六年级奥数第一讲分数的速算与巧算

雨颔sH厕题匚至工魏六年级奥数讲义

第一讲分数的速算与巧算

教学目标

本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.

1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找

通项进行解题的能力

2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利

用运算定律进行简算的问题.

4、通项归纳法

通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将''形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简

便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式.

知识点拨

一、裂项综合

(一)、“裂差”型运算

⑴对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即J—形式的，这里我们把较小的数写在前面，即那么有

axb

axbb-aab

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

---------1-----------------------1-------------形式的，我们有：

〃x(〃+1)x(/?+2)〃x(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)

〃x(〃+l)x(〃+2)2nx(n+l)(〃+1)(〃+2)

〃x(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)3〃x(〃+1)x(/?+2)(〃+1)x(〃+2)x("+3)

裂差型裂项的三大关键特征.

(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将X提取出来即可转

化为分子都是1的运算。

(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

(3)分母上几个因数间的差是一个定值。

(二)、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

2

/八a+baZ?11/c、/+ya及ab

axhaxhaxbbaaxbaxbaxbba

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的口的"，裂和型运算的题口不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分

数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

(1)1x2+2x3+3x4+...+(/7-1)x/?=-(/?-1)xnx(W+1)

3

(2)1x2x3+2x3x4+3x4x54-...4-(72-2)x(/?-l)xn=—(72-2)(拉-V)n(n+1)

4

二、换元

、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转

化，将复杂的式子化繁为简.

三、循环小数化分数

1、循环小数化分数结论:

纯循环小数混循环小数

「瓯阻超固酶?施虚工口©六年级奥数讲义

循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字

分子循环节中的数字所组成的数

所组成的数的差

按循环位数添9,不循环位数添0,组成分母，其中9在0

分母n个9,其中n等于循环节所含的数字个数

的左侧

「a八；ab八八；ab1ab„;,abc-a

0.Q=—;O.ah=—；O.Oab=—x—=O.abc=------

9999910990990

2、单位分数的拆分：

1111111111

----=—+■=--------41-----------------+-F---------------+-1---------------H+---------

102020()0()0()0()()

分析：分数单位的拆分，主要方法是：

从分母N的约数中任意找出两个m和n,有:

11(m+〃)mn11

—=----------------=-------------------1------------------——I—

NN(m4-n)N(m+n)N(m+n)AB

本题10的约数有：1,10,2,5.o

例如：选1和2,有：

11(1+2)12_11

10-10(1+2)-10(1+2)10(1+2)-30+15

本题具体的解有：

11111111]

io-H+HO=------1------=-------1------=-------1------

126014351530

例题精讲

模块一、分数裂项

[例1]--------------------1-----------------------1-----------------------F•••H-----------------------1-----------------------

Ix2x3x42x3x4x53x4x5x66x7x8x97x8x9x10

【解析】原式—!—11+-1________M

-------1-------

311x2x32x3x42x3x43x4x57x8x98x9xl0j

1O_____

3X11x2x38x9xl0j2160

【巩固】——-——+——-——+……+-------------

Ix2x3x42x3x4x517x18x19x20

【角单析】原式=3x[」x(―?--------5—+—?--------?—+…+——5——

18x19x20”

31x2x32x3x42x3x43x4x517x18x19

113x19x20-11139

1x2x318x19x2018x19x206840

35719

【例2】计算:------4-----------------+•••-!------------------

1x2x32x3x48x9x10

【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题口.但是本题中分子不相同，而是成等差

数列，且等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列（该数列的第〃个数恰好为〃的

2倍），原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和

再进行计算.

店斗3+23+43+16

原式二-------+--------+•••+--------

1x2x32x3x48x9x10

雨加国图同厕於工霎魏六年级奥数讲义

-1,1,1or1.2

11x2x32x3x48x9x10)11x2x32x3x4+3)

111

+2x+------+,•*d--------

2x33x48x93x49x10

1__1_

,+9-10

71123

460515

也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2〃+3,所以

2〃+3232.

------------------------------=--------------------------1-------------------------------,再将每~*项的----------------与

几x(〃+1)x(〃+2)(〃+l)x(〃+2)〃x(〃+l)x(〃+2)(〃+l)x(〃+2)

3

--—————；分别加在•起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同.

〃x(〃+l)x(〃+2)

571719

【巩固】计算：1155x(--—+—-—+..・+--—+—--)

2x3x43x4x58x9x109x10x11

57171Q

【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：--—+—-—+…+--—+—--.这个算式不同于我们

2x3x43x4x58x9x109x10x11

常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情

况.所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式.

观察可知5=2+3,7=3+4,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

571719

1F•••H1

2x3x4-----3x4x5-------8x9x10--9x10x11

2+33+49+10

=--------------F--------------!-•••+---------------

2x3x43x4x59x10x11

------+4++...++

3x42x44x53x510x119x11

1

9x11

11111111111111

―1-■■■...+—x——+———+———+•••+-■—+——

44510112243546810911

1182831

4-—X2-10+3-17=----F—X-4--

233253355

所以原式=1155x—=651.

55

■eby、，田34512

［固】计算：----------1------------------------1-----------------------F•••H------------------------

Ix2x4x52x3x5x63x4x6x710x11x13x14

【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、

分母都乘以分子中的数.即：

rsi324252122

原式=--------------1-------------------------------1-------------------------------F••-------------------------------------

1x2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每•项中分子、分母的对称性，可以用平方差公

式：32=1x5+4,42=2x6+4,52=3x7+4・•・・•・

324252I?2

［解析］原式:------------+-------------+-------------+•••+-----------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

「瓯阻超固幽的虚工口©六年级奥数讲义

1x5+42x6+43x7+410x14+4

------------------------------1---------------------------------1---------------------------------F•••H----------------------------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

1111A

-------------1--------------1F…4

2x3x43x4x54x5x6--------11x12x13)

(4444

+------------------------------1---------------------------------1-------------------------------F•••H------------------------------------------

11x2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

12x13

fl11111

+--------------------------------------------------1---------------------------------------------------1-,••H--------------------------------------------------------------------

[1X2X3X42x3x4x52x3x4x53x4x5x610x11xl2xl311x12x13x14

1

=ixp---M+M--------------------]

2(2x312xl3j11X2X3X411x12x13x14^

1111177+1111175

-------------------------------1----------------------------------------------------------------------------------------------------------------——

122x12x132411x12x13x14811x12x13x1482x11x148308616

12349

【例3】--J-------------J-------------------1-------------------------F•••H--------------------------------

22x32x3x42x3x4x52x3x4…xlO

区一12349

【解析】原式=-H--------H---------------1--------------------------F.■■+

22x32x3x42x3x4x52x3x4---xlO

2-13-14-110-1

=------H----------F-------------F.■■+

22x32x3x42x3x4…xlO

11111________1________

=]——+——---+，-+■■■+

222x32x32x3x42x3x4…x92x3x4…x9xl0

=1---------------5----3--6--2--8-7-99

2x3x4…x9xl03628800

【例4】-H-------------F------------------1-..........+------------------------------

11+21+2+31+2+…+100

【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手,

通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有！==，

1(1+l)xl1x2

2

2

1+2(1+2)x22x3

2

2222「八1、200”9

原式=-----F-----------1-------------F••••H--------------=2x(1--------)=------=1—

1x22x33x4100x101101101101

23450

【巩固】-------------+---------------------------++,・・+

1x(1+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)x(l+2+3+4)(l+2+3+・・・+49)x(l+2+3+・・・+50)

2350

原式=--+二一十上+——-——+…+

1x33x66x1010x151225x1275

1、1274

+(-----------)+(

二(---)4-(1-1)-

1336610122512751275

234100

【巩固】-------+-----------++...+

lx(l+2)(1+2)x(1+2+3)(l+2+3)x(l+2+3+4)(1+2+…+99)x(l+2+…+100)

胸珞?颔§同场?施雾10s六年级奥数讲义

【解析】而占T.AT(1+2)X；1+2+3)*-TT^

(1+2+―+99)><(1+2+・・・+100)-1+2+.・・+99-1+2+・・,+100

原式=1—

1+2+...+100

।15049

=1---------=-------

50505050

_______________10_______________

【巩固】1--z____________2

lx(l+2)(l+2)x(l+2+3)(l+2+3+・・・+9)x(l+2+3+・・・+10)

234

【解析】原式=1—(=+=-+，—+...+45x55)

1x33x66x10

55

111111

【例5】

32-152-172-192-1112-1132-1

【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：a2-h2=(a-h)x(a+h),

原式=(~~~)+(~~-)+(-)+(-—京)+(———)+(—―2)

2x44x66x8o8x1010x1212x14

111111111111

-----1--------|---------1----------1-----------1----------)x—

44668810101212142

(--—)x1=3

214214

35715

【巩固】计算:，+，+，+••■+

12X2222X3232X4272X82

222222

原式:与2-二I3-242-328-7

【解析】+22X32+…+

12X2272X82

111111

H---z-----r—T---T+…HT-----r

223232427282

32+152+172+119932+119952+1

【巩固】计算:--------1---------1---------1-•••4------------+-----------=

32-152-172-119932-119952—1------------

【解析】原式/+丹川+白川+舟)+…+(|+高川+舟)

=997+(义+△+...+199；996

1111111997

=997+———+———+...+=997+=997

244619942~19961996

雨颔薇姗瓢霎魏六年级奥数讲义

I222325O2

【巩固】计算:---------1------------1------------1-,,•H------------------=.

1x33x55x799x101

【解析】式子中每•项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为22—1,42-1,

62-1,……,1002-1,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后

进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了.

原式=—x

422-I42-162-11002-1)

x1+3+1+j+J+...+1+工

422-142-162-11002-1

11

=-x|50++----+----+-••+

4I1x33x55x99x101

1

=­x

4

1550-63

=-x50—=12—

4101101

2x24x46x68x810x10

【巩固】--------+---------+---------+---------4-

1x33x55x77x99x11

【解析】（法1）：可先找通项-...=1+-----=1+--------------

n~-1n~-1(〃-1)x(〃+1)

原式=a+工)+a+-1-)+(1+—5—)+(1+-^―)+(1+—^―)

1x33x55x77x99x11

=5+-x(1——)=5+—=5—

2111111

（法2）：

型=1。一4色=53

1111II

1

【例6】_2_+______3______*...+____________1999_____________

1+；(l+；)x(l+；)(1+jx(l+；)x…X(l+M9)

11

="+1=_____?_____2x(—______1—)

【解析】=

,L/1,1\(\,1、〃+2(n4-1)(/7+2)n+\〃+2

(l+-)x(l+-)x...x(l+----)----、八/

23H+l2

,/1、/1、/I、/I

原式=[(5-5)+(1/+([?+…+(碱----)x2=1-------999

2000J10001000

【巩固】计算:1H------1---------F.•.-------------

1+21+2+314-2+...2007

1?11

【解析】先找通项公式4=---------=---------=2(--------)

1+2+••皿〃x(〃+l)n714-1

1

原式=1+2x(2+l)+3x(3+l)2007x(2007717

222

「瓯阻超固幽的虚工口©六年级奥数讲义

22222007

=-----H-------+-----+…+=2x也

1x22x33x42007x20082008-T004

【巩固】

1+J_+―!—+...+------!--------

33+53+5+73+5+7+…+21

_______1________________1_______

【解析】先找通项：a„

3+5+…+(2〃+1)gx(2〃+l+3)x〃〃(〃+2)

原式=----F-----+------4-------+•••+--------1----------

1x32x43x54x69x1110x12

111111

------1--------1-,••++-------1---------F•••+

1x33x59x112x44x610x12

175

~264

1+21+2+31+2+3+41+2+3+…+50

【例7】

22+32+3+42+3+…+50

(1+〃)xn

”大吊(

【解析】271X77+1)

(1+71)Xn7?X(774-1)-2

--------------------1

2

2x33x44x55x62x33x44x55x6

原式=----X----------X----------X---------X•••=-----------X----------X----------X----------X•••,

41018281x42x53x64x7

通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有

e一2x33x44x55x648x4949x5050x51350。23

原式—xxxx••»xxx—x—2

1x42x53x64x747x5048x5149x5215226

I212+22-+22+32产+2z+32+4212+22+,..+262

【例8】I3P+231P+23+3-113+23+33+43113+23+...+263

nx(n+l)x(2n+l)

l2+22+...+n2622H+1211、

【解析】a=--------------------=------------------------=—x-------------=—x(—।--------)

〃I3+23+...+/73n2x(n-i-l)23〃x(〃+l)3n〃+1

4

原式:]*[(!+!)-(：+:)+(!+[)...—+1x(1一」)=

3122334262732781

(I+22-lM1+32-JX",X0+992-J

【巩固】

15+1)2(n+1)2

【解析】ft-1_|_________—_________—________

(九+1)2-1(〃+1尸一1nx(n+2)

ei2x23x398x9899x99

J/j、式।—xX•••Xx

(2+l)x(2-l)(3+l)x(3-l)(98+l)x(98-l)(99+1)x(99-1)

2x23x34x45x598x9899x9929949

—____x____x____x____X•••x______x_______—_x___—1__

-3x14x25x36x499x97100x98-110050

工的2232992

【例9】

22-132-1992-1

(n+1)2(屋+1「

【解析】通项公式：%=7_——穴==一七，

胸珞?颔§同场?施雾10s六年级奥数讲义

2x23x34x498x9899x99

原式=-----------------X---------------------------X-------------------X…X------------------------------X--------------------------------

(2+l)x(2-l)(3+l)x(3-l)(4+l)x(4-l)(98+1)x(98-1)(99+1)x(99-1)

2x23x34x45x598x9899x99

-_______sz_______y_______V________...xz______________v_____________

-3x14x25x36x499x97100x98

2233449898999929999

=—X—X—X—X—X—X••»XXXX------=—X-------=

I32435979998100110050

"22992

【巩固】计算:----------------------------1-------------------------------1-•••4---------------------------------

l2-100+500022-200+5000992-9900+5000

n2

【解析】本题的通项公式为,没办法进行裂项之类的处理.注意到分母

n2-100/2+5000

n2-100n+5000=5000-n(100-n)=5000-(100-/7)[100-(100-n)],可以看出如果把”换成

100-M的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个

502

将项数和为100的两项相加,得

502-5000+5000'

2

n2(100-n)/+(100-")22/-200〃+10000

—Z...-----+=2,

100〃+5000(100)2-100(100-〃)+5000n2-100/1+5000n2-100〃+5000

所以原式=2x49+1=99.(或者，可得原式中99项的平均数为L所以原式=1x99=99)

11111

[例10]24x----------1-------------F•••H-----------------------------+••.+

2x34x520x2112+22--------------/+22+...+102

【解析】虽然很容易看出」一='—•!■.1

……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项

2x3234x55

那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式，于是我们又有

6

..减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子

I2+2?+32+…MX(7?4-1)X(2/7+1)

也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？

1111[

24x

------1----+-------FFTI7+…+

2x34x520x21I2+22+---+102

1

=24x----------1-------------F,••4-----------------1----------------+…+

2x34x5-------20x211x2x32x3x510x11x21

111

=24x-----------1-------+----…+-24x--------+--------+…+

2x34x520x212x4x34x6x520x22x21

=24x++…+

2x32x4x34x54x6x520x2120x22x21

1160

=24x-----------1------------1-,••+=6x----------h---------1-•••H---------------=6xM-YJ-

2x44x6-------20x221x22x310x1177

模块二、换元与公式应用

【例11】计算：P+33+53+73+93+113+133+153

【解析】^^=13+23+33+43+---+143+153-(