河南省郑州市外国语高中2022年高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线加：与-*=13〉。>0）的焦距为2c,若M的渐近线上存在点T，使得经过点T所作的圆

（x-cf+V="的两条切线互相垂直，则双曲线加的离心率的取值范围是（）

A.(1,72]B.(0,百]C.(V2,V5]D.(73,75]

2.波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲

线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k>0,

且1#1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆三+乂=1（a>b>0）,A,B为椭圆的长轴端

|MA|

点，C,D为椭圆的短轴端点，动点M满足卜荷=2,△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,则椭

圆的离心率为（）

4BY。与.v

3.如果。<a<0,那么下列不等式成立的是（）

A.log?同<log21al

C.b3>a3D.ab<b2

I71

4.已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与K轴的非负半轴重合，若点PQ,-1）在角。的终边上，则sin[,-2a

)

43

55

5.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆七：二+与=1（。>人〉0）的右焦点为尸（，,0）,若尸到直线2"一冲=0的

aZr

距离为包C,则E的离心率为()

2

A."B.1C.也D.旦

2223

6.在△ABC中，角4,民C所对的边分别为a,4c,已知c=\.当a,人变化时，若z=b+而存在最大值,

则正数2的取值范围为

A.(0,1)B.(0,2)C.(-,2)D.(1,3)

2

7.已知函数/(x)=sin(s+小＞0,悯＜3呜,0)为/(x)图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点X，X,

满足|%-泡|=1,则下列区间中存在极值点的是()

8.已知同=3网=3,且(2M-6)_L(什+43),则-B在〃方向上的投影为()

720

A.-B.14C.——D.7

33

9.已知等差数列｛4｝的前13项和为52,则(一2)%+w=()

A.256B.-256C.32D.-32

10.设s“是等差数列｛q｝的前〃项和，且$4=能+3,则。2=()

A.-2B.-1C.1D.2

11.正三棱柱ABC—A4G中，AAl=42AB,。是的中点，则异面直线A£＞与A。所成的角为()

12.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝

才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起

脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走

的路程为()

A.6里B.12里C.24里D.48里

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2+In2x。

13.函数/(%)=-Z—的图象在工=二处的切线方程为__________.

x2

14.已知复数z=（加2-2）+（加一1»对应的点位于第二象限，则实数，"的范围为.

x>1,

15.若变量1,V满足约束条件卜之龙，则z=2x+y的最大值是.

3x+2y<15,

16.已知数列｛”“｝的前N项和为s“，S”=2（a.+1）,则满足S“=-126的正整数"的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图在直角AABC中，8为直角，AB=2BC,E,尸分别为AB,AC的中点，将AA£尸沿EF折起,

使点A到达点。的位置，连接BO,CD,/为CO的中点.

（I）证明：MFL面BCD；

（II）若DE工BE,求二面角E—C的余弦值.

18.（12分）已知椭圆0+a=1（。>8>0）的右焦点为耳（3,0）,离心率为e.

（1）若6=立，求椭圆的方程；

2

（2）设直线），=丘与椭圆相交于A、B两点,M、N分别为线段A^、的中点，若坐标原点。在以MN为直

径的圆上，且也<eV也，求上的取值范围.

22

八x=2cosa厂

19.（12分）在直角坐标系xOy中，把曲线C：<（a为参数）上每个点的横坐标变为原来的石倍，纵坐标

y=zsincr

不变,得到曲线c,.以坐标原点为极点，以X轴正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线c的极坐标方程psin（e--）=4V2.

4

（1）写出C2的普通方程和g的直角坐标方程；

（2）设点M在C2上，点N在C,上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.

2

20.（12分）△45C的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC的面积为‘一

3sinA

(1)求sinBsinC;

⑵若6cos8cosc=1,a=3,求^ABC的局长.

21.(12分)已知函数=.

(1)若a=l,证明：当尤之0时，/(Jt)>l；

(2)若f(x)在(0,48)只有一个零点,求”的值.

22.(10分)如图，在矩形A8CD中，43=4,4)=3,点瓦/分别是线段。CBC的中点，分别将△D4E沿4E

折起，△<?£'/沿EE折起，使得。，。重合于点G,连结AE.

(I)求证：平面GEE，平面GAP；

(H)求直线GR与平面G4七所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由b>a可得e>拉；由过点T所作的圆的两条切线互相垂直可得|7F|=3"，又焦点F(c,0)到双曲线渐近线的距离

为h，则|阴=夜”》仇进而求解.

【详解】

又圆（尤-c）?+/=/是以E（c，O）为圆心，半径r=a的圆,要使得经过点T所作的圆的两条切线互相垂直，必有

\TF\=42a,

而焦点F（c,O）到双曲线渐近线的距离为方，所以|7F|=2仇即，W夜,

所以《百，所以双曲线”的离心率的取值范围是（友,百］.

本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.

2.D

【解析】

5aY16A21411

求得定点M的轨迹方程x-----+V=可得一x2ax—a=8,—x2Z?x—a=l,解得a,b即可.

3J92323

【详解】

|M4|

设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).,动点M满足同j=2,

则J(x+a)2+y2=2j(x-a)2+>2=2,化简得(x_曰/+y?'等.

•••△MAB面积的最大值为8,AMCD面积的最小值为1,

-x2,dx—a=8,-x2Z>x—a=\,解得a=b=，

23232

...椭圆的离心率为Jl—4=3.

\a22

故选D.

【点睛】

本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题.

3.D

【解析】

利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.

【详解】

332

'：b<a<0,/.log,|Z?|>log2|a|,出>（；）,h<a,ab<b.

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.

4.D

【解析】

由题知cosa=2f,又sin（、-2a）=cos2a=2cos2a-l,代入计算可得.

【详解】

由题知cosa=,又sinC-2“=cos2a=2cos2a-l=|.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.

5.A

【解析】

r\1

由已知可得到直线2陵一0=0的倾斜角为45°,有一=1,再利用即可解决.

a

【详解】

由尸到直线2笈-@=0的距离为走c,得直线2版一灯=（）的倾斜角为45。，所以殳=1,

2a

即4（/一。2）=。2,解得e=*.

故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于4〃,c的方程或不等式，本题是一道容易

题.

6.C

【解析】

因为。=1,所以根据正弦定理可得昌=-72=力，所以。=*sinA,b=%EB,所以

3sinAsinBsinC，3J3J3

z=b+Aa=—j=sinB+-=sinA=—=[sinB+2sin(--B)]=—=[(1----)sinB+

G6G3G2

cosB]=卡J(1一夕+(-^^)2sin(B+。)，其中tan^=^y,0＜3＜。，

因为z=Z?+而存在最大值，所以由3+。=2+2攵兀,攵wZ,可得2左兀+2＜。＜2攵兀+2,攵wZ,

262

所以tan0＞走，所以皿＞正，解得!＜/＜2,所以正数/I的取值范围为(±2),故选C.

32-2322

7.A

【解析】

结合已知可知，；7=1可求T,进而可求。，代入f(x),结合/(；)=(),可求0,即可判断.

【详解】

•••图象上相邻两个极值点*,超满足lx-wl=l,

二.了=1即7=2,

:.①=冗、f(x)=sin(7rx+°),且/(；)=sin(^+0)=0,

二-7r+(p=k7v,keZ,

3

,・1el＜gi,/.9=一;乃,/(x)=sin(^x-,

当X=-J时，/(-，)=—1为函数的一个极小值点，而-，e(—9,0)・

66oo

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用.

8.C

【解析】

由向量垂直的向量表示求出7B，再由投影的定义计算.

【详解】

由(2〃一5)，(万+4b)

可得（2万—B）-3+4b）=2万2+7万万一4户=0,因为国|=3出|=3,所以⑦5=—2.故2M—B在汗方向上的投影

代（2万一B）02a2-a-b18+220

73-------------=-------------=--------=—.

\a\\a\33

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积与投影.掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键.

9.A

【解析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.

【详解】

由S”=13%=52,%=4,得（一2）3，=（—21=256.选人.

【点睛】

本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.

10.C

【解析】

利用等差数列的性质化简已知条件，求得为的值.

【详解】

由于等差数列｛4,｝满足=4+3,所以6+。2+43+a4=4+3,«i+a2+a3=3,3a2=3,a2=l.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

11.C

【解析】

取中点E,连接CE,根据正棱柱的结构性质，得出AE〃AD,则NC^E即为异面直线与所

CE

成角，求出tanNCAE=工高，即可得出结果.

A^E

【详解】

解：如图，取4C中点E,连接AE,CE,

由于正三棱柱ABC-A出G,则8瓦1.底面A片£,

而AEU底面AB|G，所以

由正三棱柱的性质可知，△A4G为等边三角形,

所以且4En81G=E,

所以AE，平面8片GC,

而ECU平面BB£C,则4七，EC,

则4E〃孙“EC=90°,

ANCAE即为异面直线AQ与所成角,

设AB=2,则AA=2也，%E=6CE=3,

CE3r~

贝皿.=丽=丁3

TC

...NCAE=

3

故选：C.

【点睛】

本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.

12.C

【解析】

I4(1-J

设第一天走/里，则｛%｝是以可为首项，以一为公比的等比数列，由题意得$6=--------誉一=378,求出q=192(里

21_-

2

),由此能求出该人第四天走的路程.

【详解】

设第一天走q里，则他“｝是以卬为首项，以5为公比的等比数列，

由题意得：&=----->=378,

1--

2

解得4=192(里),

=a,x(g)3=192x(=24(里).

故选：C.

【点睛】

本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化

思想、函数与方程思想，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.40x+e3y-32e=0

【解析】

2+In2xe

利用导数的几何意义，对〃x)=-5—求导后在计算在无=彳处导函数的值，再利用点斜式列出方程化简即可.

x~2

【详解】

1,

一•r一(2+In2x)-2x

x-2x(2+In2x)，则切线的斜率为f

f'(x)=-------7-------------------

(\I?eI?40(e\

又/5e二7,所以函数/(幻的图象在x=7处的切线方程为y-一^=一方X-4即40元+/>—32e=0.

，ee,乙)

故答案为：40x+?y-32e=0

【点睛】

本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题，需要注意求导法则与计算，属于基础题.

14.(1,72)

【解析】

由复数3(>-2)+(〃-1»对应的点画-2,加一1)在第二象限，得小2一2<0,且加-1>0,从而求出实数〃？的

范围.

【详解】

解：•.•复数z=U〃2—2）+（加一1»对应的点（机2—2,加-1）位于第二象限，.•.加2一2<（）,且加一1>0,

\<m<V2»

故答案为：（1,收）.

【点睛】

本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式m2一2<（）,且加-1>（）是解题的关键，属于基础题.

15.9

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出z=2x+y的最大值.

【详解】

做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，

目标函数z=2x+y过点A时取得最大值,

y=x%—3

联立《解得《一，即A(3,3),

3x+2y=15[y=3

所以z=2x+），最大值为9.

故答案为9

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

16.6

【解析】

已知S.=2（a“+1）,利用a,,=S“—S,i=2%—2a,i，求出｛4｝通项，然后即可求解

【详解】

Vs“=2（4+1）,.,.当n=1时，51=2（«1+1）,，q=-2；当〃22时，an=Sn-5„_,=2an-2an_x,：.an=2tz„_l,

故数列｛%｝是首项为2公比为2的等比数列，.•.%=—2".又Sn=2（%+1）=-126，,an=-64，，-2"=-64，

n=6.

【点睛】

本题考查通项求解问题，属于基础题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（I）详见解析；（II）旦.

3

【解析】

（I）取。B中点N,连结MN、EN,四边形EFMN是平行四边形，由所，BE，EFLDE,得防，平面即E,

从而EFLEN,MFLMN,求出MFLCD,由此能证明MF_L平面8co.

（II）以E为原点,BE、EF、ED所在直线分别为％,丁，二轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角

七一""—C的余弦值.

【详解】

证明：（I）取DB中点N,连结MN、EN,

■:MN\\-BC,EF\\-BC,

=2=2

二四边形EFMN是平行四边形，

VEFLBE,EFYDE,BECEF=E,

：.EF_L平面8/）E,

EFLEN,：.MF±MN,

在ADR7中，DF=FC,

又•:"为CD的中点，

又,:MFCMN=M,Mb_L平面BCD.

解：（IDVDEYBE,DEA.EF,BEQEF^E,

:.DEL平面BEF,

以£为原点，BE、EF、所在直线分别为“，二轴，建立空间直角坐标系，

设BC=2,则E（0,0,0）,尸（0,1,0）,C（-2,2,0）,M（-1,1,1）,

二EF=（0,1,0）,=（-1,0,1）,CF=（2,-l,0）,

设面EMF的法向量m=(x,y,z),

m-EF=y=0一巾一/八\

则《-，取x=1,得加=(1,0,1),

m-FM=-x+z=017

同理，得平面CM尸的法向量3=（1,2』）,

设二面角£一加尸一。的平面角为

m-n\/3

贝I]cos6=

3，

/7

二面角£—Mb—C的余弦值为'士.

3

【点睛】

本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分

析求解能力，属中档题.

22、

一也u也

18.(1)—+^-=1；(2)-Q0,,+00.

44

1237

【解析】

（1）由椭圆的离心率求出〃、。的值，由此可求得椭圆的方程;

设点、联立直线丘与椭圆的方程，列出韦达定理，由题意得出工，可得出

（2）A（x，x）B（x2,y2）,y=46，8

F2AF2B=O,

【详解】

(1)由题意得c=3,t=：.a=2瓜

a2

22

又因为〃=〃+c2,..22=3,所以椭圆的方程为工+匕=1；

123

2-)

_X,21-1

2

(2)由＜a-b~，得仅2+Y左2卜2一。2从=0.

y=kx

-crb-

设A(x，y)、3(w，%)，所以玉+工2=。，

淳

依题意，OM1ON,易知，四边形OM/^N为平行四边形，所以A舄，8鸟.

因为月4=（七一3,y）,F2B=（x2-3,y2）,

所以gA•68=（玉_3）（%2-3）+丁]>2=0+42）玉々+9=0.

-a2(a1-9](1+k2]

3-1耐+817_81

42

即工+(3)+9="将其整理为公-a+18a~aA-lSa2

因为也<e4迫，所以26124/<18.

22

所以公之！，即左引一00,一2

8I4U乌+8

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理

地进行等价转化，考查计算能力，属于中等题.

22

19.(1)。2的普通方程为*+3=1，C3的直角坐标方程为x-y+8=0.(2)最小值为2夜，此时加(—3,1)

【解析】

(1)由G的参数方程消去。求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得g的直角坐标方程.

(2)设出M点的坐标，利用点到直线的距离公式求得|MN|最小值的表达式，结合三角函数的指数求得|MN|的最小

值以及此时加点的坐标.

【详解】

,、一jz-、，(x=2y/3cosa,、一皿，、

(D由题意知C)的参数方程为“(。为参数)

y-2sina

22

所以C,的普通方程为土+匕=1.由夕sin(e—工)=4J5.得。cose-。sin。+8=0,所以C，的直角坐标方程为

1244

x-y+8=0.

(2)由题意，可设点"的直角坐标为(26cosa,2sina),

因为G是直线，所以IMN|的最小值即为M到G的距离”(a)，

因为d(a)=I2/cos＜里。+8|=2血(cos(a+£)+2|.

V26

当且仅当a=2版■+且(ZeZ)时，d(a)取得最小值为2拒，此时M的直角坐标为(26cos包,2sin红)即

666

(-3,1).

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距

离的最小值问题，属于中档题.

2f—

20.(l)sinBsinC=-(2)3+V33.

【解析】

试题分析：(D由三角形面积公式建立等式Lacsin8=」^,再利用正弦定理将边化成角，从而得出

23sinA

I71

sinBsinC的值；(2)由cosBcosC=k和sinBsinC=§计算出cos(5+C)=-],从而求出角A,根据题设

和余弦定理可以求出历和。+c的值，从而求出△ABC的周长为3+例.

试题解析：(1)由题设得Lqcsin8=—即』csin8=—

23sinA23sinA

iqinA

由正弦定理得上sinCsinB=上空.

23sinA

2

故sirtBsinC=—.

3

(2)由题设及(1)得cos5cosc-sinbsinC=-g,,即cos(B+C)=-g.

27r7r

所以B+C=」，故A=V.

33

由题设得』0csinA='^,即历=8.

23sinA

由余弦定理得〃+。2一儿=9,即伍+c)2—3%=9,得"0=屈.

故AABC的周长为3+屈.

点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使

用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解

三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者

“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路

是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如'=45皿8+夕)+。，从而求出范围，或利用余弦

定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

21.(1)见解析；(2)a=—

4

【解析】

分析：(1)先构造函数g(x)=(Y+l)er-1,再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证

得不等式;⑵研究/(X)零点，等价研究〃(x)=l-加"'的零点，先求〃(x)导数：〃'(％)=ox(x-2)eT,这里产生

两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2,当aMO时，〃(x)>0,/i(x)没有零点；当a>0时，〃(x)先减后增，

从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.

详解：⑴当a=