画法几何及机械制图课程教案讲义

第一章制图的基本知识

教学目的要求：

1.国家标准《技术制图》和《机械制图》中关于图幅、图框格式、

常用比例、字体、图线等的基本规定。

2.平面图形的尺寸标注，完整、正确地标注定形及定位尺寸。

3.平面图形的线段分析及圆弧连接。

4.平面图形构型设计，进行创造性思维。

教学重点难点：

正确、完整地标注平面图形的尺寸，注意避免常见的错误标注。

学时：2

§1国家标准《技术制图》和《机械制图》的有关规定

1.1图纸幅面和图纸格式(GB/T14619-1993)

一、图纸幅面

国家标准规定图纸幅面分为AO、Al、A2、A3、A4五种，详细尺寸

见书中表1T。

二、图框格式

图框用粗实线画出，有两种格式：

1.留有装订边

2.不留装订边

图框与边框的尺寸见书中所示。

三、标题栏

GB/T10609.1-1989规定了标题栏的格式，见书中图1-3,标题栏位

于图样的右下角，看图的方向与看标题栏的方向一致，允许为了充分利

用己印刷好的图纸时二者不一致。

教学中建议使用简化的标题栏格式，如图上5。

1.2比例(GB/T14690-1993)

比例是指图形与实物相应要素的线性尺寸之比。

包括：原值比例、放大比例、缩小比例三种，优先选用的比例见表

1-2如：1：1、2：1、5：1,10：1、1：2、1：5等。

1.3字体(GB/T14691-1993)

字体要求：字体工整、笔画清楚、间隔均匀、排列整齐。

字高的系列号：1.8、2.5、3.5、5、7、10、14、20(mm)

汉字：应写成长仿宋体，字高不小于3.5,宽为h2/3。

书写要领是横平竖直、注意起落、结构匀称、添满方格。

数字和字母：分为A型和B型，包括斜体(75°)和直体(90°)。

1.4图线(GB/T17450-1998)

该国标规定适用于技术制图，包括机械、电气、土木等。

一、线型

国标规定了15种基本线型，机械制图中常用的几种线型为:

01号实线，包括细实线和粗实线。

02号虚线

04号细点画线

基本线型的变形一波浪线

图线的组合一双折线

各类线型的用处结合图卜7说明。

二、线宽

两种：粗：细=2:1,粗线优先选用宽度0.5、0.7。

点画线、虚线的画法：

三、图线的画法

1.画圆的中心线时，圆心应是画的交点，点画线两端应超出轮廓2-5mm,

当圆较小时，点画线可用细实线代替。

2.虚线、点画线应交于画线处。

3.虚线圆弧与实线相切时，虚线圆弧应留出间隙。

4.虚线直接在实线延长线上时，虚线应留出间隙。

1.5剖面符号(GB/T4457.5-1984;GB/T17453-1998)

国标规定了在剖视图和剖面图中不同材料的剖面符号，详见书中表，

其中金属材料为45°方向、间隔均匀的细实线。

1.6尺寸注法

一、基本规则

1.以毫米为单位时不需注明。

2.尺寸数值为机件的真实大小。

3.每一尺寸只标注一次。

4.为最后完工的尺寸。

二、尺寸要素

1.尺寸界线：细实线，应超出尺寸线2-5毫米。

2.尺寸线：细实线，不能用中心线、轮廓线代替，尺寸线间的距离应大于5

毫米。

3.尺寸数字：注在尺寸线上方或中断处；水平数字一字头向上；垂直数字一

字头向左；倾斜数字一使字头向上倾斜。

各种符号的意义：

J9举厚°保沉孔均

»泾度或布

钱平

RSR/□CTLJV£QS

§2几何作图

2.1正多边形作图（自学）

2.2斜度和锥度（自学）

2.3圆弧连接

一、圆弧连接的几何原理

1.圆弧与直线连接

2.圆弧与圆弧连接

三、连接弧圆心和切点的作图

2.1椭圆（四心法）一自学

2.2圆的渐伸线一自学

§3平面图形的尺寸标注

3.1平面图形尺寸标注的要求

3.2平面图形的尺寸分析

一、尺寸基准

确定尺寸位置的点、线称为尺寸基准，尺寸基准至少有两个：水

平和垂直两个方向。

二、定形尺寸

确定图形形状和大小的尺寸。

三、定位尺寸

确定各图形基准间相对位置的尺寸。

3.3平面图形的线段分析

一、已知弧：两个定位尺寸及圆弧半径均已知。

二、中间弧：已知一个定位尺寸和半径，另一定位尺寸需由与其相切

的已知线段作图求出。

三、连接弧：已知圆弧半径，两个定位尺寸均未知，需作图求出。

结合书中图1-28分析以上三种线段。

3.4标注平面图形尺寸的方法

一、图形分解法

二、特征尺寸

3.5几个注意的问题

一、标注作图最方便、直接用以作图的尺寸

二、标注切线的长度尺寸

三、不要标注封闭尺寸

四、总长、总宽尺寸的处理

一般应标注总长、总宽尺寸，但当图形的一端（或两端）为圆

或圆弧时，则一般不注总体尺寸。

3.6平面图形尺寸标注示例：结合书中图1-35说明。

§4平面图形构型设计

4.1平面图形构型设计的一些原则

一、构型应表达功能特征

二、造型应注意工程化

三、便于绘图与标注尺寸

应尽可能用常用的平面图形和圆弧连接构型，己便于用常用绘图

工具作图和标注尺寸，以便于制造。

四、注意运用图形变换和整体效果。

4.2平面图形构型设计的方法及作图

一、用圆弧连接方法进行平面几何图形设计

1.设计要求

2.设计方法和作图过程（重点为圆弧连接的分析和作图）

二、平面图案构型设计

图1-42两例设计说明

第二章计算机绘图基础

教学目的要求：

通过本章学习和上机实践使学生能够基本掌握使用AUTOCAD绘图软件绘制工程图

样的方法。

教学重点难点：

AUTOCAD的基本绘图命令和编辑命令。

学时：6

§1AUTOCAD软件应用简介

1.1AUTOCAD软件概述

AUTOCAD是美国AUTODESK公司1982年推出的微机辅助绘图软件，它是

一个通用的交互式绘图软件包。

今以AUT02000为例，重点介绍如何运用AUTOCAD软件绘制工程图的方法，

以培养运用某种软件进行设计绘图的能力。

1.2AUTOCAD基本概念及功能键

1.2.1基本概念

1.坐标系统采用WCS通用坐标系，可定义UCS用户坐标系

2.绘图单位：由用户确定

定义绘图单位用“UNITS”命令。

定义比例因子用“SCALE”命令。

3.绘图极限范围

用“LIMITS”命令设置绘图范围，用“ZOOMALL”显示该绘图界

4.窗口

通过窗口可看到图形的全部或部分，并能作任意的缩放和平移，用“ZOOM”

命令进行窗口操作。

5.实体

点、直线、圆与弧、文本等是最常用的基本实体，多义线、实心圆环、尺寸

标注等是常用的复杂实体，复杂实体解散（炸开）成基本实体后方能单独进行处

理。

1.2.2AUTOCAD对某些键的定义

F1打开AUTOCAD的在线帮助

F2在绘图屏幕和文本屏幕间切换

F3打开或关闭对象捕捉摸式

F7打开栅格显示

F8开闭正交摸式

F11开闭对象跟踪捕捉

ESC取消当前执行的命令

1.3AUTOCAD的启动、菜单和输入

1.3.1AUTOCAD的启动和菜单

双击AUTOCAD2000的快捷方式后，首先进入“startup”对话框，确认后

进入AUTOCAD绘图环境，屏幕分为三部分：

1.顶部是下拉菜单和标准工具拦区。

2.底部是命令提示区和状态行区。

3.中间部分为绘图区。

1.3.2命令输入

1.键盘在"command”提示下输入命令名。

例：command:circle/

…/

…/

2.用下拉菜单选项输入

3.用工具拦按钮输入

1.3.3参数的输入

一、点的输入：

1.绝对坐标输入法

point:x,y

2.相对坐标输入法

point:@Ax,Ay

@表示相对坐标，即以当前点为坐标原点。

3.极坐标输入法

point:@距离（角度

4.鼠标拾取法

5.捕捉特征点法

利用捕捉功能捕捉当前图中的特征点。

二、距离的输入

包括height（高度）width（宽度）radius（半径）diameter

（直径）等。

1.数值方式：直接从键盘输入数值。

2.位移方式：移动光标到某点。

3.角度的输入

角度以“度”为单位，且以正X轴为基准零度，按逆时针方向作正方向。

三、文本和特殊字符的输入

特殊字符：%%d度数符号”

%%p正、负公差符号“土”

%%c直径尺寸符号””

四、命令出错和数据出错的修正

1.用backspace键一次删除一个字符。

2.用ESC键取消当前命令

1.4AUTOCAD基本绘图、编辑命令

1.4.1基本绘图命令

LINE国直线命令Draw

CIRCLE国整圆命令Draw

ARC画圆弧命令Draw

PLINE典多义线命令Draw

POINT画点命令Draw

POINTSTYLE设置点的大小和式样命令Format

ELLIPSE典椭圆命令Draw

POLYGON画正多边形命令Draw

DONUT画圆环命令Draw

1.4.2基本编辑命令

ERASE删除画好的部分或全部图形Modify

OOPS恢复前一次删除的图形Modify

MOVE将选定图形位移Modify

COPY复制选定图形Modify

ROTAT旋转选定图形Modify

MIRROR画出与原图对称的镜像图形Modify

SCALE将图形按给定比例放大或缩小Modify

STRETCH将图形的选定部分进行拉伸或变形Modify

EXTEND将直线或弧线延伸到指定边界Modify

ARRAY将指定图形复制成矩形或环形阵列Modify

1.5应用AUTOCAD绘图举例

例：如图

1.用limits,zoom命令设置绘图范围

command:limits/

specifylowerleftor[on/off]<0.000,0.000>:

（左下角）

specifyupperrightcorner<420.000,297.000>:

70,55（右下角）

command:zoom

command:A（全屏显示）

2.用LAYER命令设置图层center和ob.

3.在图层center中用line命令画点画线.

4.在图层ob中用circle命令画圆，用polygon命令画正

多边形。

5.在图层ob中利用快速捕捉功能画相切直线和R15圆弧。

6.剪切圆丝0、030

7.编辑修改点画线的长度。

第三章正投影图基础

教学目的要求:

1平行投影的性质.

2正投影图的概念.

教学重点难点：

平行投影的性质.

学时：1

§1投影法

1.1中心投影法

1.2平行投影法：

平行投影包括：L正投影

2.斜投影

§2平行投影的基本性质

2.1同素性

一般点的投影是点，直线的投影是直线…

2.2从属性不变

点在直线上，则点的投影在直线的投影上，这从属关系不变。

2.3平行性不变

平行两线段，投影仍平行，且其长度比投影后不变.

即AB/CD=ab/cd

2.4简单比不变

一直线上三个点的简单比等于其投影相应三个点的简单比。（如图）

即AC/BC=ac/bc

2.5相仿性

平面图形的投影与其原形对应线段间保持简单比不

变，在边数、平行性、凸性，直曲等方面均不变。

2.6平行投影在特殊情况下的性质

1.积聚性

直线的投影积聚为点，平面的投影积聚为直线。

2.全等性

直线或平面图性与投影平面平行时，其投影反映线段

的实长，或与平面图性全等。

§3工程上常用的几种投影图

3.1正投影图

利用正投影的方法，把形体投射到两个或两个以上互相垂直的投影面上，再将投影面展开成

一个平面，即得到正投影图。正投影图容易确定物体的形状、大小，但直观性差。

3.2轴测投影

有一定的立体感容易看懂，但作图较麻烦。

3.3标高投影

利用正投影法，将物体投影在一个水平投影面上，按不同高度所得到的投影画出一系列的等

高线。

3.4透视投影

透视图是根据中心投影法绘制，符合人的视觉效果，主要在建筑工程中作辅助图形。

§4物体的正投影图

4.1正投影图

1.建立三个互相垂直的投影平面

2.得到物体的三面正投影图

3.将三个投影面展开成一个平面：

4.2物体三投影间的关系

V、H两投影：长对正（X坐标方向）

V、W两投影：高平齐（Z坐标方向）

"、H两投影：宽相等（Y坐标方向）

通常不画投影轴，仍保持上述三等关系。

第四章点、直线和平面的投影

教学目的要求：

1.点的投影及作图.

2.各种位置直线的投影，及两直线的相对位置.

3.直角三角形法求直线的实长和倾角，直角定理.

4.各种位置平面的投影，平面上取点取线的作图.

教学重点难点：

1.各种位置直线的投影.

2.各种位置平面的投影.

3.平面上取点取线的作图.

学时:3

§1点的投影

1.1点的三面投影

1.1.1三面投影的规律

点的三面投影：水平投影a-II

正面投影a'-V

侧面投影a"-W

点的三面投影规律：

a'a_Lox

a'a"1oz

aax=a"az

1.1.2点的投影与坐标的关系

Aa=a'ax=a"ay=高标（Z标）

Aa'=aax=a"az=纵标（丫标）

Aa"-a'az=aay=横标（X标）

V、II投影反映X

V、W投影反映Z

IKW投影反映丫

1.2两点的相对位置和重影点

1.2.1两点的相对位置

根据两点相对于投影面

的坐标不同，即可确定两点的相对位置。

XA<XBB点在A左方

YA>YBB点在A点后方

ZA>ZBB点在A点下方

例：比较三棱锥四个顶点S、A、B、C的位置。

比较：1.B、C与A同高，S点在其上方。

2.A在S左方，C在S右方，B与S点X坐标相同。

3.A、C在$后方，B点在S点前方。

­.重影点

理论：当两点处在对某投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影

面上的投影重合，这两点就称为对该投影面的重影点。

A、B是对H面的重影点；

C、D是对V面的重影点。

a'

可见性的判断：距投影面远的一点可见

6

1.3各种位置点的投影

X------------------------------------

1.3.1四个分角中的点<><d

A——第一分角，a'a在X轴两侧。

B----第二分角，b'b在X轴同侧。

C——第三分角，c'c在X轴两侧。

D——第四分角，d'd在X轴同侧。

我国采用第一分角，英、美等国采用第三角投影。

1.3.2特殊位置的点

当空间点的丫、Z坐标有一个为零（点在投影面上），或者Y、Z坐标

均为零（点在投影轴上），则为特殊位置点。（两面投影）

A-----在H面上。

B-----在V面上。C-----在0X轴上。

§2直线的投影

2.1各种位置直线的投影特性

2.1.1一般位置直线：三面投影均小于实长，且与投影轴倾斜。

特性：1.各面投影的长度均小于实长。

2.各面投影均不平行于投影轴。

2.1.2投影面平行线：

平行于一个投影面的直线，包括水平线、正平线、侧平线。

特性：1.在其所平行的投影面上的投影反映实长，例ab=AB。

2.在另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，例a'b'

〃ox,a"b"〃oy

3.反映实长的投影与投影轴的夹角，就是直线与相应投影面的

夹角。例ab反映B、丫角的大小。

特殊情况：直线在投影面上。

特征：有两个投影在相应的投影轴上。

水平线正平线侧平线

b'a

b〃b”

Yw

YwX

YHYHYH

与H面的夹角:a与V面的角：B

与W面的夹角:Y

2.1.3投影面垂直线：

平行于两个投影面，垂直于第三个投影面。

三种：铅垂线一垂直于H面

正垂面一垂直于V面

侧垂面一垂直于W面

侧垂线

特性：1.在其所垂直的投影面上,投影为一点,有积聚性,例ab积聚为一

点.

2.另两个投影垂直于相应的投影轴,且反映实长。

例：a'b'±oxa"b"±oya'b'=a"b"=AB

实例：给出三棱锥的轴测图和投影图，判断其各棱线的位置。

2.2求线段的实长和倾角

方法：直角三角形法（求一般线的实长和倾角）

原理：由轴测图中可知，当AC〃ab时，则AABC为直角△,AB为实

长，且AC=ab,BC=Bb-Aa=AZ则可在投影图上作出。

直角三角形各元素意义：

斜边：线段实长

直角边：一直角边为投影长

另一边为到该投影面的坐标差。

斜边与投影边的夹角：反映与该投影面的倾角。

结论：

1.直角三角形中已知四个元素中的任两个，则可作

出直角从而求得另二个元素。

2.直角△可用任一投影及坐标差作出，但其必须保

持对应关系。

2.3直线上的点

2.3.1直线上的点

点和直线的从属性是平行投影的不变性，即：若点在直线上，则点的各

个投影必在直线的同面投影上,反之亦成立。

据此可：1,求直线上点的其余投影。

2,判断点是否在直线上，

一般线一一看两投影即可，

平行线一一应看直线所平行的那个投影面上的投影。

2.3.2点分线段成定比

一条直线上任意三个点的简单比，是平行投影的不变量，即一直线上

的两线段之比，等于其同面投影之比。

据此可：1,在直线上求指定点，如在直线AB上取C使AC:CB=1:2

2,判断点是否在直线上。

2.3.3直线的迹点

直线与投影面的交点称为直线的迹点。

的同面投影上.

2,迹点是投影面上的点，故迹点的一个投影必在投影轴上。

因此：直线的投影和投影轴的交点就是直线相应迹点的一个投影，另

一投影可根据直线上的点的投影规律作出。

2.4两直线的相对位置

三种：平行、相交、相错

2.4.1两直线平行

理论：若空间两直线互相平行,则它们的各面投影也一定互相平行,

反之亦然。

应用：1,作一直线与已知直线平行。

2,判断已知两直线是否平行：

一般线：看两面投影

平行线：a看平行线在所平行的那个投影面上的投影是否平

行。

b看两直线投影的走向是否一致，投影比是否相等。

z

2.4.2相交两直线

理论：若空间两直线相交，则它们的各面投影也一定相交，且交点一定符

合一个点的投影规律，反之亦然。

应用：1,作线线相交。

2,判断线线是否相交。

2.4.3相错两直线

若两直线既不平行，又不相交，则它们是相错直线。

投影：1,可一面或两面投影平行，但不可能三面投影都平行。

2,一个、两个或三个同面投影相交，但交点不符合空间一个点的

投影规律。

2.5直角的投影

理论：1.若直角的一边平行于某个投影面（另一边不垂直于该投影面），则

此直角在该投影面上的投影仍为直角，称为直角投影定理。其逆

定理亦成立。

2.若直角的两边同时平行于某个投影面，则此直角在该投影面上的

投影仍为直角。

3.若两直角边均不平行于投影面时，其投影一定不是直角。

应用：1,判断两直线是否垂直。

2,求点至平行线间的距离。

§3平面的投影

3.1平面的表示法

3.1.1用几何元素表示平面

五种方法：1,不在同一直线上的三个点。

2,一直线和直线外一点。

3,两相交直线。

4,两平行直线。

5,任意平面图形。

在投影图上，可用上述任一组几何

元素的投影来表示平面。

3.1.2用平面的迹线表示平面

迹线：平面与投影平面的交线。

包括：水平迹线，如PH。

正面迹线，如PV。

侧面迹线，如PW。

3.1.3平面迹线求法

方法：

求出平面上任意两直线的同面迹点，连成直线即可。因为平面上一切直

线的迹点必在该平面的同面迹线上。

3.2各种位置平面

3.2.1一般位置平面

定义：平面与三个投影面既不平行也不垂直，而是倾斜。

特性：三个投影均不是实形，而具有相仿性。

3.2.2投影面垂直面

定义：只垂直于一个投影面的平面。

分为：铅垂面、正垂面、侧垂面。

特性：1,在其所垂直的投影面上投影有积聚性，为斜

直线；直线与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的

倾角。（如铅垂面的B、丫角）

2,另外两个投影不是实形，但有相仿性。

X

3.2.3投影面平行面

定义：垂直于两个投影面，平行于第三个投影面。

分为：水平面、正平面、侧平面。

特性：1,在其所平行的投影面上的投影反映平面图形的实形。

2,另两个投影均为直线段，有积聚性，且平行于相应

的投影轴。

用迹线表示特殊位置面:

%

铅垂面正垂面水平面

正平面

例：分析三棱锥上各个表面的位置。

3.3平面上的点和直线

3.3.1几何条件：

点在平面上：如果点在属于平面的一条直线上,则此点必在平面上,反之

成立.

直线在平面上：通过平面内的两个点，或过平面内的一个点且与平面内

的一已知线平行,反之成立.

3.3.2平面上取点取线的作图

例1：求三棱锥SAB棱面上点K的H投影

解一：连接s'k'交

a'b'于m',K点在SM

上,则K在SAB面上.

解二：过k'作直线

KM〃SA,贝IJSM在平面SAB

上，点K在SM上.

例2:已知平面ABCD的II投影,试完成其V面投影。

3.4平面上的特殊位置直线

3.4.1平面上的投影面平行线

特征：

1.投影面平行线既有平面上直线的投影特性,又有投影面平行线的投影

特性.

2.平面的迹线是平面上特殊的投影面平行线.

应用：平面图形平面和迹线平面上作平行线.

3.4.2平面上的最大斜度线

定义：平面上和某投影面倾角最大的直线.

应用：求平面对投影面的倾角.

证明：在平面上，与某投影面的平行线相垂直的直线，即为对该投影面

的最大斜度线.

对不同的投影面有不同的最大斜度线，某投影面的最大斜度线对

该投影面的倾角，即反映平面对该投影面的倾角.

结论：若求a角？则先求对H面的最大斜度线Hamax,再求Hamax的

a角,即为平面的a角.

第5章直线、平面的相对位置关系

教学目的要求：研究直线与平面以及平面与平面的相对位置关系在投影图中的投影特性和

基本作图方法。

包括：平行、相交和垂直。

教学重点难点：相交关系的作图方法与步骤，及可见性的判断，

线、面相对位置综合作图。

学时：3

§1平行关系

1.1直线与平面平行

几何条件：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面，反之

亦然。

投影：如果直线的投影与平面内任意一直线的同面投影平行，在空间则直线与平面平行。

根据此定理，我们可以在投影图上判断直线与平面是否平行，并解决直线与平面平行的作图

问题。

作图：

如图5-1所示，已知bd〃ef,bd〃ef,且BD是ABC平面上的一直线

因此，直线BD〃AABC

b

图5-1图5-2

例1过点K作一水平线，使之平行于△ABC（图5-2）

解：①在△ABC上作一水平线AD。（先作正面投影a'd'〃X）

②过K点作直线KL〃AD。（kl〃ad,k'l'〃a'd'）直线KL即为所求。

例2过点K作一铅垂面（用迹线表示），使之平行于直线AB

解分析由于铅垂面的H投影为一直线，

所以作铅垂面平行于直线AB,则PH必平行于abo

①过k作P“〃ab,与X轴交于Px点。

@过Px点作P，」X轴，则P平面即为所求。

图5-3

1.2平面与平面平行

几何条件：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面」

面平行。

投影：一个平面内任意两条直线的投影分别与另一个平面内两条相交直线的同面投影对应

平行，则这两个平面平行。

作图：由于AB〃AB,BC〃BC,所以平面ABC〃平面ABC,如图5-4所示

图5-4

两平行平面的同面迹线一定平行，反之，如果两平面的两对同面迹线分别相互平行，则

不能确定两平面是相互平行的。在图5-5中两平面平行，在图5-6中两平面不平行。

尸7QR

H在口

图5-5

求直线与平面的交点和两平面的交线是解决相交问题的基础。

2.1利用积聚性求交点、交线

2.1.1直线与平面相交一求交点

当平面或直线的投影有积聚性时，根据交点的公有性，一个投影可直接确定，另一个投

影可用在直线或平面上取点的方法求出。

例1试求直线AB与平面P的交点(图5—7)

作图步骤：(1)确定正面投影k'。

(2)求水平投影k。

图5—7

例2试求直线EF与4ABC的交点(图5—8a)

作图步骤(1)过k在△abc上作辅助线ado

(2)作ad的正面投影a'd'。

(3)求交点的正面投影k'。

(4)判断可见性。

在投影图中，为了增强清晰性，将直线与平面重影部分判断可见性。规定：不可见部

分画成虚线，可见部分画成实线，交点是直线投影虚实的分界点。

2.1.2平面与平面相交一求交线

当两平面之一投影有积聚性时，交线的两个投影有一个可直接确定，另一个投影可用在

平面上作直线的方法求出。

例试求平面ABC与平面P的交线(图5—9a)

解法一(图5—9b)

作图步骤⑴连接a'c'。

(2)求出Pv与4a'b'c'的交线k'1'。

(3)求交线的水平投影kl。

图5—9a

图5—9b

解法二

分析：P平面是水平面，它与平面ABC的交线

一定是水平线，BC也是平面ABC内的一水平

线，根据同一平面的水平线的投影相互平行的

特性，既可求出交线的投影。

作图步骤

(1)求出Pv与a'b'的交点k'。

(2)求出K的水平投影k。

(3)过k作kl〃bc。

(4)求出l'°KL即为所求。

图5—9c

2.2用辅助面求交点、交线

当直线、平面均为一般位置时，其交点、交线不能直接求出，必须通过辅助平面来求。

2.2.1用辅助面求交点

作图步骤（图5—10）

（1）过已知直线做一辅助平面，如平面P（为便于作图，常用特殊位置平面）;

（2）求出辅助平面与已知平面的辅助交线，如直线CD;

（3）求出辅助交线与已知直线的交点，如K点，即为所求交点。

图5-10

例试求直线AB与平面EFG的交点。（图5—lla）

解作图步骤

（1）过AB作铅垂面P（图5—11b）；

（2）求P与EFG的交线CD;

（3）求CD与AB的交点（k,k'），则K为直线AB与平面EFG的交点（图5—11c）;

（4）判别水平投影的可见性（图5—lid）；

（5）判别正面投影的可见性。

2.2.2用辅助面法求交线

作图步骤（1）过AB作一正垂面P,求出P与平面DEF的交线12,12与AB的交于K

点，则K点是一个公共点。

（2）过直线AC作正垂面Q,求出它与平面DEF的交线为34,34与AC交于点L,则交

线KL即为所求。

求出交线后一定要判断可见性，交线时可见与不可见的分界线，交线一侧可见，另一侧

必不可见，交线本身是可见的，用粗实线画出。

图5—12

§3垂直关系

3.1直线与平面垂直

几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。

反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。

投影：若一直线的水平投影一定垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直

于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面，

则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平

线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。

图5—13

如图5—13所示，AB和AC分别是4ABC平面上的水平线和正平线，adlab,

a'd'La'c',则直线垂直于平面△ABC。

例1试求点K到4ABC平面的距离(图5—14a)

解分析求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定

该点到垂足之间线段的实长。(图5—14b,5—14c)

作图步骤(1)在4ABC平面上任作一水平线BD和AE。

(2)自K点向BD、AE引垂线，即作kl±bd,k'1'J_a'e',得垂线KL。

(3)过KL作辅助面P,求出垂足F。

(4)用直角三角形法求出实长K,f,则K,f即为所求。

图5-14a图5—14b图5一14c

3.2平面与平面垂直

几何条件：如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。反之,

如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一

个平面上。（图5—15）

图5—15图5—16

例1试过直线EF作一平面垂直于平面ABCD（图5—16）

解作图步骤（1）从直线EF上的任意一点E向平面ABCD引垂线E出

（2）则平面FEI1垂直于平面ABCD,即为所求。

图5—17

3.3两一般位置平面垂直

作图依据：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上

的所有直线.

例试过A点作一条直线，使其与直线BC垂直相交（图5—18a）

解：分析由于BC为一般位置直线，过点A与BC垂直相交的直线也是一般位置直线。所求

直线必在过点A且与直线BC垂直的平面内，该平面与直线BC的交点和点A的连线，即为所

求(图5—18b)

作图步骤(图5—18c):

(1)过点A作水平线AD_LBC,作正平线AE_LBC;

(2)求直线BC与平面CAD、AE确定)的交点K(k,k');

(3)连接A、K,则AK(ak,a'k'),即为所求。

图5—18两一般位置直线互相垂直

§4点、线、面综合题及其解法

点、线、面综合题是指在解题过程中需要运用前面点、线、面，特别是直线、平面相对

位置的基本概念和作图方法。

4.1解题的一般步骤

(1)分析题意。主要分析清楚已知条件和欲求结果，以及其应满足的条件。

(2)确定解题方法和步骤。这是解题的关键。

(3)投影作图。

4.2解题方法

4.2.1综合分析法

此方法就是从已知条件出发，根据作图的要求条件，逐步推理最后得到索要的结果。整

个过程都是“正”、“反”结合。这是画法几何的基本方法。

例试过点K作直线KL,使其同时垂直于两相错直线AB、CD(图5—19a)。

(a)(b)

图5—19过点作同时垂直于两错直线的直线

解分析由已知条件可知，所要求的直线KL,应满足三个条件：KL过点K,KL，AB及

KLICDo因要求KL同时垂直于AB和CD,因此，KL一定垂直于AB和CD共同平行的平

面P。为作图简便起见，可包含直线AB作一平行于CD的平面P。

作图步骤（略去）

4.2.2轨迹相交法

轨迹相交法是画法几何的常用方法，它适应于有两个或多个作图条件的问题，如果考虑

每一个条件，都有无数个解答，并各自形成一个轨迹。这样所得各轨迹的交，即为所求的结

果。

例已知一直角三角形ABC,其中AB为一直角边，另一直角边AC平行于平面R,且点C距V

面20mm,试完成该三角形的两投影（图5—20a）。

图5—20轨迹相交法

解分析由已知条件可知，所要求的直角三角形的另一边AC应满足三个条件：AC±AB;AC

〃R;C点距V面20mm。满足AC±AB的条件，AC的轨迹为过点A且垂直于直线AB的平

面P（图5—22b中的MAN平面）；满足AC〃R面的条件，AC的轨迹为过点A且平行于平面

R的平面Q.则点C必在两平面PP、Q的交线AL上。在根据点C距面V20mm的条件，在AL

上确定点C,最后连接B、C,完成全图。

作图步骤（略去）

4.2.3辅助作图法

这是解画法几何题经常使用的方法。通常辅助作图是在投影图上进行，但有时需要在

投影图以外进行。

例试过A作直线AB,使其对II面的倾角a=30°,对V面的倾角6=45°,且实长=25mm（图

5—21a）

解：分析由已知条件可知，所求直线AB应满足四个条件：AB过点A;a=30°;

B=45°;L=25nm,可根据直角三角形法来求。

作图步骤（图5—21b）

（1）在正投影图以外画出辅助直角三角形，图解求出ab、Az和a'b'、Ay;

（2）根据直线AB的V投影长a'b'和两点A、B的高标差△z求得点B的V投影b'；

（3）根据b'及两点A、B的纵标差Ay（或AB的H投影长ab）求得b'；

（4）连接两点A、B,则直线AB即为所求。本题可有八解。

(a)(b)

5-21辅助作图法

图2—22变更问题法

图5-2lc

4.2.4变更问题法

这种方法是将复杂的问题转换成较易解决的问题来解。例如，求两平面的夹角。（图5

-22）,这时可以不直接求角0,而是可以自平面外的任意一点K向两平面引垂线KM、KN,

再求出KM、KN之间的夹角其补角即为要求的二面角0,这样就把求两平面夹角的空间

问题变为平面问题。

(a)(b)

图5-23求直线与平面的倾角

例试求直线KL与△ABC平面的倾角9（图5—23a）。

解分析如图5-24所示，求直线与平面P的夹角9,可自直线上任意一点K向平面P作垂

线KM,求出直线KL与垂线KM的夹角6,其余角就是直线KL与平面P的夹角。。

作图步骤（略）

4.2.5反求法

反求法就是解题时，有时从正面推导不易得到结果，

M

L

而根据要求结果，先在图外作出其投影，加以分析而得

到解题方法。

例已知等边AABC的边AB的V投影a'b'〃X轴，即

AC边的H投影ac,试完成该AABC的投影（图5—25a）。

解分析初看起来，根据已知条件磁体不易入手。如果要作

的是等边三角形，且一边AB是水平线，先在旁边画出这样的图5—24

等边三角形的正投影图（图5—25c）,就可以发现，其H投影一定是等腰三角形abc且ac=bc,

而ab即△ABC边的实长。

作图步骤（图5—25b）

⑴根据b'b_LX轴，及ac=bc作Aabc,则