小学生方程思想培养的序列研究初稿-2(送建德版)

小学数学小学生方程思想培养的序列研究小学数学内容摘要：方程思想是解决问题的另一种方式，也是小学生从算术思维向代数思维跨越的重要阶段，更是初中代数学习的重要根底，但教材却只在五上安排了一单元的方程教学内容。如何形成学生的方程思想是我们急需解决的问题。为了培养学生的方程思想，笔者认为可以从早期渗透、现期调整、后期延展三方面进行方程思想的有序培养。本文就结合课堂教学提出自己的见解和思考。关键词：方程思想序列一、缘起方程是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，可以用来描述现实世界的各种数量关系。方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号〔常用χ、y等字母〕表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型，表达了与未知的对立统一。人教版教材把“方程〞的教学安排在五年级上册的第四单元，几年来对此内容和后续内容的教学中，发现学生主动选择用方程解决问题的人数不多。为了探究其原因，笔者选择了五、六年级各135名学生进行了调查：学校里有学生1203人，是老师人数的11倍还多4人，老师有多少人？学生解决问题方法选择〔如图1〕。此类问题是用方程解决的典型例题，从上表可以看出，学生选择用方程解决问题的人数比例不高，绝大多数学生还是选择用算术的方法来解决问题。但从计算结果可以看出用方程解的正确率高，反之算术法的正确率低〔如图2〕。从此可以看出方程法要比算术法优越。但学生为什么在实际应用中却不习惯用方程去解决问题？这种“不习惯〞背后学生的真实想法又是怎样的呢？从五、六年级方法选择上看，五年级用方程解决问题的人数要比六年级多，为何会有这种反差？为此，笔者做了深入的调查。◆学生访谈问题:你在解题时运用方程方法了吗？为什么？五年级学生：学生1：我们刚学过用方程解决问题，所以首先选择了用方程方法。学生2：我开始觉得用方程解步骤很麻烦，又要设未知数，步骤又多，但我确定不下来1203－4还是1203＋4，犹豫了很久，后来还是选择了方程。学生3：老师说过的，一般这样的题目一定要用方程解的。学生4：没有用。但是我想到了,我不大会列方程，而且解方程容易错，所以还是用了列算式的方法。六年级学生：学生1：最近没怎么用过方程解题，当时没想到。学生2：没有用，我觉得用方程解步骤很麻烦，还要设未知数。学生3：用了，老师说过题目比拟难，需要逆思考时用方程解比拟简单。学生4：题目里没有要求列方程解,我就没有用方程解。从学生的访谈中不难看出：其一，学生算术思维根深蒂固。学生从一年级开始一直学习的都是用算术方法解决问题，“算术法〞在学生头脑中已经根深蒂固，形成了思维定势，学生一看到解决问题，就习惯于把未知数作为追求的“目标〞，然后根据条件去求未知数。作业纸上许多同学有擦痕，这说明这局部学生首先选择的是算术法，遇见困难后才改成方程。其二，学生嫌其书写步骤繁琐。列方程解决问题从形式上要比“算术法〞麻烦，书写程序步骤比拟多，学生就不愿意用列方程去解决问题。其三，学生方程思想尚未形成。正确的用方程解决问题需要在感知问题情境的根底上，先将日常语言“翻译〞成数学语言，再把数学语言直接翻译为含有未知数的等量关系，这对很多学生来说没有这样的习惯和意识。特别是六年级学生在后续学习中很少运用方程方法解决问题，所以学生能主动自觉的选择方程解决问题是比拟少的，尤其是在面对顺向思维解决问题时，很少有学生能用列方程解决问题。学生不能主动选择方程去解决问题的关键是学生没有形成“方程思想〞，不能体会方程解决问题的优越性和简洁性，感受不到用方程解决问题的快乐，因而不选择方程解决问题也在情理之中。那么如何在小学阶段有序的培养学生的方程思想呢？笔者针对这一问题进行了研究。二、培养学生方程思想的教学序列路径笔者梳理了12册教材后发现，其实在我们一至四年级的教材中有很多渗透方程思想的例题和习题。如一年级上册教材第70页“10〞的加减法〔如图〕。教材把语言表达形式“7加几等于10？〞用“7+〔〕=10〞这样的符号式子表示，这样的式子正是简易方程“7+ⅹ=10〞的雏形。教材中出现的“12-□=8〞、“7+□=9+□〞等形式的填数练习同样可视作简易方程的雏形。不仅如此，在后续的教材中同样也有很多内容蕴藏着方程思想。因此，笔者针对教材建立了一条小学生方程思想培养的序列路径，如图4:三、培养学生方程思想的教学序列实践方程思想是一个建模和化归过程，它必须经历由简入繁、由易变难的循序渐进过程，不可能一蹴而就。在各版本的小学数学教材中，简易方程一般都安排在第二学段五年级进行教学。“方程思想〞是一种全新的思维方式，它必须建立在算术思维根底之上，从算术思维到代数思维的跨越是儿童数学学习必须经历的一个极为重要的阶段。〔一〕早期渗透一至四年级的数学主要学习算术思维，如果在算术思维中渗透代数知识的学习，对方程的学习就能水到渠成。翻阅各版本教材，不难发现在第一学段甚至是第一册教材中就有许多方程的雏形，在很多练习中能找到渗透“方程思想〞的素材。1.早期渗透方程思想一年级的教材中有这样的习题：桌子上有5本书，书包里还有一些书，一共有12本书，书包里有多少本书？学生也会列成：5＋7=12〔本〕，答：书包里有书7本。一般老师都没有去思考学生的想法，都会判学生错。学生对这种算法形成的原因到底是什么呢？一年级学生在解题时并未意识到未知数和数的不平等，他们更关注事情的开展顺序。因此，当题目的表达与事情的开展顺序相反时，由于缺少“从结果推算出原有条件〞的能力，往往将未知数与数混在一起，按照事情的开展图5顺序列出算式。这一根据题目表达“直陈直写〞的列式方式却恰恰是小学中高年级方程思想的核心，是学生必须掌握的根本方法。在教学中教师应该呵护学生这种同等看待数和未知数的方程雏形，先肯定5+7=12的合理性，然后引导学生用◆、〔〕代替未知数进行列式：5+◆=12、5+〔〕=12或12-5=〔〕，从而让学生分清什么是己知的，什么是未知的。这样的教学就使学生经历了从实物素材抽象到图形素材，为从图形抽象到字母符号素材的思维开展奠定了根底。同时这样的安排不仅符合学生的思维开展规律，而且促进了学生对减法意义的理解，最重要的是保护了学生与生俱来的方程意识。2.早期渗透等式性质学生认识方程的最大困难在于受等号是“输出结果〞的影响，如4+5=9，从左往右运算，始终拘泥于具体运算，而不会把“4+5〞看成是一个结果，学生始终认为“4+5〞是一个算式，一个式子，必须要写出9才是答案。因此，学生只有实现“=〞由“输出结果〞向“相等关系〞的转变，对方程的认识水平才能开展。在小学低年级日常教学中要加强等式性质的渗透，将方程思想贯穿于问题解决之中，为今后的方程教学打下良好的根底。如一上计算5+〔〕=12时，教师可结合天平称物体的具体情境〔左边5个苹果，右边12个苹果，天平的左边应增添几个苹果，天平才平衡〕，通过演示来帮助学生学习，让学生感悟到左边必须加上7个苹果，这时天平平衡，即括号里的数填7。在此根底上让学生进行变式：写出5+7=〔〕＋〔〕的算式，然后转化为图形算式：5+7=□＋2，让学生在天平的操作下，体验“代入〞思路，构造图形等式，推算结果，体验等式性质。一至四年级的教材中包含方程思想元素的教学素材，但这些内容都不是单独成为一个内容的，都与其他知识相融合。在教学这些有方程元素的素材时教师要有“大方程〞观念，要充分挖掘其中的方程思想元素，从低年级开始持之以恒的渗透方程思想，让方程思维“无痕〞地渗透在学生的数学学习活动中，让学生提前体会代数思维方式，使学生在潜移默化中建立方程模型。〔二〕现期调整1．重组教材，整合框架人教版教材正式进入方程学习是在五年级上册第四单元，教材编排主线是先字母表示数，然后在天平的演示下构建方程意义，接着是在具体情境中进行x±b=c和ax=b,x÷b=c教学，最后是ax±b=c,〔a±x)×b=c，ax±bx=c三类稍复杂方程的教学。教材将方程的解法融入具体情境中，算用结合，增加了学生学习的难度。学生一边要在现实问题中收集分析有用的数学信息，将他抽象成数学语言，同时又要关注方程解法技能的习得，学生往往顾此失彼。〔1〕寻找冲击点，生成新视角现行教材的编排体系都是计算与应用的天然联系，都是由实际问题引入方程，在现实背景下求解方程并检验，这样的处理有利于学生理解解方程的过程，也有利于加强数学知识与现实世界的联系，这种“算用结合〞有利于培养学生的数学应用意识。但在实际教学中这种编排遭遇为难：对稍复杂方程教学中，不仅要关注问题情境中的等量关系，还要关注解方程的技能，常常捡了芝麻丢了西瓜。难道“算用结合〞一定要在每一节课中表达吗？其实我们只要树立这个理念，结合的时机我们是可以灵活选择的，可以在一节课中表达，也可以在一个单元中表达。在教学的实践中进行了尝试，经过实践我们对本单元的教学内容进行了调整。如下表：《简易方程》单元教材重组表表1步骤内容说明1用字母表示数渗透用字母表示的式子表示数量的观念2方程的意义〔含等式的根本性质〕3用等式性质解x±a=b,x÷a=b,ax=b这几种类型的方程。简单解决问题数量关系的寻找，在解方程中渗透一步计算问题，为下一步解决等量关系和解题步骤奠定根底。4上述几种方程类型的应用5稍复杂的方程：ax±b=c解决同类相并关系问题相并关系稍复杂问题的解决。6〔a±x)×b=c7ax±bx=c8练习，插入ax±b=bx9几倍求和、几倍求差问题的解决。10求几倍少几、几倍多几的问题应用11综合应用这样的安排虽然会增加一定的课时数，但学生掌握起来轻松，而且深入。比起原来那样粗粗浅浅的学习然后再补课的效果要好的多。〔2〕捕捉开展点，会聚新动力根据上述内容的调整，我们在实践中发现对于简单的方程学生能够根据“天平〞的演示理解求解的过程，但对稍复杂的方程学生的认知必须建立在现实的情境中。因此，在教学实践中我们选择了“折中〞的方法，在计算教学中不出现新的问题模式，即将教材中的例题调整为学生已掌握的应用类型来帮助理解算理，让学生从“以算促用〞自然的过渡到“以用引算〞。如在教学ax－b=c时，把例1的相差关系问题：足球上黑色的皮都是五边形的，白色的皮都是六边形的。白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块。共有多少块黑色皮？改成了：农民今天采摘了5框桔子，卖掉了380千克，还剩下40千克，原来每框桔子重多少千克？这样就是用新方法解决旧问题，对学生来说问题是熟悉的，只有解ax-b=c的方法是新的，降低了学习的难度，找到学生学习方程的新的开展点，激发了学生学习、使用方程的动力。2．重构教学，建立模型现有许多教师在教学时目标仅仅落在“知识与技能〞这一维度上，把方程意义的学习等同于让学生记忆“含有未知数的等式〞这句话，在解方程中只重视结果，注重单纯的技能训练，没有“建模〞和“用模〞的痕迹。〔1〕以“质变〞为认知核心，识别“序〞的架构方程的实质是用等号将相互等价的两件事情联立起来，而小学生的思维开展规律是从实物到半抽象的图形，再到字母符号的过程。学生在低段的学习中已经经历了实物到图形方程的过程，在课堂教学中我们要把方程的本质作为学生认知的核心，注重实质，逐步建立方程思想。[案例]方程的意义教学创设情境：有一架天平，它的左盘放有两块大小重量相同的橡皮和1个10克砝码，右盘放有2个20克和2个5克的砝码，这时天平正好处于平衡状态，请问每块橡皮重多少克？先引导学生观察，体会天平平衡状态可以用“=〞表示左右两边的关系：①2×橡皮的重量+10=50。然后让学生用“橡皮〞的第一个第一个拼音字母“X〞来代替简写为②2X+10克=50克或③2X+10=50。以上三个表达式使学生直接感受到“象形代数〞到“简写代数〞再到“符号代数〞,帮助学生体验到符号代替数的简洁,体会了“=〞的意义,同时还建立了方程概念的具体模型,但这时学生对未知数的理解仍停留在橡皮的重量上。为了开展X的抽象概念,用符号“□〞代替X，④2□+10=50。从形式上看,从③到④式似乎离方程的写法更远了，但④式中的“□〞更具有一般意义，学生可以把它想象成可以填写数字的方框，此时，④式可以解释为在方框内要填入一个数，使等号两边相等。由于事先不知道方框要填哪个数，所以我们把它称之为未知数。用这种方法帮助学生理解③式中的X像“□〞那样可以代替任何数字的未知数。通过以上的学习，学生不仅理解了未知数的含义，而且还体会到了“=〞表示左右两个表达式之间的“平衡〞。在此根底上，方程可理解为：关于数和未知数相等关系的“天平〞。在概念学习中，我们不应该在概念的形式定义孜孜以求，过分追求定义的精确形式，而应注重对概念实质的理解和领悟。〔2〕以“联系〞为思维路径，洞察“联〞的因果要让学生初步领会方程思想，不能就题论题，而应当从方程的视角抓住众多事物的共同普遍性的本质，以实质上具有同类关系的问题为主线突出相应的解法要点，到达触类旁通、体验方程思想和价值。如稍复杂方程以“王阿姨到水果店买苹果和梨各2千克，梨每千克2.8元，一共10.4元，苹果每千克多少元？〞为切入口，让学生形成“ax+ab=f〞与“a(x+b)=f〞的两积之和模型。教师可以将例题进行变式：“王阿姨到水果店买苹果2千克，梨每千克2.8元，买了3千克，梨比苹果多付3.6元，苹果每千克多少元？〞变式为ax+m=bc的总量相等的模式，还可以变式为以下的形式：〔1〕ax+by=f〔2〕ax=by〔3〕a×(n+x)=bx〔4〕ax+n=bx-m〔5〕ax+m=bc〔6〕nx=my〔7〕x+y=n学生在此类问题的分析、讨论、验证中发现此类问题的共性，将本质属性抽取出来：只有一个量作为未知数，不管如何变化，都是总量相等。同时，也在辨析中突破了“ax+ab=f〞与“a(x+b)=f〞两积之和的根本型，从而打破了例题界限，在众多形态各异的表象背后蕴藏着千丝万缕的联系和高度概括意义的数学思想方法，催化了两积之和方程模型的建构，提升了方程建模的理性高度。〔3〕以“矛盾〞为探究理念，丰富“探〞的内涵在方程教学中一直以来争议最大的就是解方程是依据等式根本性质还是四那么运算的关系？或者是两者兼顾？到底哪一种好，大家各有各的理由。在人教版教材中四那么运算的方法只在解方程的起始课中出现了一次，教材的意图是突出用等式的性质进行教学。针对这一“矛盾〞，笔者在平行班中进行了比照教学：班级①先学等式根本性质解方程，然后学四那么运算的关系解方程；班级②以等式根本性质为主，以四那么运算的关系为辅；班级③只学等式根本性质，对四那么运算的关系只在第一课时一笔带过。教学之后，对三个班级进行了检测，结果发现：班级③的正确率最高，学生的解题根本上不受各局部关系的影响；班级①、班级②的学生绝大多数都采用四那么运算的关系求解，且错误率较高，错误的题目以“7x－5×6=19，2〔x－8〕=12，〔48－x〕÷0.3=25〞为主，原因是对稍复杂的方程没有一步一步去尝试，而是直接移项。但是班级③的学生虽然正确率高，但速度明显要比其他班级慢得多。在后续教学中，为了提高学生的书写速度，笔者在教学列方程解决问题时先要求学生用完整、标准的步骤书写。在学生熟悉步骤后，让学生简化书写程序，可以在题目中直接表示出未知数，然后进行列方程，并解答。检验运用直接带入法进行检验。这样就大大提高了学生的速度，同时也提高了学生主动选择用列方程解决问题自觉性。〔4〕以“开展〞为关注视角，追踪“发〞的轨迹在实际教学中，教师要站在系统的高度来处理方程教学内容，以初中代数教学视角来统领小学方程教学，以开展的眼观看待学生方程思想的形成过程。小学的一元一次方程是中学一元屡次方程与多元一次方程化归的根底，小学对简单方程的情境描述与概括是中学多元方程理解抽象的基垫。如在教学ax=b中，教师呈现了以下的题组：①一个正方形的周长是60厘米，它的边长是多少？②某人骑自行车4小时行了60千米，平均每小时行了多少千米？③甲筐有桔子60千克，是乙筐的4倍，乙筐有桔子多少千克？学生通过分析都很快列出方程：4X＝60。然后教师进一步引导学生质疑：“4X〞在以上三题中分别表示了什么含义？以上的题组创设的数学情境是简单易懂，易于让学生找出根本的等价关系，当学生会用数学语言对等价事实进行清楚的描述与概括后，教师让学生根据自己的生活经验编一道用“4X=60〞方程解的实际问题。在教学中教师用“开展〞的视角利用问题情境的变式，而保持根本数学模型的不变,引导学生领会问题间的内在联系，抓住问题的实质，使学生在简单的现实情境中感受了数学建模思想。〔三〕后期延展策略学生方程思想形成不是一蹴而就的，是一个由易到难、由简到繁不断螺旋上升的过程。学生虽然经历了从“核桃质量+20=50〞的文字方程到“□＋7=12〞的图形方程，再从图形方程到“X＋7=12〞的字母方程的过程，初步建立了方程思想，但要想方程思想在学生脑海里深深烙上印记，那必须在后续的教学中结合相应的教学素材不断反复的加以强化。比方在人教版学习“简易方程〞后，教材中安排了“多边形面积〞的内容，那么多边形面积计算公式的推理过程，多边形面积的等积变形