江苏省扬州市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-解答题

江苏省扬州市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-解答题

实数的运算（共1小题）

1.（2021•扬州）计算或化简：

（1）（-A）0+|A/3-3|+tan600.

3

（2）（a+W+（1+1）.

ab

二.分式的乘除法（共1小题）

2.（2020•扬州）计算或化简：

（1）2sin60°+（A）

2

（2）2zl^A2zl„.

Xx2+x

三.分式的加减法（共1小题）

3.（2019•扬州）计算或化简：

（1）V8-（3-Ji）0-4cos45°；

21

（2）-J—+_2_.

a-ll-a

四.二元一次方程组的解（共1小题）

4.（2021•扬州）已知方程组［2x3=7的解也是关于“、y的方程且比的一个解，求a的值.

Ix=y-l

五.二元一次方程组的应用（共1小题）

5.（2020•扬州）阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题:

已知实数x、y满足3x-y=5①，2户3尸7②，求x-4y和7户5y的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路

运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代

数式的值，如由①-②可得x-4尸-2,由①+②X2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整

体思想”.

解决问题:

第1页共48页

（1）已知二元一次方程组J2x'=7'则x-尸_______,产尸_______；

x+2y=8,

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡

皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数x、y,定义新运算：广尸a广3c,其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法

运算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=.

六.分式方程的应用（共3小题）

6.（2021•扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提

高了20%,现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天.问原先每

天生产多少万剂疫苗？

7.（2020•扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染.

进货单

商品进价（元/件）数量（件）总金额（元）

甲7200

乙3200

商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：

李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.

王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件.

请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单.

8.（2019•扬州）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务.甲、

乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的

时间相等.求甲工程队每天修多少米？

七.一元一次不等式组的整数解（共2小题）

'x+540,

9.（2020•扬州）解不等式组lsx-1、并写出它的最大负整数解.

-^―>2x+l，

’4（x+l）《7x+13

10.（2019•扬州）解不等式组|/x-8，并写出它的所有负整数解.

1x-4〈号

八.反比例函数综合题（共1小题）

11.（2020•扬州）如图，已知点4（1,2）、8（5,〃）">0）,点尸为线段48上的一个动点，反比例函数

第2页共48页

尸K(x>0)的图象经过点。.小明说：“点尸从点力运动至点8的过程中，立值逐渐增大，当点尸在

x

点A位置时在值最小，在点6位置时左值最大.”

(1)当〃=1时.

①求线段月8所在直线的函数表达式.

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k

的最小值和最大值.

(2)若小明的说法完全正确，求〃的取值范围.

12.(2021•扬州)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果

每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车

支付月维护费200元.

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付

月维护费共计1850元.

说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润

-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为

辆时，两公司的月利润相等；

(2)求两公司月利润差的最大值；

(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月

利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之

差最大，求a的取值范围.

第3页共48页

一十.二次函数综合题(共1小题)

13.(2021•扬州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+6射c的图象与x轴交于点?1(-1,0)、B

(3,0),与y轴交于点C

(1)b—,c—；

(2)若点〃在该二次函数的图象上，且治械=2加做>求点。的坐标：

(3)若点户是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且右，附=加,.直接写出点尸的坐标.

14.(2019•扬州)如图，平面内的两条直线4、4，点46在直线△上，点C、〃在直线心上，过4、B

两点分别作直线4的垂线，垂足分别为4,B、,我们把线段力由叫做线段4?在直线4上的正投影，其

长度可记作7(.劭或7(AB，1)，特别地线段力。在直线人上的正投影就是线段4c

请依据上述定义解决如下问题：

(1)如图1,在锐角△/a'中，4?=5,T<K.岫=3,则T(BC,例=;

(2)如图2,在Rt^/1a'中，NACB=90。，兀设顺=4,九照例=9,求△力a1的面积；

(3)如图3,在钝角比中，/4=60°，点〃在四边上，/“7=90°,7;械一。=2,7;出洞=6,求

T(ac.曲，

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B

A.B,CD'24匕---------

一十二.平行四边形的性质（共2小题）

15.（2020•扬州）如图，口46（力的对角线/，、切相交于点。，过点。作9L/C分别交力氏人于点氏F,

连接"、CE.

（1）若施=3,求所的长；

2

（2）判断四边形产的形状，并说明理由.

16.（2019•扬州）如图，在平行四边形4?切中，AE平-分4DAB,已知龙=6,BE=8,DE=\Q.

(1)求证：ZBEC=90°；

(2)求cosNDAE.

一十三.平行四边形的判定与性质（共1小题）

17.（2021•扬州）如图，在△/况1中，N/。的角平分线交优于点〃，DE//AB,DF//AC.

（1）试判断四边形加怩的形状，并说明理由；

（2）若/胡C=90°,且442近，求四边形"Z应的面积.

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一十四.四边形综合题(共2小题)

18.(2020•扬州)如图1,已知点。在四边形4909的边46上，凫.0A=0B=0C=0D=2,0C平-%4BOD,与

劭交于点C,立1分别与敛阳交于点区F.

(1)求证：OC//AD-,

(2)如图2,若DE=DF,求处的值；

AF

(3)当四边形/物的周长取最大值时，求些的值.

DF

19.(2019•扬州)如图，四边形4伙力是矩形，4E=2Q,8c=10,以切为一边向矩形外部作等腰直角

/G=90°.点"在线段相上，且4Ua,点一沿折线段-加运动，点0沿折线6C-Q7运动(与点G

不重合)，在运动过程中始终保持线段切〃48.设倒与四之间的距离为x.

(1)若a=12.

①如图1,当点。在线段相上时，若四边形小磔的面积为48,则x的值为；

②在运动过程中，求四边形和//的最大面积；

(2)如图2,若点尸在线段加上时，要使四边形如磔的面积始终不小于50,求a的取值范围.

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GG

G

一十五.直线与圆的位置关系（共1小题）

20.（2020•扬州）如图，△4园内接于。。，N8=60°,点后在直径切的延长线上，S.AE=AC.

（1）试判断1£与。。的位置关系，并说明理由：

（2）若｛C=6,求阴影部分的面积.

一十六.切线的判定与性质（共1小题）

21.（2019•扬州）如图，四是。。的弦，过点0作施工/，OC交于P,CP^BC.

（1）求证：比是。。的切线；

（2）已知/胡425°,点0是盘上的一点.

①求N4Q6的度数；

②若力=18,求赢的长.

一十七.扇形面积的计算（共1小题）

22.（2021•扬州）如图，四边形46切中，AD//BC,ZBAD=90Q,CB^CD,连接6〃，以点6为圆心，BA

长为半径作08，交物于点反

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(1)试判断以与。6的位置关系，并说明理由：

(2)若AB=2，j,/仇力=60°,求图中阴影部分的面积.

一十八.圆的综合题(共1小题)

23.(2021•扬州)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段a1=2,使用作图工具作/胡C=30°,尝试操作后思考：

(1)这样的点力唯一吗？

(2)点4的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”/刘函通过葡小5藻厂讨论后汇报：点了他亶示唯二「旨花以及海郊丽弧上(点员C

除外)，….小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1).

(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.

①该弧所在圆的半径长为；

②△力6，面积的最大值为；

(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我

们记为4,请你利用图1证明/创'030°.

(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2,已知矩形力比》的边长4=2,BC=3,

点P在直线切的左侧，且tan/加仁=匹.

3

①线段如长的最小值为；

②若S^K0=—S/\PAD＞则线段如长为.

3

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图2备用图

一十九.几何变换综合题(共1小题)

24.(2019•扬州)如图，已知等边宛■的边长为8,点尸是边上的一个动点(与点4、8不重合).直

线,是经过点尸的一条直线，把△/1比沿直线/折叠，点6的对应点是点".

(1)如图1,当昨4时，若点夕恰好在4c边上，则的'的长度为；

(2)如图2,当用=5时，若直线/〃4G则仍'的长度为：

(3)如图3,点。在46边上运动过程中，若直线/始终垂直于4G/XACB'的面积是否变化？若变化，

说明理由；若不变化，求出面积；

(4)当阳=6时-，在直线/变化过程中，求面积的最大值.

25.(2019•扬州)扬州市“五个一百工程”在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间

情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频

数分布直方图.

每天课外阅读时间t/h频数频率

0<tW0.524

0.5V0360.3

W1.50.4

L5VK212b

合计a1

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根据以上信息，回答下列问题：

(1)表中a=,b-；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数.

二十一.扇形统计图(共1小题)

26.(2021•扬州)为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对

“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整

的统计图表：

抽样调查各类喜欢程度人数分布扇形统计图

4非常喜欢

A比较喜欢

C无所谓

D不喜欢

抽样调查各类喜欢程度人数统计表

喜欢程度人数

A.非常喜欢50人

6.比较喜欢加人

C.无所谓〃人

D.不喜欢16人

根据以上信息，回答下列问题:

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（1）本次调查的样本容量是;

（2）扇形统计图中表示4程度的扇形圆心角为°,统计表中0=；

（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包

含非常喜欢和比较喜欢）.

二十二.条形统计图（共1小题）

27.（2020•扬州）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手.为了解同学们“智慧

学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完

整的统计图.

抽样调查各等级人数抽样调查各等级人数分布扇形统计图

4非常熟练

8比较熟练

C基本熟练

D不太熟练

或不熟练

（1）本次调查的样本容量是,扇形统计图中表示/等级的扇形圆心角为

（2）补全条形统计图;

（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需

要培训的学生人数.

二十三.列表法与树状图法（共3小题）

28.（2021•扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、

②、③中的2个座位上.

（1）甲坐在①号座位的概率是;

（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率.

第11页共48页

29.(2020•扬州)防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某校开设了4、B、C三

个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园.

(1)小明从1测温通道通过的概率是;

(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率.

30.(2019•扬州)只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润从哥德巴赫猜

想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的

和”.如20=3+17.

(1)若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是；

(2)从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树

状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率.

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江苏省扬州市三年(2019-2021)中考数学真题知识点分类汇编-解答题

参考答案与试题解析

一.实数的运算(共1小题)

1.(2021•扬州)计算或化简：

(1)(-A)°+1-31+tan60°.

3

(2)(a+6)+(1+1).

ab

【解答】解：(1)原式=1+3-«蓊

=4；

(2)原式=Q+b)+豆也

=ab.

­,分式的乘除法(共1小题)

2.(2020•扬州)计算或化简：

(1)2sin60°+(-1)-V12.

2

(2)

Xx2+x

【解答】解：(1)原式=2义退_+2-2我

2

=代+2-2y

=2-依；

(2)原式=三11，X(x+1)

X(x-1)(x+1)

=1.

三.分式的加减法(共1小题)

第13页共48页

3.(2019•扬州)计算或化简:

(1)A/8-(3-it)0-4cos45°；

21

(2)-3—+-J—.

aTl-a

【解答】解：(1)原式=2&-1-4XYZ

2

=2&-1-272

=-1;

21

(2)原式=招一-」-

a-1a-l

@2_]

—a.1

a-l

=(a+1)(aT)

a-l

=a+l.

四.二元一次方程组的解(共1小题)

4.(2021•扬州)己知方程组[2x切=7的解也是关于“、y的方程。户y=4的一个解，求a的值.

Ix=y-l

【解答】解：方程组12x刁=p,

lx=y-l②

把②代入①得：2(y-l)+y=7,

解得：7=3,代入①中，

解得：x=2,

把x=2,y=3代入方程ax+y=4得，2a+3=4,

解得：a=_l.

2

五.二元一次方程组的应用(共1小题)

5.(2020•扬州)阅读感悟:

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题:

已知实数双y满足3x-尸5①，2x+3尸7②，求x-4y和7x+5y的值.

第14页共48页

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得X、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路

运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代

数式的值，如由①-②可得x-4尸-2,由①+②X2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整

体思想”.

解决问题：

(1)已知二元一次方程组’则”一中一，户口5；

x+2y=8，

(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡

皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

(3)对于实数x、y,定义新运算：/y=a户6户c,其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法

运算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=-11.

【解答】解：⑴(2x+y=79.

[x+2y=8(2)

由①-②可得：x-y=-1,

由工(①+②)可得：产y=5.

3

故答案为：-1;5.

(2)设铅笔的单价为0元，橡皮的单价为〃元，日记本的单价为0元，

依题意，得：[20m+3n+2P=32①，

I39m+5n+3P=58②

由2义①-②可得研/?+0=6,

:.5〃升5山5夕=5X6=30.

答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.

(3)依题意，得:伊+5b+c=15①,

14a+7b+c=28②

由3X①-2X②可得：a+Z,+c=-11,

即1*1=-11.

故答案为：-11.

六.分式方程的应用(共3小题)

6.(2021•扬州)为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提

高了20%,现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天.问原先每

第15页共48页

天生产多少万剂疫苗？

【解答】解：设原先每天生产X万剂疫苗,

240八「220

由题意可得:+05=

(1+20%)X-"

解得：x=40,

经检验：x=40是原方程的解，

•••原先每天生产40万剂疫苗.

7.（2020•扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染.

进货单

商品进价（元/件）数量（件）总金额（元）

甲7200

乙3200

商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：

李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.

王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件.

请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单.

【解答】解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1+50%）”元/件，

依题意，得：—Z200-_3200=40,

（1+50%）xx

解得：x=40,

经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，

（1+50%）x=60,3200=80,—720。_=120.

x（1+50%）x

答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件.

8.（2019•扬州）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务.甲、

乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的

时间相等.求甲工程队每天修多少米？

【解答】解：设甲工程队每天修x米，则乙工程队每天修（1500-x）米，根据题意可得：

3600=2400

x1500-x

第16页共48页

解得：x=900,

经检验得：x=900是原方程的根，

答：甲工程队每天修900米.

七.一元一次不等式组的整数解（共2小题）

x+540,

9.（2020•扬州）解不等式组I%-］、并写出它的最大负整数解.

-^―>2x+l.

【解答】解：解不等式户5W0,得xW-5,

解不等式3x-l22广1,得：xW-3,

2

则不等式组的解集为x&-5,

所以不等式组的最大负整数解为-5.

’4（x+l）《7x+13

10.（2019•扬州）解不等式组|『x-8，并写出它的所有负整数解.

【解答】解：解不等式4（户1）W7V13,得：xN-3,

解不等式x-4〈三3,得：x<2,

3

则不等式组的解集为-3Wx<2,

所以不等式组的所有负整数解为-3、-2、-1.

八.反比例函数综合题（共1小题）

11.（2020•扬州）如图，已知点。（1,2）、B（5,n）5>0）,点尸为线段四上的一个动点,反比例函数

片区（*>0）的图象经过点只小明说：“点尸从点/运动至点8的过程中，在值逐渐增大，当点尸在

x

点A位置时左值最小，在点8位置时4值最大.”

（1）当77=1时.

①求线段A?所在直线的函数表达式.

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k

的最小值和最大值.

（2）若小明的说法完全正确，求〃的取值范围.

第17页共48页

【解答】解：(1)①当〃=1时，6(5,1),

设线段所在直线的函数表达式为y=m宓n,

把］(1,2)和6(5,1)代入得：

5m+n=l

m=a

解得：,

则线段力6所在直线的函数表达式为尸-1产9；

44

②不完全同意小明的说法，理由为:

k=xy=x(--x+.

4

,.TWA<5,

=

**•当X—1时，kmin2；

当x=a时，kmx——,

216

则不完全同意；

(2)当〃=2时，A(1,2),B(5,2),符合;

当n#2时，尸n-2户10-n,

2

k=x(n-2r+10-n)=nz2(r,n-10)2+(lQ-n))

4442n-416(2-n)

当〃<2时，"随x的增大而增大，则有生理_25,

2n-4

此时也W力＜2；

9

第18页共48页

当〃>2时・，A随x的增大而增大，则有

2n-4

此时/?>2,

综上，"，蛇.

9

九.二次函数的应用(共1小题)

12.(2021•扬州)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果

每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车

支付月维护费200元.

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付

月维护费共计1850元.

说明：①汽车数量为整数：②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润

-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元;当每个公司租出的汽车为_J7

辆时，两公司的月利润相等；

(2)求两公司月利润差的最大值；

(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月

利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之

差最大，求a的取值范围.

【解答】解：(1)[(50-10)X50+3000]X10-200X10=480007C.

当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；

设每个公司租出的汽车为x辆，

由题意可得：[(50-x)X50+3000]x-200^=3500x-1850,

解得：x=37或x=-1(舍)，

当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；

(2)设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y,

则八，=[(50-x)X50+3000]x-200x,

y乙=3500x-1850,

第19页共48页

当甲公司的利润大于乙公司时，0Vx<37,

y=y甲-y乙=[(50-x)X50+3000]A--200X-(3500%-1850)

=-50/+1800%+1850,

当*=1800=18时,利润差最大，且为18050元；

-50X2

当乙公司的利润大于甲公司时.，37cA<50,

y—y^-y甲=3500x-1850-[(50-x)X50+3000]广200x

=50?-1800%-1850,

；对称轴为直线x=--1800=18,50>0,

50X2

.•.当37c庐50时，y随x的增大而增大，

.•.当x=50时，利润差最大，且为33150元,

综上：两公司月利润差的最大值为33150元；

(3)：捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，

则利润差为y=-50X2+1800A+1850-ax=-50,+(1800-a)x+1850,

对称轴为直线x=1800-a,

100

只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，

A16.5<1800~a<17.5,

100

解得:50<a<150.

一十.二次函数综合题(共1小题)

13.(2021•扬州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+6加c的图象与x轴交于点4(-1,0)、B

(3,0),与y轴交于点C

(1)b--2,c--3；

(2)若点〃在该二次函数的图象上，且丛磔=2丛械■,求点〃的坐标；

(3)若点〃是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且治伊=丛,“直接写出点〃的坐标.

第20页共48页

【解答】解：⑴•.•点/和点6在二次函数尸)+灰+c图象上,

则，°=l-b+c,解得:户=-2,

I0=9+3b+cIc=-3

故答案为：-2,-3；

(2)连接比；由题意可得：

/(-1,0),B(3,0),C(0,-3),尸V-2x-3,

,=

5A/fJa-^-x4X3=6，

,：Sa耶产2S&ABC，设点DCm,m-2m-3),

&RxIyu\=2X6,即2X4X|ni-2®-3=2X6,

22

解得：m=l-fVlOsK1-V7O.代入y=V-2x-3,

可得：y值都为6,

(3)设夕(〃，--2〃-3),

第21页共48页

•.•点户在抛物线位于X轴上方的部分，

：.n<-1或〃>3,

当点尸在点1左侧时，即〃<-1,

可知点C到的距离小于点6到的距离,

:*SHAKVSAAPB,不成“；

当点夕在点8右侧时,即〃>3,

♦.♦△加七和△/阳都以力。为底，若要面积相等，

则点6和点。至U42的距离相等，即比〃仍

设直线6c的解析式为尸k/p,

则（O=3k+p,解得：==1,

[-3=pIp=-3

则设直线的解析式为尸x+q,将点1（-1,0）代入，

则-l+g=0,解得：g=l,

则直线月夕的解析式为尸户1,将P",n-2/7-3）代入,

即n-In-3=加1,

解得：〃=4或〃=-1（舍），

n-2/2-3=5,

点一的坐标为（4,5）.

一十一.三角形综合题（共1小题）

14.（2019•扬州）如图，平面内的两条直线人心，点46在直线九上，点。、〃在直线4上，过人6

两点分别作直线4的垂线，垂足分别为4,B、,我们把线段4A叫做线段16在直线4上的正投影，其

第22页共48页

长度可记作九械⑺或7(AB，1/,特别地线段4C在直线人上的正投影就是线段4。

请依据上述定义解决如下问题：

(1)如图1,在锐角△加。中，48=5,7\#,柳=3,则T<-2；

(2)如图2,在中，ZJCB=90°,幽=4,九阳询=9,求△/(及7的面积；

(3)如图3,在钝角△/如中，/4=60°,点〃在48边上，/4。=90°,7\他心=2,7(阳例=6,求

【解答】解：(1)如图1中，作CHLAB.

*T(AC,AB)=3，

:.AH=3,

•；A8=5,

:.BH=5-3=2,

••T(舐期=BH=2,

故答案为2.

(2)如图2中，作CHLAB于IL

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B

图2

e•,T(AC,=4，T(ffc,AB)=9，

：.AH=4fBH=9,

VAACB=ZCHA=ZCHB=90°,

.,.ZJ+ZJffl=90°,/ACm/BCH=9G,

：./A=/BCH,

:.△ACHS^CBH,

・CH=AH

••丽CH，

・CH_4

••,

9CH

:.CH=6,

：.8,、=工•力，•勿=JLX13X6=39.

22

(3)如图3中，悴CH工AD千H,BKLCD于K.

：.AC=2f

VZJ=60°,

:・NADC=/BDK=3G°,

：.CD=MAC=2M，力。=2HC=4,AH=LAC=1,DH=ADAH=',

2

,**Tme,AB>=6,CH_LAB,

第24页共48页

:・BH=6,

：.DB=BH-DH=3,

在Rl△胸中，VZ^=90°,BD=3,N做仁=30°,

：.DK=BD*cos^Q0=百氏

2

：.CK-CD^DK~2

22

=

:.T{BC.an6X=—..

2

一十二.平行四边形的性质(共2小题)

15.(2020•扬州)如图，口力腼的对角线勿相交于点0,过点。作加分别交4?、DC于点、E、F,

连接4尺CE.

(1)若OE=3,求)的长；

2

(2)判断四边形力直尸的形状，并说明理由.

【解答】解：(1)♦.•四边形力颔是平行四边形,

：.AB//CD,AO=CO,

：.AFCO=AEAO,

又,:AAOE=ACOF,

：./\AOI^/\COF(ASA),

：.OE=OF=3,

2

:.EF=2OE=0,

(2)四边形/f以犷是菱形，

理由：库△3E

:.AE=CF,

第25页共48页

又,：AEHCF、

四边形4戊/是平行四边形,

又•：EF1AC,

四边形力比尸是菱形.

16.(2019•扬州)如图，在平行四边形4?(力中，AE平分NDAB,已知以=6,BE=8,庾=10.

(1)求证：NBEC=9Q°；

(2)求cosZ.DAE.

【解答】(1)证明：；四边形/时是平行四边形，

：.DC=AB,AD=BC,DC//AB,

；.NDEA=NEAB,

♦.♦/i1平分/加8,

:.NDAE=NEAB,

：.ADAE=ADEA

：.AD=DE=\Q,

.\BC=10,AB=CD=DE+CE=\6,

'：出应2=6-82=100=〃，

...△&F是直角三角形，NM?=90°；

(2)解：,：AB//CD,

:.NABE=NBEC=9Q°,

:AE=22

'VAB+BE=V162+82=8遥’

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，cos/%£=cos/必8=速=」^=22区.

AE8V55

一十三.平行四边形的判定与性质（共1小题）

17.（2021•扬州）如图，在△49C中，N掰。的角平分线交比'于点〃，DE//AB,DF//AC.

（1）试判断四边形47族的形状，并说明理由；

（2）若N为仁90°,且4）=2a，求四边形/侬的面积.

'：DE//AB,DF//AC,

四边形48坦是平行四边形，

•.3。平分/胡G

：.AFAD=AEAD,

'：DE//AB,

：.AEDA=AFAD,

：.AEDA=AEAD,

：.AE=DE,

•••平行四边形"Z应是菱形；

（2）VZBAC=W°,

.•.四边形加怩是正方形，

'.'AD=2y[2>

：.AF=DF=DE=AE=^O-=2,

V2

，四边形4汽厉的面积为2X2=4.

一十四.四边形综合题（共2小题）

18.（2020•扬州）如图1,已知点。在四边形46位的边四上，a0A=0B=0C=0A2,0C平分人BOD,与

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做交于点G,然分别与必如交于点乐F.

(1)求证：OC//AD-,

(2)如图2,若DE=DF,求处的值；

AF

(3)当四边形4成》的周长取最大值时，求些的值.

DF

：./OAD=/ADO,

,：0C平分乙BOD,

：.ADOC=ZCOB,

又ADOC+ZCOB^=ZOAl^ZADO,

：.ZADO=ZDOC,

：.C0//AD-,

(2)解：如图1,

AZJZW=90°,

设/加G=a,贝IJ/D=N〃4G=a.

'：OA=OD,DA//OC,

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：./0DA=/0AD=2a,

：.4DFE=3Q,

,:DF=DE,

：・4DEF=4DFE=3a,

A4a=90°,

・・・a=22.5°,

：.ZDAO=45Q,

・・・△?!如和△力做为等腰直角三角形,

:.AD=®A0,

・但班，

AOv

♦：DE=DF,

:./DFE=/DEF,

*：2DFE=/AFO,

:./AFO=/AED,

又N力庞=N力帆=90°,

.•・△/!庞s△力阳

，运a地.

AFAOv

(3)解:如图2,

U：OD=OB,4BOC=4DOC,

：.l\BOC^/\DOC(S4S),

:・BC=CD,

第29页共48页

设BC=CD=x,CG=m,则06=2-m,

•：o百-O4=BE-ah

.*.4-（2-42=x-m,

解得：/7?=—2,

4XY

.•.QG=2

4

'：OD=OB,4D0G=/B0G,

为3的中点,

又为四的中点，

."片206=4-工2,

2x

二四边形4〃力的周长为2册砂■仍=2廿4-工4=--1.（_）2+10,

x〃AX2+2A+8=x2

；-A<0,

2

；.x=2时，四边形5的周长有最大值为10.

：.BC=2,

二△8Q7为等边三角形，

:.NBOC=6Q°,

'：OC//AD,

：.ZDAO=ZCOB=QOQ,

：.4ADF=4DOC=60°,/%f=30°,

90°