九年级期中数学练习题

九年级期中数学练习（2）

一、选择题：

3.关于x的一元二次方程x2-2ax-1=0（其中a为常数）的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.可能有实数根，也可能没有

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

4.如图，一个量角器的底端A、B分别在丫轴正半轴与8轴负半轴上滑动，点。4A

位于该量角器上128。刻度处，当点。与原点。的距离最大时，NOAB=（）

A.64°B,52°C,38°D,26°

-Bo.

5.已知4ABC的三边长分别为6,8,10,此三角形外接圆的半径为（）1

A.10B.6C.4D.5

6.如图，ZXABC内接于。0,ODJ_BC于D,NA=50°,则NOCD的度数是（）（/\\

A.40°B.45°C.50°D.60°I/f?\I

7.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后，便不能再涨，jly/c

叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一只股票某天跌

停，之后两天时间又涨回到原价.若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是（）

A.（1+x）2=11B.（1+x）2=1^C.l+2x=^-D.l+2x=—

109109

8.木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁N0竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线0M方向

二、填空题：

9.如图，两边平行的刻度尺在半径为5cm的。上移动，当刻度尺的一边与直径重合时，另一边与圆相交,

若两个交点处的读数恰好为“4”和“12”（单位：cm）,则刻度尺的宽为cm.

10.若例是方程寸+2］一4=0的一个根，则（m+1『=.

11.如图，四边形A8CO是。的内接四边形，若NBOD=NBCD,则Z4=.

12.如图，AB是。的直径，BC是弦,AB=10cm,BC=6cm,若点尸是直径钻上一动点，当△PBC

是等腰三角形时，AP=.

13.直径为12cm的。0中，弦AB=6cm,则弦AB所对的圆周角是.

14.现定义运算“★”，对于任意实数a、b,都有a*b=/-3a+b,如：3^5=32-3X3+5,若x*2=6,则

实数x的值是

15.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°,则/ACD

16.如图，AB是。0的弦，AB=4,点C是。。上的一个动点，且/ACB=45°.若点M,N分别是AB,BC的

中点，则MN长的最大值是.

17.若非零实数a、b、c满足4a-2b+c=0,则关于x的一元二次方程ax'+bx+c=O一定有一个根为.

18.如图，已知直线y'x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0,1）为圆心，1为半径的圆

4

上一动点，连结PA、PB,则aPAB面积的最大值是.

20.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是

水平放置的破裂管道有水部分的截面.

（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；

（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.

22.如图，AB是。0的直径，点C在。0上，过点C的切线交AB的延长线于点D,ZACD=120°.

（1）求证：AC=CD；

（2）若。。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

23.如图，线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°

得到线段AC.

（1）请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；

（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1,3）,点B的坐标为（-2,-1）,则

点C的坐标为；

（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过区域的面积为：

（4）若有一张与（3）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径

24.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单

价为80元：如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得

低于50元.按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装？

25.如图，Rt^ABC中，ZABC=90°以AB为直径的。。交AB于点D,点E为BC的中点，连接DE.

(1)求证：DE是。。的切线.

(2)若NBAC=30°,DE=3,求AD的长.A

26.若一元二次方程ax，bx+c=O(aWO)的两实数根为七、x2,则两根与方程系数之间有如下关系:

xi+x2=-白，x⑻A.这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：

aa

(1)应用一：用来检验解方程是否正确.

本卷第19题中的第(2)题是：解方程x「5x+3=0,解之得：

检验：先求X1+X2=,X1X2=.

再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确.(本小题完成填空即可)

(2)应用二：用来求一些代数式的值.

①已知：Xi、X2是方程X，-4x+2=0的两个实数根，求(Xi-1)(x2-1)值；

②若m、n是方程X2+4X-2016=0的两个实数根，求代数式m2+5m+n的值.

27.(1)【学习心得】

小刚同学在学习完'‘圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可

以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是△ABC外一点，且AD=AC,求NBDC的度数，若以点

A为圆心，AB为半径作辅助圆。A,则点C、D必在。A上，NBAC是。A的圆心角，而/BDC是圆周角，从

而可容易得到NBDC=

(2)【问题解决】

如图2,在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求NBAC的数.

小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：AABD的外接圆就是以BD的

中点为圆心，5BD长为半径的圆；aACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，4BD长为半径的圆.这样A、

B、C,D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出NBAC的度数，请运用小刚的思路解决这个

问题.

(3)【问题拓展】

如图3,在aABC中，ZBAC=45°,AD是BC边上的高，且BD=6,CD=2,求AD的长.

28.如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B,。。的半径为2遥个单位长度，点

P为直线y=-x+8上的动点，过点P作。0的切线PC、PD,切点分别为C、D,且PCLPD.

（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；

（2）求点P的坐标；

（3）若直线y=-x+8沿x轴向左平移得到一条新的直线y,=-x+b,此直线将。。的圆周分得两段弧长之比

为1：3,请直接写出b的值；

（4）若将。0沿x轴向右平移（圆心0始终保持在x轴上），试写出当与直线y=-x+8有交点时圆心0

的横坐标m的取值范围.（直接写出答案）

2016-2017学年江苏省盐城市盐都区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上.

1.下列方程为一元二次方程的是（）

A.ax2-bx+c=0（a、b、c为常数）B.x（x+3）-x-1

C.x（x-2）=3D.xJ=0

x

【考点】一元二次方程的定义.

【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是

整式方程；（4）含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

【解答】解：A、缺少a¥0,不是一元二次方程；

B、整理后为3x+l=0,不是一元二次方程；

C、整理后为（-2x-3=0,是一元二次方程；

D、含有分式，不是一元二次方程.

故选：C.

2.圆是轴对称图形，它的对称轴有（）

A*1条B.2条C.3条D.无数条

【考点】生活中的轴对称现象.

【分析】根据圆的性质：沿经过圆心的任何一条直线对折，圆的两部分都能重合，即可得到经过圆心的任

何一条直线都是圆的对称轴，据此即可判断.

【解答】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条.

故选D.

3.关于x的一元二次方程x2-2ax-1=0（其中a为常数）的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.可能有实数根，也可能没有

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

【考点】根的判别式.

【分析】先计算△=（-2a）2-4X（-1）=4a2+4,由于4a220,则4a。4>0,即△>（）,然后根据根的判

别式的意义进行判断即可.

【解答】解：△=(-2a)2-4X(-1)=4a2+4,

V4a2^0,

.\4a2+4>0,即△>(),

.•.方程有两个不相等的实数根.

故选A.

4.00的半径为5cm,点A到圆心0的距离0A=3cm,则点A与圆0的位置关系为()

A.点A在圆上B.点A在圆内C.点A在圆外D.无法确定

【考点】点与圆的位置关系.

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【解答】解：：00的半径为5cm,点A到圆心0的距离为3cm,

即点A到圆心0的距离小于圆的半径，

.•.点A在。0内.

故选B.

5.已知aABC的三边长分别为6,8,10,此三角形外接圆的半径为()

A.10B.6C.4D.5

【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理的逆定理.

【分析】先利用勾股定理的逆定理证明aABC为直角三角形，斜边长为10,然后利用直角三角形的斜边为

直角三角形的外接圆的直径求解.

【解答】解：；62+82=10"

...△ABC为直角三角形，斜边长为10,

.,.△ABC的外接圆的直径为10,

.•.此三角形外接圆的半径为5.

故选D.

6.如图，^ABC内接于。0,0D_LBC于D,ZA=50°,则/0CD的度数是()

o

A.40°B.45°C.50°D.60°

【考点】圆周角定理；垂径定理.

【分析】首先连接0B,由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即

可求得/B0C的度数，又由0B=0C,根据等边对等角的性质，即可求得/0CD的度数.

【解答】解：连接0B,

：NA=50°,

.\ZB0C=2ZA=100o,

V0B=0C,

180°-ZBOC

AZ0CD=Z0BC=---------------=40°.

2

7.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的

10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价.若这两天此股票

股价的平均增长率为x,则x满足的方程是()

A.(1+x)2=^-B.(1+x)2=^-C.l+2x=-D.l+2x=^

109109

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%,再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能W10%,所

以至少要经过两天的上涨才可以.设平均每天涨x,每天相对于前一天就上涨到1+x.

【解答】解：设平均每天涨X.

则90%(1+x)2=1,

即(i+x)2」©,

9

故选B.

8.木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线0M方向

滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是()

【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线.

【分析】先连接0P,易知0P是RtaAOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

可得0P4AB,由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么0P就是一个定值，那么P点就在以0为圆心的

圆弧上.

【解答】解：如右图，

连接0P,由于0P是Rt^AOB斜边上的中线，

所以0P弓^AB,不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是0P是一个定值，点P就在以0为圆心的圆弧上,

那么中点P下落的路线是一段弧线.

故选D.

二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相

应位置上.

9.一元二次方程X2=2X的根是Xi=0,X2=2.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0,从而得出答案.

【解答】解：移项,得x2-2x=0,

提公因式得，x(x-2)=0,

x=0或x-2=0,

/.Xi=O,Xi-2.

故答案为：Xi=O,X2=2.

10.已知00的半径为5cm,圆心0到直线1的距离为4cm,那么直线1与。0的位置关系是相交.

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】由题意得出d<r,根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可.

【解答】解：，©0的半径为5cm,如果圆心0到直线1的距离为4cm,

.,.4<5,

即d<r,

二直线1与。0的位置关系是相交.

故答案为：相交.

11.在圆内接四边形ABCD中，ZB=2ZD,则NB=120°.

【考点】圆内接四边形的性质.

【分析】根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是圆内接四边形，

.,.ZB+ZD=180",

又；NB=2ND,

.*.ZD=yX1800=120。；

故答案为：120°.

12.半径为2的圆的内接正六边形的边长为2.

【考点】正多边形和圆.

【分析】不妨设。。的内接正六边形为ABCDEF,连接OA、0B,则可证明AOAB为等边三角形，可求得边长.

【解答】解：

如图，。。的内接正六边形为ABCDEF,连接0A、0B,

•六边形ABCDEF为正六边形，

AZA0B=^­=60°,

6

...△AOB为等边三角形，

AAB=0A=2,

故答案为：2.

B

13.直径为12cm的。。中，弦AB=6cm,则弦AB所对的圆周角是30°或150°.

【考点】圆周角定理.

【分析】连接0A、0B,如图，先证明AOAB为等边三角形得到NA0B=60°,则利用圆周角定理得到NACB=£

NA0B=30°,再利用圆内接四边形的性质得到NAC'B=150°,从而得到弦AB所对的圆周角.

【解答】解：连接OA、0B,如图,

VOA=OB=AB,

.•.△OAB为等边三角形，

/.ZA0B=60",

.,.ZACB=^-ZA0B=30°，

2

/.ZAC,B=180°-ZACB=150°,

即弦AB所对的圆周角为30°或150。.

故答案为30°或150°.

14.现定义运算对于任意实数a、b,都有=/-3a+b,如：3>5=3"-3X3+5,若x*2=6,则

实数x的值是7或4.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值.

【解答】解：根据题中的新定义将x*2=6变形得：

x2-3x+2=6,即x2-3x-4=0,

因式分解得：(x-4)(x+1)=0,

解得:xi=4,x2=-L

则实数X的值是-1或4.

故答案为：-1或4

15.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°,则NACD

的度数为61°

【考点】圆周角定理.

【分析】首先连接0D,由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A,B,C,D共圆,

又由点D对应的刻度是58°,利用圆周角定理求解即可求得NBCD的度数，继而求得答案.

【解答】解：连接0D,

•.•直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，

.•.点A,B,C,D共圆，

•.•点D对应的刻度是58°,

AZB0D=58°,

/.ZBCD=—ZB0D=29°,

2

AZACD=90°-ZBCD=61°.

故答案为：61°.

16.如图，AB是。0的弦，AB=4,点C是。。上的一个动点，且/ACB=45°.若点M,N分别是AB,BC的

中点，则MN长的最大值是__272_.

【考点】三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理.

【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最

大值.

【解答】解：•.,点M,N分别是AB,BC的中点，

...MN」AC,

2

当AC取得最大值时，MN就取得最大值，

当AC时直径时，最大，

.,.AD=4^,

寺D=2近，

故答案为：2加.

17.若非零实数a、b、c满足4a-2b+c=0,则关于x的一元二次方程ax°+bx+c=O一定有一个根为__Xz

_2____.

【考点】一元二次方程的解.

【分析】把X=-2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a-2b+c=0,即可得出答案.

【解答】解：当把x=-2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a-2b+c=0,

即方程一定有一个根为x=-2,

故答案为：x=-2.

18.如图，已知直线y=2x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C(0,1)为圆心，1为半径的圆

4

上一动点，连结PA、PB,则4PAB面积的最大值是_-y-_.

V

【考点】一次函数综合题.

【分析】过点C作CD1.AB于D,延长DP交。C于另一点P',此时AP'AB的面积最大，将x=0、y=0代

入y《x-3中求出与之相对应的y、x的值，进而可得出点A、B的坐标，由NABO=NCBD、ZA0B=ZCDB=90°

即可证出△AOBsaCDB,再根据相似三角形的性质求出CD的长度，将其+1即可得出DP'的长度，利用三

角形的面积公式即可求出aPAB面积的最大值.

【解答】解：过点C作CD_LAB于D,延长DP交。C于另一点P',此时AP'AB的面积最大，如图所示.

当x=0时，y=-3,

.•.点B(0,-3)；

当y=x-3=O时，x=4,

4

.,.点A(4,0).

•点C(0,1),

，BC=1-(-3)=4,A0=4,B0=3,AB^^()2+BO2=5.

VZABO=ZCBD,ZA0B=ZCDB=90",

AAAOB^ACDB,

.CDBC

••瓦怎，

._BC-A0_16

,•rnCD-不

.♦.DP'=CD+CP'=^-+1=-^.

55

Sip'AB="AB*PZD=-^-X5X¥-冷.

2252

故答案为：-y.

V

三、解答题：本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过

程或演算步骤.

19.解下列方程

(1)X2+6X=0；

(2)x2-5x+3=0(用配方法解)

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法.

【分析】(1)因式分解法求解可得：

(2)配方法求解可得.

【解答】解：⑴Vx(x+6)=0,

x=0或x+6=0,

解得：x=0或x=-6；

(2)x2-5x=-3,

x2-5x+^-=-3厘，即(x-6)小工

4424

X--^=±2/12,

22

即xj-而,iwn

22

20.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是

水平放置的破裂管道有水部分的截面.

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.

【考点】垂径定理的应用；勾股定理.

【分析】如图所示，根据垂径定理得到BD=4AB=4x16=8cm,然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的

方程求解.

【解答】解：(1)先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC,作弦AC的垂直平分线，两线

交点作为圆心0,0A作为半径，画圆即为所求图形.

(2)过0作0EJ_AB于D,交弧AB于E,连接0B.

V0EXAB

16=8cm

22

由题意可知，ED=4cm

设半径为xcm,则0D=(x-4)cm

在RtaBOD中，由勾股定理得：

0D2+BD2=0B2

Z.(x-4)2+82=X2

解得x=10.

即这个圆形截面的半径为10cm.

21.已知关于x的方程x'+2x+a-2=0.

(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围;

(2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根.

【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系.

【分析】(1)关于X的方程x2-2x+a-2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0.即可得到关

于a的不等式，从而求得a的范围.

(2)设方程的另一根为X”根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根.

【解答】解：(1)Vb2-4ac-(2)2-4X1X(a-2)=12-4a>0,

解得：a<3.

，a的取值范围是@<3；

(2)设方程的另一根为x“由根与系数的关系得：

'l+x]=-2

a="1

解得：

X]=-3'

则a的值是-1,该方程的另一根为-3.

22.如图，AB是。0的直径，点C在00上，过点C的切线交AB的延长线于点D,ZACD=120°.

(1)求证：AC=CD；

(2)若。。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

【考点】切线的性质；扇形面积的计算.

【分析】(1)连接0C,由切线的性质可求得NA=ND,可证得结论；

(2)在RtAOCD中可求得OD,CD,可求得aOCD的面积和扇形BOC的面积，再利用面积差可求得阴影部

分面积.

【解答】(1)证明：

如图，连接0C,

：CD切。0于点C,

/.Z0CD=90°，

：.Z0CA=Z0AC=30°，ZADC=30°,

，ZA=ZD,

.*.AC=CD；

(2)解:

由(1)知/0CD=90°,ZADC=30°,ZC0D=60",

/.0D=20C=4,CD=2“，

二SAOCD=^-CD»OC^-X2ax2=2y/3,S用心MC=—二2。

22vv6°3"6°0'3

23.如图，线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°

得到线段AC.

(1)请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；

(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中，己知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(-2,-1),则

点C的坐标为(5,0)；

(3)线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过区域的面积为空工；

-----4--------

(4)若有一张与(3)中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径

【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算；圆锥的计算.

【分析】(1)直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案;

(2)直接建立坐标系得出答案；

(3)直接利用扇形面积公式求法进而得出答案；

(4)直接利用弧长等于圆锥的底面周长进而得出答案.

【解答】解：（1）如图所示：点B经过的路径为弧BC；

（2）如图所示：点C的坐标为：（5,0）；

故答案为：（5,0）；

90兀X5225几

（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过区域的面积为:

3604

故答案为:等,

（4）设该圆锥底面圆的半径长为r,

由题意可得：令他梦•我叫

弓

则2nJi,

解得：r=4，

24.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单

价为80元：如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得

低于50元.按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装？

【考点】一元二次方程的应用.

【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服

装的单价，进而得出等式方程求出即可.

【解答】解：设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意得出：

[80-2（x-10）]x=1200,

解得：Xi=20,X2=30,

当x=20时，80-2(20-10)=60元＞50元，符合题意；

当x=30时，80-2(30-10)=40元＜50元，不合题意，舍去；

答：她购买了20件这种服装.

25.如图，RtZ^ABC中，ZABC=90°以AB为直径的。0交AB于点D,点E为BC的中点，连接DE.

(1)求证：DE是。。的切线.

(2)若NBAC=30°,DE=3,求AD的长.

【考点】切线的判定.

【分析】(1)如图，作辅助线；根据题意结合图形，证明/0DE=90°,即可解决问题.

(2)首先求出BC=6,进而求出BD的值；运用直角三角形的性质求出AD的值，即可解决问题.

【解答】⑴证明：连接OD、BD,

：AB为。0的直径，

/.ZADB=ZCDB=90°；

又♦.•点E为BC的中点，

.♦.BE=DE,

NBDE=NEBD；

：0A=0D,

/.Z0AD=Z0DA；

又•.•/0AD+N0BD=90°,ZEBD+Z0BD=90°,

Z0AD=ZEBD,即Z0DA=ZBDE；

/.Z0DE=ZBDE+Z0DB=Z0DA+Z0DB=90°,

又：点D在。0上，

，DE是圆。。的切线.

(2)解:由(1)知BC=2DE=6,

又；NCBD=NBAC=30°,

/.CD=3,BD=3J5

/.AB=6V3；

由勾股定理得：AD=9.

26.若一元二次方程ax'bx+cR（a#0）的两实数根为前、x2,则两根与方程系数之间有如下关系：

Xi+X2=-上，xixz=q.这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：

aa

（1）应用一：用来检验解方程是否正确.

本卷第19题中的第（2）题是：解方程X2-5X+3=0

检验：先求Xi+X2=5,X|X2=3.

再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确.（本小题完成填空即可）

（2）应用二：用来求一些代数式的值.

①已知：Xi、X2是方程X。-4x+2=0的两个实数根，求（xi-1）（x2-1）值；

②若n.、n是方程x?+4x-2016=0的两个实数根，求代数式m2+5m+n的值.

【考点】根与系数的关系.

【分析1（1）根据根与系数的关系即可得出xi+xz=5、X,X2=3,此题得解；

（2）①根据根与系数的关系可得出出+整=4、x凶=2,将（x-l）（x2-1）展开代入数值即可得出结论；

②根据根与系数的关系以及一元二次方程的解可得出m+n=-4、mn=-2016、m'+4nl=2016,将其代入m*+5m+n

中即可得出结论.

【解答】解：（1）根据题意，得：X,+X2=--^=5,xix产£-3.

aa

故答案为：5；3.

（2）①；xi、）是方程xZ-4x+2=0的两个实数根,

♦>xI+x2=-b「4，x1X2一12,

aa

/.（xi-1）（X2-1）=XiX2-（X1+X2）+1=2-4+1=-1；

②,、n是方程x?+4x-2016=0的两个实数根,

Am+n=-4,mn=-2016,m2+4m=2016,

m2+5m+n=ni2+4m+(m+n)=2016+(-4)=2012.

27.(1)【学习心得】

小刚同学在学习完'‘圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可

以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是△ABC外一点，且AD=AC,求NBDC的度数，若以点

A为圆心，AB为半径作辅助圆。A,则点C、D必在。A上，NBAC是。A的圆心角，而/BDC是圆周角，从

而可容易得到NBDC=45°.

(2)【问题解决】

如图2,在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求NBAC的数.

小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：AABD的外接圆就是以BD的

中点为圆心，BD长为半径的圆；aACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，［BD长为半径的圆.这样A、

B、C,D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出NBAC的度数，请运用小刚的思路解决这个

问题.

(3)【问题拓展】

如图3,在aABC中，ZBAC=45°,AD是BC边上的高，且BD=6,CD=2,求AD的长.

【考点】圆的综合题.

【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解.

(2)由A、B、C、D共圆，得出/BDC=/BAC,

(3)如图3,作AABC的外接圆，过圆心0作OELBC于点E,作OF_LAD于点F,连接OA、OB、0C.利用

圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE=0F=2；在等腰Rt^BOE中，利用

勾股定理得到0E=DF=4；则在RtZ\AOF中，易得AF=2j，，故AD=2j，+4.

【解答】解：(1)如图1,VAB=AC,AD=AC,

...以点A为圆心，点B、C、D必在。A上，

•.•NBAC是。A的圆心角，而NBDC是圆周角，

AZBDC=—ZBAC=45°,

2

故答案是:45；

(2)如图2,取BD的中点0,连接AO、CO.

VZBAD=ZBCD=90",

...点A、B、C、D共圆,

NBDC=/BAC,

：NBDC=25°,

.,.ZBAC=25°,

(3)如图3,作AABC的外接圆，过圆心0作OELBC于点E,作OFLAD于点F,连接0A、OB、0C.

：NBAC=45°,

：.ZB0C=90°.

在Rt^BOC中，在=6+2=8,

.\B0=C0=4V2.

V0E1BC,0为圆心，

；.BE」BC=4,

2

；.DE=0F=2.

在RtzlXBOE中，B0=4近，BE=4,

.,.0E=DF=4.

在RtaAOF中,A0=4&,0F=2,

.,.AD=2>/7+4.

A

28.如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B,。。的半径为2泥个单位长度，点

(1)试说明四边形OCPD的形状(要有证明过程)；

(2)求点P的坐标；

(3)若直线y=-x+8沿x轴向左平移得到一条新的直线y产-x+b,此直线将。0的圆周分得两段弧长之比

为1：3,请直接写出b的值；

(4)若将。0沿x轴向右平