函数，综上，当v0≥16时，v＝16km/h全程燃料费最省，为32000元；1.用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.2.利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.跟踪训练3

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)

＝

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.解设隔热层厚度为xcm，而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.跟踪训练3

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；解析答案解因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元.所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.又根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去).当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.类型三生活中的优化问题例3

某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3).(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？解设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，所以当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大.解析答案(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为－

x3＋x2＋3x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.解析答案反思与感悟解设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元).所以g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2<x≤3时，g′(x)<0.由此获得的收益是g(x)(百万元)，解析答案反思与感悟故g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数，所以当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，可使该公司由此获得的收益最大.反思与感悟解决优化问题的步骤：(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.反思与感悟T5选作。答案见后(1)函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(