2023-2024学年上海市浦东新区民办欣竹中学八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

上海浦东新区民办欣竹中学2023学年第一学期数学学科八年级期末考试卷（考试时间：90分钟，满分100分）一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．的一个有理化因式是（

）A． B． C． D．3．反比例函数的图象经过点、、，其中，那么、的大小关系是（

）A． B． C． D．都有可能4．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B． C． D．5．下列命题的逆命题是假命题的是（

）A．关于某一条直线对称的两个三角形全等B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上C．在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方6．在中，，，，求的长（

）A．4 B．2 C．4或6 D．2或4二、填空题（共12小题，每小题2分，共24分）7．化简：．8．在实数范围内因式分解：.9．函数的定义域是．10．已知反比例函数的图象经过点，那么当，这个函数中的函数值随自变量值的增大而．（填写“增大”或“减小”）11．已知关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是．12．已知函数，那么．13．如果两个定点A、B的距离为3厘米，那么到点A、B的距离之和为3厘米的点的轨迹是．14．如图，在长为米、宽为米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成块，这块绿地的总面积为平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，如果AC=9cm，那么AD=cm．16．已知是等腰三角形，是边上的高，且，那么此三角形的顶角的度数为．17．如图，在中，，，，将绕着点旋转得到，点与对应，点与对应，连接，则．18．如图，在等边的，上各取一点D，E，使，，相交于点M，过点B作直线的垂线，垂足为H．若，则的长为．

三、解答题（共8小题，第19-23题每小题6分，第24题8分，第25、26题各10分）19．．20．解方程：．21．解不等式：22．如图，在四边形中，，，，，，求的度数．23．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y与时间的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？24．综合与实践【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．(1)请用分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，，边上的高为______．25．如图，在平面直角坐标系中，点M为x正半轴上一点，过点M的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点，(1)求k的值；(2)当时，求直线OQ的解析式；(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点N，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当BE=BF时，求线段CD的长．

参考答案与解析

1．D【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，逐个判断即可．【详解】解：A、方程整理为，不是一元二次方程，不符合题意；B、不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；C、不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；D、是一元二次方程，符合题意；故选：D．2．C【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答．【详解】解：∵，∴的一个有理化因式是，故选：C．3．A【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握当反比例函数图象位于二、四象限时，在每一象限内，y随x的增大而增大；反之，y随x的增大而增大；根据反比例函数的图象经过点，得出该反比例函数图象位于二、四象限，结合增减性，即可解答．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴该反比例函数图象位于二、四象限，∴在每一象限内，y随x的增大而增大，∵，∴、都在第四象限，∴，故选：A．4．B【分析】本题主要考查了三角形的内角和，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为；两边平方和等于第三边平方的三角形为直角三角形．根据三角形的内角和为，即可判断A、B；根据平方差公式和勾股定理的逆定理，即可判断C；根据勾股定理的逆定理，即可判断D．【详解】解：A、∵，，∴，解得：，能判定是直角三角形，不符合题意；B、∵，∴，，，不能判定是直角三角形，符合题意；C、∵，∴，能判定是直角三角形，不符合题意；D、设，，能判定是直角三角形，不符合题意；故选：B．5．A【分析】本题考查了逆命题，命题真假，熟练掌握判定是解题的关键．【详解】A.关于某一条直线对称的两个三角形全等的逆命题是两个全等的三角形关于某条直线对称，不正确，符合题意；B.到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上逆命题是垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，正确，不符合题意；C.在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等的逆命题，在一个角的内部，到这个角两边的距离相等的点在角平分线上，正确，不符合题意；D.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的逆命题是如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意，故选A．6．D【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的特征，过点A作于点D，然后进行分类讨论：当点B和点C在两侧时，当点B和点C在同侧时，根据勾股定理求出，即可求解．【详解】解：过点A作于点D，当点B和点C在两侧时，∵，，∴，在中，根据勾股定理可得：，∴，当点B和点C在同侧时，同理可得：，∴，综上：的长为2或4，故选：D．7．【分析】本题主要考查二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简根式即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．8．【分析】先在实数范围内提公因式得：，然后利用配方法以及平方差公式将括号里的进行因式分解变形得出答案【详解】=====故答案为【点睛】本题主要考查了因式分解的基本方法，熟练掌握相关方法是关键9．【分析】此题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，二次根式被开方数为非负数进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．【详解】由题意得，，解得：，故答案为：．10．增大【分析】此题考查了反比例函数的性质，根据题意，利用待定系数法解出系数的符号，再根据值的正负确定函数值的增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质．【详解】设反比例函数的图象解析式为，∵反比例函数的图象经过点，∴，∴当时，随的增大而增大，故答案为：增大．11．且【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有根的情况求参数，以及解一元一次不等式组，利用根的判别式以及二次项系数不为0求解即可．【详解】解：∵方程有实数根，∴，，解得：且．故答案为：且.12．【分析】本题考查了求函数值，根据定义，代入计算即可．【详解】∵，∴，故答案为：．13．线段AB【分析】设到定点A、B的距离之和为3厘米的点是点P，若点P不在线段AB上，易得PA+PB＞3，若点P在线段AB上，则PA+PB=AB=3，由此可得答案．【详解】解：设到定点A、B的距离之和为3厘米的点是点P，若点P在不在线段AB上，则点P在直线AB外或线段AB的延长线或线段BA的延长线上，则由三角形的三边关系或线段的大小关系可得：PA+PB＞AB，即PA+PB＞3，若点P在线段AB上，则PA+PB=AB=3，所以到点A、B的距离之和为3厘米的点的轨迹是线段AB．故答案为：线段AB．【点睛】本题考查了点的轨迹和三角形的三边关系，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．14．【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，解题的关键是正确理解题意，列出方程．【详解】设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，由题意得：，故答案为：．15．6【分析】根据直角三角形30°角的性质，角平分线的性质，列式计算即可．【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°,∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，设AD=BD=x(cm)，∵AC=9cm，∴CD=(9-x)cm，∴（9-x）：x=1:2即：x=6，∴AD=6．故答案是：6．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键．16．或者【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，根据等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图1，取的中点，连接，，，，，是的中点，，是等边三角形，，；如图2，是等腰三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，；故答案为：或．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论并画出图形是解题的关键．17．或##或1【分析】此题考查了旋转的性质，勾股定理和等边三角形的性质与判定，根据题意旋转分逆时针和顺时针两种情况分析即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用和分类讨论思想．【详解】∵，，，∴由勾股定理得：，∴，当逆时针旋转时，如图，即点落在上，由旋转性质可知，∴，当顺时针旋转时，如图，连接，则点在的延长线上，由旋转性质可知，，，，，∴是等边三角形，∴，，∴，在中，由勾股定理得：．18．【分析】首先用证，由全等三角形的性质可得，可证，由含直角三角形的性质可得，过点A作于F，结合已知条件利用直角三角形的性质和勾股定理得出，，然后根据三角形的面积相等求出，进而求出．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，在和中，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，，∵，∴，，如图，过点A作于F，

∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，以及含的直角三角形，解题的关键是利用等边三角形的性质，作出辅助线，灵活运用这些性质解决问题.19．．【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据法则计算即可，解题的关键是熟练掌握运算法则的应用．【详解】解：原式，，，．20．【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法求解即可．【详解】解：∵，∴，，解得．21．x>【分析】先化简，再利用解不等式的方法与步骤解出答案即可．【详解】x<1+3x−x−3x<1−−4x<−x>【点睛】此题考查二次根式的应用，解题关键在于掌握运算法则.22．【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定和性质，连接，令中点为点E，连接，先根据勾股定理可得，再得出，通过证明为等边三角形，得出，根据勾股定理逆定理得出，即可求解．【详解】解：连接，令中点为点E，连接，∵，，，∴根据勾股定理可得，∵中点为点E，，∴，∴为等边三角形，∴，∵，，，∴，，∴，则，∴．23．(1)；(2)；(3)小时．【分析】（）根据图象利用待定系数法即可求出函数解析式；（）由（）得，根据图象即可求出恒定温度；（）根据各时间段的函数解析式算出时的值，相减即可；此题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答时应注意临界点的应用．【详解】（1）设直线的函数解析式为：，根据图象经过点，∴，解得：，∴直线∴与时间的函数关系式为；（2）由（）得与时间的函数关系式为；，则当时，，∴恒定温度为：；（3）设小时内函数解析式为：，根据图象经过点∴，解得：，∴函数解析式为：，当时，，解得：，当时，，解得：，∴低于时间共小时．24．(1)见解析(2)6，【分析】本题考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；【详解】（1）解：，，，，∴，化简得：；（2）解：设边上的高为，则：，∴，∴即AB边上的高是，故答案为：，．25．(1)-20(2)y=﹣x(3)点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）【分析】(1）由S△POQ=S△POM+S△MOQ=14结合反比例函数k的几何意义可得+4=14，进一步即可求出结果；(2）由题意可得MO=MQ，于是可设点Q(a,-a)，再利用待定系数法解答即可；(3）先求出点Q的坐标和OQ的长，然后分三种情况：①若OQ=ON，可直接写出点N的坐标；②若QO=QN，根据等腰三角形的性质解答；③若NO=NQ，根据两点间的距离解答．【详解】（1）解：∵，S△POM=，S△QOM=，∴+4=14，解得，∵k＜0，∴k=﹣20；（2）∵，轴，∴，∴MO=MQ，设点Q（a，﹣a），直线OQ的解析式为y=mx，把点Q的坐标代入得：﹣a=ma，解得：m=﹣1，