期末测试题（二）-2021-2022学年高二数学月考 期中 期末试题

期末测试题（二）-2021-2022学年高二数学月考+期中+期末试题抢

先看（新教材人教版高二上学期期末）（解析版）

（考试时间：120分钟总分：150分）

注意事项：

1.本试卷共分两部分第I卷为选择题，第II卷为非选择题；

2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效.

第I卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）

1.已知点A（-l,0）,8（2,-石）在直线/上，则直线/的倾斜角大小为（）

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】：D

【解析】•.•直线/过点4（-1,0）,8（2,-石），

直线的斜率k=巫B=-且，

2-（-1）3

..A/3

,：k,=tana=9?——,

3

54

oc=—•

6

故选：D.

2.已知｛q｝为等差数列，S,,为其前w项和.若为=工=5,则4=（）

A.-5B.-4C.-3D.-2

【答案】：C

【解析】因为｛可｝为等差数列，氏=55=5，

所以上4d=5,

[5a]+10J=5

解得q=-3.

故选：C.

3.函数y=23H在工=0处的导数是（）

A.61rl2B.21rl2C.6D.2

【答案】：A

【解析】•.-y=3/n2-23x+,,

y=23t+l在x=0处的导数是：3/n2x2=6/z?2.

故选：A.

4.如图，在平行六面体43CO-ABCA中，若西=xZ方+yR5+zM，则(x,y,z)=(

)

A.(-1,1,1)B.(1,-1,1)C.(1,1,-1)D.(-1,-1,-1)

【答案】：A

【解析】而;=丽；+丽;，又因而;=而；，B,DX=BD=AD-AB,

BD[=4A+AD-AB=xAB+yAD+zAAt,

x=-1»y=1,z=1,

故选：A.

5.抛物线x=±y2的焦点坐标为()

3

A.(1,0)B.(0,1)0•舄，0)D.(0,1)

【答案】：C

【解析】•.•工=39，

3

23

y'=—x,

.4

.•・抛物线x=9y2的焦点坐标为(』,0).

316

故选：C.

6.已知等比数列｛〃,｝的前〃项和为S“，且满足公比0<4<1,b,<0,则下列说法不正确的

是()

A.S,一定单调递减B.勿一定单调递增

C.式子2-s,,..o恒成立D.可能满足仇=S*,且Aw1

【答案】：D

【解析】由等比数列｛〃,｝的前〃项和为5“，且满足公比0<4<1,々<0,

可知：“数列也）每项都是负数且单调递增“，

由此可判断ABC说法都是对的、D是错的.

故选：D.

7.在正方体45CQ-A8CA中，点尸为线段4。上一点，当AP+P3取得最小值时，直线

5P与平面ADRA所成角的正切值为（）

A.—B.—C.42D.73

23

【答案】：C

【解析】将正方体中的正△A3。沿翻折至与点A共面，如图所示，

因为AA=AE>,所以当尸为线段的中点时，AP+P5最小值.

连接AP,在正方体A8CO-ABCA中，舫,平面AQRA，可得至工42，

所以直线BP与平面AORA所成角为Z4P3.

设正方体A8CD-AAG.的棱长为。，则AD=6a，

又点P为A。的中点，所以AP=，AO=叵，tanZAPB=—=72.

22AP

故选：C.

8.已知双曲线三一一二=1（。>0）的右焦点为尸，A（—a,O）,8（0,。），过A,B,尸三点

a-l-a

作圆P,其中圆心P的坐标为（见"），当/+〃<0时，双曲线离心率的取值范围为（）

A.（1,V2）B.（1,73）C.（应，+oo）D.（73,+oo）

【答案】：A

【解析】由题,可知F(c,O)，

vA(-a,O),3(0,/?),

.•・线段AF的中垂线所在的宜线方程为》=二，

2

线段所的中垂线所在的直线方程为y="(x-|)+g,

_c-a

联立•2,解得尸(3,匕空)，

ccb22b

y=7*;)+：;

b22

c-ab2-ac..,

+〃=----+------<0,..b(zc-a)x+b/2-ac<0A,

22b

,/b=yc2-a1，\lc2-a2(c-a)+c2-a2-ac<0,

即>Jc2-a2(c-a)<a2+ac-c2,

两边同时除以“，得“2-l(e-I)<l+e-/,

两边平方后化简得/<2,且l+e-/>0,解得匕更<e<立,

2

又e>1,/.l<e<V2.

故选：A.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中有

多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)

9.下列各式正确的是()

A.(sin—Y=cos—B.(cosx)=sinx

33

C.(sinx/=cosxD.(x-5/=-5x~6

【答案】：CD

【解析】对于A,(sin为=0,选项错误；

3

对于8，(cosx/=-sinx,选项错误；

对于C,(sinx)'=cosx,选项正确；

对于。，(x-5y=-5x-6,选项正确；

故选：CD.

10.已知点P是直线/:x+y=4上的一点，过点P作圆O:Y+y2=2的切线，切点分别为4、

B,连接。4,OB,则（）

A.若直线A8〃/,则|AB|=#

B.二的最小值为4a-6

PAPB

C.直线43过定点（2，

D.点O到直线AB距离的最大值为注

2

【答案】ACD

【解析】：设点P（Xo，%），则/+%-4=0,设切点A（X[,y）,B（X2,%），

易知点A,O，B,P四点共圆，圆心为OP中点侍争，半径为「=且三

故点力，O,B,P四点所在圆的方程为：。一£）2+（丫一£）2=宅区

与圆O:d+,2=2的方程联立得：xQx+yoy=2,

所以直线4?的方程为：x（/+为y=2,即：”一空+工，

%为

对于A选项，当直线AB/〃时，-区=-1,

%

再结合为+%-4=0解得飞=%=2,此时直线AB的方程为：x+y=l,

*，故|AB|=2,2-g=后

圆心O到直线A8的距离为：＜==故A选项正确;

72

对于3选项，雨・方=（%-玉）,乂-%＞（9-一%）

=痞一而（再+W）+片+%%-%（%+%）+N：，

将直线%x+为y=2与圆O:V+丁=2方程联立得：

（片+4）＞2-4%＞+4-2片=0,（x：+y：）x2_4xM+4-2y；=0,

g、i4yo4-2x）4%4-2^3

所以y,+y2=-T—|必一T>玉+x?=-------,x,x2='r^：-

%+y（）〜）+%/+y0/+%

所以A*粉一3+引言一言+8

+*+y：_6,

4+y：

2

由于x；+N；=XQ+（4—X（））“=2XQ—8x（）+16=2（玉）-2）+8..8>2>/2,

故直线过定点（1一）.故C选项正确;

22

对于D选项，因为其+苏=片+(4—x°)-=2x()—8x0+16=2(x0—2)'+8..8>

所以点O到直线43的距离为：d=[2“2=正,故。选项正确.

府荷瓜2

故选：ACD.

11.设等差数列｛”,｝的前〃项和为S“，公差为d.已知弓=12,512<0,ah>0,贝U（

)

A.a7<0

B.数列是递减数列

C.S,,>0时，”的最大值为11

D.数列]中最小项为第7项

【答案】：ACD

【解析】几=12("|；42)=6(4+%)<0,a6+a7<0,乂>0，药<0,A对;

由A的分析可知，当烧上6时4>0,当|〃..7时凡<0,可知等差数列｛a,,｝为递减数列，当

啜如6时，数列｛,｝为递增数列，二台错；

第="回+%)=11%>(),又Sn<0,，C对；

ne[l,11]时S.>0,ne[12,+00)时，5„<0)6]lJ[12,+oo)时，—>0,

当〃e[7,11]时，与<0、a“<0且递减、S“为正数且递减，&最小.对.

叫

故选：ACD.

12.双曲线C的左右顶点为A，A，左右焦点为《，F2,O为原点，OO是A4为直径的

圆.A是渐近线上第一象限的点，下列条件中，可以得到C的离心率e=2的是()

A.以线段片行为直径的圆的面积等于OO面积的两倍

B.过心作OO的切线，两切线的斜率之积等于

C.ZAOFt=l20°

D.巴关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上

【答案】：BCD

【解析】对于A：若以线段耳鸟为直件的圆的面积等于0O面积的两倍,

则7r-c2=2^-a2,即<?=2a2,

所以e=£=0,故A错误；

a

对于5：若过写作的切线，两切线的斜率之积等于-：，

设其中一条切线的倾斜角为6,另一条切线的倾斜角为180。-6,

所以tan。♦tan（180°-夕）=-g,

所以一tan?8=-'，

3

则tan。=——，

3

所以其中•条切线的方程为y=等(x-c),

,V3.

所以圆心O到这条切线的距离为-=^=—=CI»

所以e=£=2,故B正确；

a

对于C：若4404二120。，贝lj4406=60。，

所其中一条渐近线的斜率2=tan60。，即？=g,

aa

所以《=3,

a

所以±^=3,

所以《=4,

a

所以离心率e=£=2,故C正确；

a

对于D:5关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上,

设渐近线/,的倾斜角为0,则渐近线12的倾斜角为20，

所以tan。=2,tan20=-—,

aa

2tan。

所以tan26=

1-tan20

2?

所以-2=_

。1-（外

a

所以，一3,

c-?-ar2

所以丁=o3,

所以。2一。2=3笳，

所以《=4,

a

所以离心率为e=£=2,故O正确.

a

故选：BCD.

第II卷

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分)

13.若｛万，b,C｝是空间的一个基底，且存在实数x,y,z,使得x4+yb+z^=0,则x,

y,z满足的条件是—.

【答案】：x=y=z=0

【解析】因为m，b＜可是空间的一个基底，所以1，b,5为非零向量且两两不共面.

若xwO，则。=-｝5-三所以2能用氏d表示，则4，b,土共面，与题意矛盾.

xx

故假设不成立，即X=O.同理)，=0,z=0.

故答案为：x-y=z=0.

14.设%eR,过定点A的动直线x+my+2=0和过定点8的动直线尔-丫一〃?+4=0交于

点P(x,y),则IPAI+IP3I的最大值是.

【答案】：5也

【解析】由题意可得，动直线x+四，+2=0过定点4-2,0),

直线mx-y—m+4=0可化为(x-l)/n+4-y=0.斜率k=m,

令[:T=:,解得3(1,4),

[4-y=0

又1x机+机x(-1)=0,

故两条直线垂直，交点为P，所以|P4F+|P3|2=|A3|2=25,

由基本不等式可得2.5=|PA\2+|PB|2=（|PA|+|PB|）2-2|PA\\PB\

.•"川+|阳『-2（侬产）2=g（如㈤阳R

所以(|PA|+|PB|)2“50,解得|PA|+|PB|”5夜,

当且仅当|PARP81时取等号，

所以|PA|+|P8|的最大值为5忘.

15.己知S,,是等比数列｛4｝的前几项和，|%|>|。“|，/=-2,$3=3，则

|6\+\a2\+...+\an\=•

【答案】：2"-1

【解析1|因为/=—2,S3=3,,|a„+l|>|a„|,

%q=-2

所以(4(1-T)_Q,且|q|>l,

,i-q

c_]q=4

解得'或1(舍)，

[Q=-2k=--

则｛Ia,,|｝为等边数列，公比为2,首项|4|=1,

1-2W

故|q|+&|+…+1|=-——=2n-1.

1—2

故答案为：2"-l.

16.设函数f(x)=-L-图象上任意一点处的切线为《，总存在函数图象

ex+1

g(x)=asinx+x(4>0)上一点处的切线4，使得/"〃2，则实数。的最小值为.

【答案】：-

4

【解析】•/f(x)=——

ex+1

/“)=——=—\——

G+D7+2

・“+32,+8),。).

而g(x)=〃sinx+x，g'(x)=l+acosx£[l-a，1+a]，

要使题意成立,

则有1-4,-■!■且1+a.O,

4

解得a..2,

4

，实数。的最小值为工

4

故答案为：

4

四、解答题(本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤)

17.AABC的三个顶点的坐标分别为A(5,l)、8(7,-3)、C(2,-8),记AABC的外接圆为圆E.

(1)求圆£的方程；

(2)若直线4x+3y+2,〃=0被圆E截得的弦长为8,求实数加的值.

【解答】解：(1)设所求圆的方程是(x-a)2+(y-〃)2=/,

(5-4+(1-6)2=/

所以由题意得,(7-a)2+(-3-6)2=/，

(2-a)2+(-8-/?)=r

a=2

解得,。—3.

尸=25

所以圆E的方程为(X—2)2+(y+3f=25；

(2)设圆E的圆心到直线4x+3y+2机=0的距离为d,

则，」819+2”|_|2k1|

T？TT75

由弦长为8知"二占-不=3,

所以乜"二0=3,

5

解得，〃=8或m=-7.

18.在空间中

(/)已知三点A(l,1,1)、3(2,2,2)、C(3,2,4),求AA8C的面积;

(II)己知向量d=(2,-1,3),6=(-1,4,-2),C=(7,5,2),若向量2,b,E共

面，求实数2之值.

【解答】解:(/)•.•三点A(l,1,1)、8(2,2,2)、C(3,2,4),

AB=(\,1,1),AC=(2,1,3),

ABAC=2+\+3=6,\AB\=^,\AC|=y/22+\2+32=V14.

而•而6R

z.cosA=

\AB\\AC\~>/3X4\4~7

sinA='Jl-cos2A=—.

7

.•.AABC的面积S=1|A^ll前|sinA=」xGx>/i^x^=^.

2272

(II)•.♦向量万，b,一共面,

，存在唯一一对实数/w,〃使得5=/成+R?,

/.(7,5,2)=m(2»-1,3)+〃(-1,4,-2)=(2m-n,一zn+4〃，3m-2n)>

33

m=—

2m—n—17

17

-m+4〃=5,解得《n=一

*/7

3m-2n=A

.65

2=—

7

以已知双曲线=…）的离心率为限抛物线O：L>。）的焦

点为尸，准线为/,直线/交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，方的面积为3.

（1）求双曲线C的渐近线方程;

（2）求抛物线。的方程.

【解答】解：（1）由题意，双曲线C：W—£=1的离心率为典,

ab-3

可得e=£=Jl+（2）2=叵,解得2=1可得0=3,

a\a3a3b

所以C的渐近线方程为y=±3x.

（2）山抛物线。：y2=2px,可得其准线方程为=

代入渐近线方程得M（—-当）,N（-当），所以|MN|=3p,

贝S&UFN=；x3px0=3,解得p=◎,

所以曲线。的方程为丁=2缶.

20.已知等比数列公比q>0,4+2=%+2/，5为％,%的等差中项

(1)求数列他“｝的通项；

(2)若Z?,,=log?a“，且a也“+«A,_2+…+4“々=12-2m，求，〃的值

【解答】解:(1)•.•等比数列口｝，公比g>0,*=*+2%5为勾，%的等差中项，

%R0

2

"anq=anq+2an,解得4=2,q=2,

2

a｝+atq=10

an=2".

⑵bn=\og2an=log22"=n,

令T=g+a力“I+03bll+…+ambt=12-2rn,

则T=2xm+22x(■-1)+…+2"x(m-&+l)+~+2""ixl,

27=22xm+23x(m-l)+...+2"+'X(，〃-Z+1)+...+2"'Mxl’

相减，得：T=-2xm+22+...+2k+...+2"'+2'"+,=2m+2-2m-4=12-2m,

解得帆=2.

21.如图，在三棱柱A8C-A8C中，AB=BC=2,AC=2叵,Ng8C=60。，四边形AB4A

为正方形，E、尸分别为8c与AG的中点.

(1)求证：EF//平面A84A；

(2)求直线跖与平面ACGA所成角的正弦值.

【解答】（1）证明：取回的中点G,连接EG,Afi,

因为£，F分别为BC，的中点，所以EG//AC/M.F，且EG=gAC=；AP，

所以四边形AGE尸为平行四边形，故EF//AG,

因为A,Gu平面ABS,A,,EF仁平面ABB.A,,

所以所//平面A80A；

(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，

因为4?=BC=2，AC=2五,所以AC?=43?+BC-所以AB_LBC,

因为四边形48MA为正方形，所以

又因为BB「BC=B,所以ABJL平面BCCtBt.

因为NgBC=60。，所以题•=月瓦=(1,0,JJ)，AC=(2,-2,0),

EF=EC+CC[+CtF=^BC+BB^+-CA=(1,0