11.2+平面的基本事实与推论+课件-【基础夯实与拓展提升】高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

新授课课时10

平面的基本事实与推论1.了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论.2.能运用平面基本事实与推论解决相关问题.目标一：了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论.任务1：通过观察实例，思考问题，体会平面的基本事实.问题1：观察如图的凳子，把凳子看成一个平面，思考：(1)如果把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点？三个点无数个、无数个.(2)有多少个平面能通过空间中指定的一点？有多少平面能通过空间中指定的两点？平面基本事实1：文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α图形表示：新知讲解即“不共线的3点确定一个平面”.注：(1)“有且只有一个”的含义：“有”说明对象存在；“只有一个”说明对象是唯一的.(2)过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.作用：①确定平面的依据；

②判定点、线共面.问题2：如图，是一长排挂钩，在墙上钉这个挂钩时，我们只需钉几个钉子？由此，思考直线上至少已知几个点在某平面内时，就能确保直线在该平面内？新知讲解平面基本事实2：文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.符号表示：A∈α，B∈α⇒AB⊂α；图形表示：注意：直线和平面是数学上的概念，具有较强的抽象性，直线是没有粗细，无限延伸的，平面是没有厚度，无限延伸的.作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面.例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上.问题3：当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的.(1)裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？(2)两个平面相交时，公共点具有什么特点？(1)直线；(2)共线.平面基本事实3：文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图形表示：新知讲解注：(1)基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图(1)所示，有

；(2)在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些，如图(2)所示.作用：①判定两个平面是否相交；②判定多点共线、多线共点.练一练下列命题正确的是(

)A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面C任务2：根据平面的基本事实，探究平面的其他性质.推论1：文字表示：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面，可以简记为：“直线与直线外一点确定一个平面”.符号表示：A∉l⇒存在唯一的平面α，使A∈α，且l⊂α图形表示：新知讲解推论2：文字表示：经过两条相交直线，有且只有一个平面，可以简记为：“两相交直线确定一个平面”.符号表示：l∩m＝A⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α.图形表示：注：三角形是平面图形，因此三角形的性质及解三角形等结论可以在空间中继续应用.推论3：文字表示：经过两条平行直线，有且只有一个平面，可以简记为：“两条平行直线确定一个平面”.符号表示：l∥m⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α.图形表示：注：平行四边形，梯形是平面图形，因此平行四边形，梯形的性质及判定等结论在空间中仍然成立.思考：如何利用平面基本事实证明以上3个推论？推论1的证明：如图1所示，在直线l上取两点A，B，因为C∉l，所以A，B，C3点不共线.由基本事实1可知，A，B，C确定一个平面，记为α.由基本事实2以及A∈α，B∈α可知l⊂α.图1推论2的证明：推论3的证明：如图2所示直线BC和直线AC相交与C.由基本事实1可知A，B，C确定一个平面，记为α，由基本事实2以及A∈α,C∈α,可得直线AC⊂α，同理直线BC⊂α，如图3所示，已知两条平行线中一条直线上的点A和另一条直线上的点B，C.根据直线平行的定义，这两条平行线在同一平面内，又因为这个平面含有不共线的三点A，B，C，由平面的基本事实1可知，这个平面是确定的.图2图3练一练用符号表示下列语句，并画出图形.(1)点A在平面α内但在平面β外；(2)直线a经过平面α内一点A，α外一点B；(3)直线a在平面α内，也在平面β内；解：(1)

(如图①)；(2)

(如图②)(3)

α∩β＝a(如图③)目标二：能运用平面基本事实与推论解决相关问题.任务：运用所学知识解决下列证明问题.问题1：证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内.法1：证明：设直线AB，BC，AC两两相交，交点分别是A，B，C.

显然，A，B，C3点不共线，因此它们能确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，那么直线AB⊂α.同理AC⊂α，BC⊂α.即直线AB，BC，AC都在平面α内.法2：设直线AB，BC，AC两两相交，交点、分别为A，B，C因为AB∩AC=A，所以AB，AC确定一个平面α因为AB∩BC=B，所以AB，BC确定一个平面β因为A∈AB，AB⊂α，所以A∈α因为A∈AB，AB⊂β，所以A∈β同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线三点A，B，C既在平面α内，又在平面β内平面α和β重合，即AB，BC，AC都在同一平面内.证明点、线共面的常用方法：(1)“纳入法”：先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内；(2)“同一法”：先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合；(3)“反证法”：假设不共面，结合题设推出矛盾.归纳总结问题2：如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的一点，试说明D1，A，E3点确定的平面与平面ABCD相交，并画出这两个平面的交线.解：因为A∈面D1AE，A∈面ABCD，所以面D1AE∩ABCD≠∅，即面D1AE与面ABCD相交.延长D1E与DC，设它们相交于F，如图所示，则：F∈直线D1E，直线D1E⊂面D1AE，F∈直线DC，直线DC⊂面ABCD，则F∈面D1AE∩面ABCD，从而AF为面D1AE与面ABCD的交线，如图所示.归纳总结确定两平面交线的方法：画两个平面的交线只需两个公共点即可确定，作图时应充分利用几何体本身提供的线面、面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置.另外，画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，转化为画两个平面的交线问题.如图，已知E，F，G