高等数学知识点总结

高等数学知识点总结导数公式：导数公式：

(tanx)′=sec2x(ctanx)′=csc2x(secx)′=secxtanx(cscx)′=cscxcotx(ax)′=axlna1(logax)′=xlna基本积分表：基本积分表：三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：

(arcsinx)′=1

1x21(arccosx)′=1x21(arctanx)′=1+x21(arccotx)′=1+x2

∫tanxdx=lncosx+C∫cotxdx=lnsinx+C∫secxdx=lnsecx+tanx+C∫cscxdx=lncscxcotx+C

dx1x=arctan+C2+xaadx1xa∫x2a2=2alnx+a+Cdx1a+x∫a2x2=2alnax+Cdxx∫a2x2=arcsina+C

∫cos∫sin

dx

2

xx

=∫sec2xdx=tanx+C=∫csc2xdx=cotx+C

dx

2

∫a

∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=cscx+C

x∫adx=

2

ax+Clna

∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫

dxx±a

22

=ln(x+x2±a2)+Cπ

2

π

2

In=∫sinnxdx=∫cosnxdx=

002

n1In2n

∫∫∫sinx=

xa222x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22xa2x2a2dx=x2a2lnx+x2a2+C22xa2xa2x2dx=a2x2+arcsin+C22a

2

2u1u2x2du，x=cos，=tan，=udx1+u21+u221+u2

1/13一些初等函数：一些初等函数：两个重要极限：两个重要极限：exex双曲正弦:shx=2xe+ex双曲余弦:chx=2shxexex双曲正切:thx==chxex+exarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x21)11+xarthx=ln21x三角函数公式：三角函数公式：诱导公式：·诱导公式：函数角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+α·和差角公式：和差角公式：lim

sin

0

xx+

x→

=

x

1=elim

x→

∞

(1

1)x

sin-sinαcosαcosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinαcoscosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinαcosαcosαtg-tanαcotα-cotα-tanαtanαcotα-cotα-tanαtanαctg-cotαtanα-tanα-cotαcotαtanα-tanα-cotαcotα

·和差化积公式：和差化积公式：

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβmsinαsinβtanα±tanβtan(α±β)=1mtanαtanβcotαcotβm1cot(α±β)=cotβ±cotα

sinα+sinβ=2sin

α+β

22α+βαβsinαsinβ=2cossin22α+βαβcosα+cosβ=2coscos22α+βαβcosαcosβ=2sinsin22cos

αβ

2/13

·倍角公式：倍角公式：

sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α1=12sin2α=cos2αsin2αcot2α1cot2α=2cotα2tanαtan2α=1tan2α

·半角公式：半角公式：

sin3α=3sinα4sin3αcos3α=4cos3α3cosα3tanαtan3αtan3α=13tan2α

sintan

α

2

=±=±

α1cosα1+cosαcos=±222α1cosα1cosαsinα1+cosα1+cosαsinα==cot=±==1+cosαsinα1+cosα21cosαsinα1cosα

abc===2RsinAsinBsinC

·余弦定理：c=a+b2abcosC余弦定理：

222

α

2

·正弦定理：正弦定理：定理

·反三角函数性质：arcsinx=反三角函数性质：

π

2arccosxarctanx=

π

2

arccotx高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：——莱布尼兹

k(uv)(n)=∑Cnu(nk)v(k)k=0n

=u(n)v+nu(n1)v′+

n(n1)(n2)n(n1)L(nk+1)(nk)(k)uv+L+uv(n)uv′′+L+2!k!中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)f(a)=f′(ξ)(ba)f(b)f(a)f′(ξ)柯西中值定理：=F(b)F(a)F′(ξ)当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：曲率：弧微分公式：ds=1+y′2dx,其中y′=tgαK平均曲率：=α.α:从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量；s：MM′弧长。sy′′αdαM点的曲率：K=lim==.s→0sds(1+y′2)31.a

3/13直线：K=0;半径为a的圆：K=定积分的近似计算：定积分的近似计算：矩形法：f(x)≈∫

a

bba(y0+y1+L+yn1)nba1[(y0+yn)+y1+L+yn1]n2ba[(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn2)+4(y1+y3+L+yn1)]3n梯形法：f(x)≈∫

abb抛物线法：f(x)≈∫

a定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：功：W=Fs水压力：F=pAm1m2,k为引力系数r2b1函数的平均值：=yf(x)dxba∫a引力：F=k12均方根：∫f(t)dtbaa空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：

b空间2点的距离：d=M1M2=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2向量在轴上的投影：juAB=ABcos,是AB与u轴的夹角。PrvvvvPrju(a1+a2)=Prja1+Prja2vvvvab=abcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：θ=cosivvvc=a×b=axbxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz

222222

vvvvvvaz,c=absinθ.例：线速度：v=w×r.bzaybycyazcz

axvvvvvv向量的混合积：bc]=(a×b)c=bx[acx代表平行六面体的体积。vvvbz=a×bccosα,α为锐角时，

4/13平面的方程：v1、点法式：A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0，其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3、截距世方程：++=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2

x=x0+mtxx0yy0zz0v空间直线的方程：===t,其中s={m,n,p};参数方程：y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2+2+2=1abc22xy2、抛物面：+=z（p,q同号）,2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2+22=1abc22xyz2双叶双曲面：22+2=（马鞍面）1abc多元函数微分法及应用全微分：dz=

zzuuudx+dydu=dx+dy+dzzxyxy全微分的近似计算：z≈dz=fx(x,y)x+fy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzzuzvz=f[u(t),v(t)]=+dtutvtzzuzvz=f[u(x,y),v(x,y)]=+xuxvx当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=uuvvdx+dydv=dx+dyxyxy隐函数的求导公式：FFFdydyd2y隐函数F(x,y)=0，=x，2=(x)＋(x)xFyyFydxdxFydxFyFzz隐函数F(x,y,z)=0，=x，=xyFzFz

5/13

FF(x,y,u,v)=0(F,G)u隐函数方程组：J==G(u,v)G(x,y,u,v)=0uu1(F,G)v1(F,G)==xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)==yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：

Fv=FuGGuvFvGv

x=(t)xxyy0zz0空间曲线y=ψ(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0==′(t0)ψ′(t0)ω′(t0)z=ω(t)在点M处的法平面方程：′(t0)(xx0)+ψ′(t0)(yy0)+ω′(t0)(zz0)=0vFyFzFzFxFxF(x,y,z)=0,则切向量T={,,若空间曲线方程为：GyGzGzGxGxG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03、过此点的法线方程：==Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：方向导数与梯度：FyGy}

2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0

fff函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：=cos+sinlxy其中为x轴到方向l的转角。fvfvi+jxyvvfvv它与方向导数的关系是：=gradf(x,y)e，其中e=cosi+sinj，为l方向上的l单位向量。f∴是gradf(x,y)在l上的投影。l函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA<0,(x0,y0)为极大值2ACB>0时，A>0,(x0,y0)为极小值2则：ACB<0时，无极值ACB2=0时,不确定

6/13重积分及其应用：重积分及其应用：

∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

DD′曲面z=f(x,y)的面积A=∫∫

D

zz1++dxdyxy2

2

M平面薄片的重心：x=x=M

∫∫xρ(x,y)dσ

D

∫∫ρ(x,y)dσ

D2D

,y=

MyM

=

∫∫yρ(x,y)dσ

D

∫∫ρ(x,y)dσ

DD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=∫∫yρ(x,y)dσ,对于y轴Iy=∫∫x2ρ(x,y)dσ平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F={Fx,Fy,Fz}，其中：Fx=f∫∫

D

ρ(x,y)xdσ

(x2+y2+a)

322，Fy=f∫∫

D

ρ(x,y)ydσ

(x2+y2+a)

322，Fz=fa∫∫

D

ρ(x,y)xdσ

3

(x2+y2+a2)2柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：

x=rcosθ柱面坐标：y=rsinθ,f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,θ,z)rdrdθdz,∫∫∫z=z其中：F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)x=rsincosθ球面坐标：y=rsinsinθ，dv=rdrsindθdr=r2sindrddθz=rcos

2∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,,θ)rsindrddθ=∫dθ∫d002π

π

r(,θ)

∫F(r,,θ)r

0

2sindr重心：x=

1M

∫∫∫xρdv,y=M∫∫∫yρdv,z=M∫∫∫zρdv，其中M=x=∫∫∫ρdv

2222221

1转动惯量：Ix=∫∫∫(y+z)ρdv，Iy=∫∫∫(x+z)ρdv，Iz=∫∫∫(x+y)ρdv曲线积分：曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x=(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,≤t≤β),则：(αy=ψ(t)

∫f(x,y)ds=αf[(t),ψ(t)]∫

L

β

′2(t)+ψ′2(t)dt<β)特殊情况：(α

x=ty=(t)

7/13第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为标的曲线积分）：x=(t)，则：y=ψ(t)

∫

L

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=

α

∫{P[(t),ψ

Lβ

(t)]′(t)+Q[(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt两类曲线积分之间的关系：∫Pdx+Qdy=

∫(Pcos

L

α+Qcosβ)ds，其中α和β分别为

QP)dxdy=y=12

L上积分起止点处切向量的方向角。QP格林公式：∫∫()dxdy=∫Pdx+Qdy格林公式：xyDL当P=y,Q=x，即：·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在注意方向相反！：，且QP=2时，得到xy无关的条件：D的面积：

∫∫(x

D

∫Pdx

L

+Qdy

A=

∫∫dxdy

D

∫xdy

Lydx

QP＝。注意奇点，如xy

(0,0)，应

QP＝时，Pdx+Qdy才是二元函数xy(x,y)

u(x,y)的全微分，其中：x0=y0=0。

u(x,y)=

∫P(x,y)dx

(x0,y0)

+Q(x,y)dy，通常设曲面积分：曲面积分：对面积的曲面积分：∫∫f(x,y,z)ds=

∑

∫∫f[x,y,z(x,y)]

Dxy

221+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy对坐标的曲面积分：∫∫P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：

∑

∫∫R(x,y,z)dxdy

∑

=±∫∫R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；

Dxy

∫∫P(x,y,z)dydz

∑∑

=±∫∫P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；

Dyz

∫∫Q(x,y,z)dzdx=±∫∫Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正

Dzx号。两类曲面积分之间的关系：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫

∑∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds

∑高斯公式：高斯公式：

8/13

∫∫∫(x+y

P

Q

+

R)dv=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dsz∑∑高斯公式的物理意义——通量与散度：vPQRv散度：divν=++,即：单位体积内所产生的流体质量，若divν<0,则为消失...xyzvv通量：Ands=∫∫Ands=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds，∫∫v因此，高斯公式又可写成：divAdv=∫∫Ands∫∫∫

∑∑∑∑斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：——曲线积分与曲面积分的关系

∫∫(yz)dydz+(zx)dzdx+(x

∑

R

Q

P

R

Q

P)dxdy=∫Pdx+Qdy+RdzyΓcosβyQcosγzRdydz上式左端又可写成：∫∫x∑PdzdxyQdxdycosα=∫∫zx∑RP

RQPRQP空间曲线积分与路径无关的条件：=，=，=yzzxxyijkv旋度：rotA=xyzPQRvvv向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量：Pdx+Qdy+Rdz=∫Atds∫

ΓΓ常数项级数：常数项级数：

1qn1q(n+1)n等差数列：1+2+3+L+n=2111调和级数：1+++L+是发散的23n等比数列：1+q+q2+L+qn1=级数审敛法：级数审敛法：

9/13

1、正项级数的审敛法

n

——根植审敛法（柯西判别法）：

ρ<1时，级数收敛设：ρ=limun，则ρ>1时，级数发散n→∞ρ=1时，不确定2、比值审敛法：设：ρ=limρ<1时，级数收敛Un+1，则ρ>1时，级数发散n→∞Unρ=1时，不确定3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，则收敛；否则发

n→∞散。交错级数u1u2+u3u4+L(或u1+u2u3+L,un>0)的审敛法——莱布尼兹定理：un≥un+1如果交错级数满足，那么级数收敛且其和s≤u1,其余项rn的绝对值rn≤un+1。limun=0n→∞绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：

(1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(1)n调和级数：发散，而∑收敛；∑nn1级数：∑n2收敛；ｐ≤１时发散1p级数：∑npp>1时收敛幂级数：幂级数：

1+x+x+x+L+x+L

23n2

x<1时，收敛于x≥1时，发散

11x对于级数(3)a0+a1xa2x+L+anxn+L，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全+x<R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x>R时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定

ρ≠0时，R=

a求收敛半径的方法：设limn+1=ρ，其中an，an+1是(3)的系数，则n→∞an

1

ρρ=0时，R=+∞ρ=+∞时，R=0函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：

10/13函数展开成泰勒级数：余项：Rn=

f(x)=f(x0)(xx0)+

f′′(x0)f(n)(x0)(xx0)2+L+(xx0)n+L2!n!充要条件是：limRn=0

n→∞

f(n+1)(ξ)(xx0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的(n+1)!f(x)=f(0)+f′(0)x+

x0=0时即为麦克劳林公式：f′′(0)2f(n)(0)nx+L+x+L2!n!一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：m(m1)2m(m1)L(mn+1)n(1+x)m=1+mx+x+L+x+L1<x<1)(2!n!x3x5x2n1sinx=x+L+(1)n1+L∞<x<+∞)(3!5!(2n1)!欧拉公式：欧拉公式：

eix+eixcosx=2=cosx+isinx或eixeixsinx=2

eix三角级数：三角级数：

∞a0+∑(ancosnx+bnsinnx)2n=1n=1其中，a0=aA0，an=Ansinn，bn=Ancosn，ωt=x。

f(t)=A0+

∑A

∞

n

sin(nωt+n)=正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xLsinnx,cosnxL任意两个不同项的乘积上的积分＝0。在[π,π]傅立叶级数：傅立叶级数：

f(x)=a0+2

∑(a

n=1

∞

ncosnx+bnsinnx)，周期

=2π

1an=π其中b=1nπ

π

π

∫

f(x)cosnxdxn=0,1,2L)(f(x)sinnxdxn=1,2,3L)(1+

π

π∫

π2111+2+2+L=835π2111+2+2+L=224624正弦级数：余弦级数：an=0，bn=bn=0，an=

π2111+2+2+L=（相加）62234π211112+22+L=（相减）23412

π

2

π

2

∫

0

f(x)sinnxdxn=1,2,3Lf(x)=f(x)cosnxdxn=0,1,2Lf(x)=

∑b

n

sinnx是奇函数

π

π

∫

0

a0+2

∑a

ncosnx是偶函数的周期函数的傅立叶级数：周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

11/13

f(x)=

a0+2

∑(a

n=1

∞

ncos

nπxnπx+bnsin)，周期=2llll1nπxdxn=0,1,2L)(an=∫f(x)coslll其中lb=1f(x)sinnπxdxn=1,2,3L)(n∫lll微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：一阶微分方程：y′=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微