山东省临沂市河东区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题含答案解析

2023－2024学年度上学期期中学业水平质量调研试题九年级数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分．考试时间120分钟．2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若是关于x的一元二次方程的解，则()A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】把代入方程，得到，整体代入求值即可．【详解】解：由题意，得：，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．2.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】解：，整理得：，配方得：，即．故选：B．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知项移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解．3.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象和一次函数与轴，与轴的交点可得相关图象进行判断．【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于，与轴交于点，由二次函数可知，抛物线与轴交于和，顶点为，观察四个选项A、C、D都不可能，选项B中，由直线经过一、三、四象限可知，由抛物线可知开口向下，顶点在的正半轴，则，故B有可能；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，函数图象与坐标轴的交点，以及函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．4.抛物线y＝（x﹣3）2+1可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移3个单位，再向上平移1个单位B.先向左平移3个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移3个单位，再向上平移1个单位D.先向右平移3个单位，再向下平移1个单位【答案】C【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：抛物线y＝x2向右平移3个单位可得到抛物线y＝（x﹣3）2，抛物线y＝（x﹣3）2再向上平移1个单位即可得到抛物线y＝（x﹣3）2+1．故平移过程为：先向右平移3个单位，再向上平移1个单位．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．5.已知抛物线的对称轴为，若点在抛物线上，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，对于二次函数，当是，离对称轴越远，函数值越大，当时，离对称轴越远，函数值越小，据此求解即可．【详解】解：∵抛物线解析式为，，∴抛物线开口向下，∴离对称轴越远函数值越小，∵点在抛物线上，且，∴，故选C．6.如图，是的直径，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴；故选B．【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．7.如图，在正方形网格中，任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形构成一个中心对称图形的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查概率和中心对称图形，由在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵根据中心对称图形的概念，绕某点旋转后可重合，白色的小正方形有个，而能构成一个轴对称图形的有种情况（如题标注），∴使图中黑色部分的图形构成一个中心对称图形的概率是，故选D．8.将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解．【详解】如图，三角板绕原点顺时针旋转，旋转后与轴夹角为，，，点的横坐标为，纵坐标为，所以，点的坐标为．故选：C．9.某商店将一批秋装降价处理，经过两次降价后，由每件元降至元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程的应用平均变化率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：．设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得．故选：A．10.如图，是半圆的直径，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余，圆内接四边形对角互补；如图所示，连接，先根据直径所对的圆周角是直角求出，则，再根据圆内接四边形对角互补求解即可．【详解】解：如图所示，连接，∵是半圆O的直径，∴，∵，∴，∴，故选C．11.如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（）A.π﹣1 B.π﹣2 C.π﹣3 D.4﹣π【答案】B【解析】【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2，故选：B．【点睛】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算．12.已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为（m，3），则下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况和二次函数的最值进行推理即可．【详解】解：有图意可得：抛物线与x轴有两个交点，所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，故①正确；由抛物线开口向下，可得a＜0，由抛物线与y轴交于原点上方，可得c＞0，∴ac＜0，故②正确；由抛物线对称轴为直线且a＜0，可得，故③错误；由抛物线的顶点坐标为（m，3），可得当x=m时，y有最大值为3∴关于x的一元二次方程的解为，即有两个相等的实数根，故④正确正确的共3个，故选：B【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，会利用抛物线的开口方向、与坐标轴的交点以及对称轴的位置确定系数的符号，理解二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.设，是一元二次方程的两根，则_______．【答案】0【解析】【分析】直接根据根与系数的关系求解．【详解】解：、是方程的两根，，，．故答案为0．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．14.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为______．【答案】##度【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．15.如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是________________．【答案】【解析】【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键．作轴于，交于，作于，连接，由于，易得点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理可计算出，则，继而可得答案．【详解】解：作轴于，交于，作于，连接，如图，∵的圆心坐标是，∴，把代入得，∴点坐标为，∴，∴为等腰直角三角形，∴也为等腰直角三角形，∵，在中，，故答案为：．16.如图，⊙O的半径OA＝1，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____．【答案】或【解析】【分析】根据切线的性质得到△OBC是等腰直角三角形，当△OAC是直角三角形时，分两种情况讨论即可；【详解】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵BC＝OA，∴OB＝BC＝1，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠ACO≤45°，∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，∴OC＝OB＝，∴AC＝；

②当△OAC是直角三角形时，∠OAC＝90°，连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝∠OAC＝90°，∵BC＝OA＝OB，∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC＝，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质和等腰三角形的性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共72分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17计算：（1）（2）【答案】17.18.【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：，，，解得：；【小问2详解】解：，，解得：．18.已知抛物线图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…－2－10123…y…50－3－4－30…（1）求此抛物线的解析式，并画出图像；（2）结合图像直接写出当0≤x≤4时，y的范围．【答案】（1），图见解析（2）【解析】【分析】（1）根据表格得出抛物线过点、、，将点坐标代入抛物线解析式求出a、b、c即可，再利用描点法画函数图像；（2）利用图像可直接得到答案．【小问1详解】解：∵设二次函数的解析式为，由题意得：当时，，∴∵时，，当时，，∴，解得，∴；∵当时，，∴根据表格描点，用平滑曲线连结，抛物线图像如图：【小问2详解】解：由图可得，抛物线的顶点为，∴当0≤x≤4时，．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图像是解题关键．19.某市某区在2021年4月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查，调查结果根据年龄x(岁)分为四类：A类：18≤x＜30；B类：30≤x＜40；C类：40≤x＜50；D类：50≤x≤59．现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）抽取的C类市民有人，并补全条形统计图；（2）若本次抽取人数占已接种市民人数的5%，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有多少人？（3）区防疫站为了获取更详细的调查资料，从D类市民中选出两男两女，现准备从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男一女的概率．【答案】（1）30，见解析（2）2400（3）【解析】【分析】(1)根据A、B、D的总人数，所占总百分比计算样本容量，变形计算C的数据，完善统计图即可．(2)利用样本估计总体的思想计算即可．(3)画树状图计算概率．【小问1详解】根据条形统计图，得A、B、D的总人数为20+20+50=90人，根据扇形统计图，得其百分数为1-25%=75%，∴样本容量为：90÷75%=120(人)，∴C类人数是：120×25%=30(人)，故答案为：30；完善统计图如下：【小问2详解】根据题意，得120÷5%=2400(人)．小问3详解】画树状图如下：一共有12种等可能性，其中一男一女的有8种等可能性，∴两人恰好是一男一女的概率是：．【点睛】本题考查了统计图的意义和运用，画树状图计算概率，正确理解统计图的意义，熟练画出树状图是解题的关键．20.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．【答案】（1）见解析（2）a值为3【解析】【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明；（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．【小问1详解】证明：，∵，∴该方程总有两个实数根．【小问2详解】解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2x1，则，由①得，代入②可得：，解之得，，又因为该方程的两个实数根都是整数，所以．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．21.如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接交于点F，连接．（1）求证：；（2）当时，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可知：，，由于，从而可得，根据即可证明；（2）先根据等腰三角形的性质求出，再由全等三角形的性质得出，求出，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案．【小问1详解】证明：根据旋转可得：，，，，，在与中，，∴；【小问2详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．22.如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，求的长．【答案】（1）等腰直角三角形，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可知．根据角平分线的性质可知，．根据同弧所对圆周角相等得出，最后由三角形外角性质结合题意即可证明，得出，即说明为等腰直角三角形；（2）连接，交于点F．由，说明，即可由垂径定理得出，．在中，利用勾股定理可求出，从而可求出，最后在中，利用勾股定理即可求解．【小问1详解】∵为的直径，∴．∵分别平分和，∴，．∵，∴．∵，，∴，∴，∴为等腰直角三角形；【小问2详解】如图，连接,交于点F．∵，∴，∴，．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查圆周角定理推论，等腰直角三角形的判定，勾股定理，垂径定理等知识．熟练掌握圆的相关知识，并会连接常用的辅助线是解题关键．23.综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，_______．②S关于t的函数解析式为_______．（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制