初中数学培优竞赛的讲座第18讲-乘法公式

./第十八讲乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上,将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论,在复杂的数值计算,代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用,在学习乘法公式时,应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式；2．根据待求式的特点,模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解,灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式．例题[例1]<1>已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是．<XX省竞赛题><2>已知<2000一a><1998一a>=1999,那么<2000一a>2+<1998一a>2=．<XX市竞赛题>思路点拨<1>建立两个连续奇数的方程组；<2>视<2000一a>·<1998一a>为整体,由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式,通过推导,得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手,并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律,而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．乘法公式常用的变形有：<1>,．<2>；<3>；〔4,[例2]若x是不为0的有理数,已知,,则M与N的大小是〔A．M>NB．M<NC．M=ND．无法确定思路点拨运用乘法公式,在化简M、N的基础上,作差比较它们的大小．[例3]计算：<1>6<7十1><72十1><74十1><78十1>+1；<天津市竞赛题><2>1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．<XX省竞赛题>思路点拨若按部就班计算,显然较繁．能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于<2>,由于数字之间有联系,可用字母表示数<称为换元>,将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征．[例4]<1>已知x、y满足x2十y2十＝2x十y,求代数式的值．<"希望杯"邀请赛试题><2>整数x,y满足不等式,求x+y的值．<第14届"希望杯"邀请赛试题><3>同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b,乙商场：两次提价的百分率都是<a>0,b>o>,丙商场：第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,则哪个商场提价最多?说明理由．<XX省竞赛题>思路点拔对于<1>,<2>两个未知数一个等式或不等式,须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组；对于<3>把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小．注：有些问题常常不能直接使用公式,而需要创造条件,使之符合乘法公式的特点,才能使用公式．常见的方法是：分组、结合,拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：<1>；揭示式子的非负性,利用非负数及其性质解题．<2>应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：由繁到简,从一边推向另一边；<2>相向而行,寻找代换的等量．[例5]已知a、b、c均为正整数,且满足,又a为质数．证明：<1>b与c两数必为一奇一偶；<2>2<a+b+1>是完全平方数．思路点拨从的变形入手；,运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观察下列各式：<x一1><x+1>＝x2一l；<x一1><x2+x+1>=x3一1；<x一1><x3十x2+x+1>=x4一1．根据前面的规律可得<x一1><xn+xn-1+…+x+1>=．<XX市中考题>2．已知,则=．<XX市中考题>3．计算：<1>1.23452+0.76552+2.469×0.7655：；<2>19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992=；<3>．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式．<大原市中考题>5．已知,则=．<XX市中考题>6．已知,则代数式的值为<>．A．一15B．一2C．一6D．6<XX市中考题>7．乘积等于<>．A．B．C．D．<XX市竞赛题>8．若,则的值是<>．A．4B．20022C．22002D．420029．若,则的个位数字是<>．A．1B．3C．5D．710．如图①,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形<a>b>,把余下的部分剪拼成一个矩形<如图②>,通过计算两个图形<阴影部分>的面积,验证了一个等式,则这个等式是<>．A．B．C．D．<XX省中考题>11．<1>设x+2z＝3z,判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值,求出它的值；否则请说明理由．<2>已知x2一2x=2,将下式先化简,再求值：<x—1>2+<x+3><x一3>+<x一3><x一1>．<上海市中考题>12．一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数．13．观察：……<1>请写出一个具有普遍性的结论,并给出证明；<2>根据<1>,计算2000×2001×2002×2003+1的结果<用一个最简式子表示>．<黄冈市竞赛题>14．你能很快算出19952吗?为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5<n为自然数>,即求<10n+5>2的值,试分析n=1,n=2,n＝3……这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论．<1>通过计算,探索规律．152225可写成100×1×<1+1>+25；252=625可写成100×2×<2+1>+25；352=1225可写成100×3×<3+1>+25；452＝2025可写成100×4×<4+1>+25；……752＝5625可写成；852＝7225可写成．<2>从第<1>题的结果,归纳、猜想得<10n+5>2=．<3>根据上面的归纳猜想,请算出19952＝．<XX省XX市中者题>15．已知,则=．<天津市选拔赛试题>16．<1>若x+y＝10,x3+y3=100,则x2+y2＝．<2>若a-b=3,则a3-b3-9ab＝．17．1,2,3,……,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是．<初中数学联赛>18．已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=<>．A．4B．0C．2D．一219．方程x2-y2=1991,共有<>组整数解．A．6B．7C．8D．920．已知a、b满足等式,则x、y的大小关系是<>．A．x≤yB．x≥yC．x<yD．x>y<大原市竞赛题>21．已知a=1999x+2000,b＝1999x+2001,c＝1999x+2002,则多项式a2+b2+c2一ab—bc-ac的值为<>．A．0B．1C．2D．3<全国初中数学竞赛题>22．设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值．<XX市竞赛题>23．已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式的值．<XX省竞赛题>24．若,且,求证：．<北京市竞赛题>25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛<每两人间均赛一场>,用xl,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数；……；用x10、y10顺次表示十号选手胜与负的场数．求证：．26．〔1请观察：写出表示一般规律的等式,并加以证明．<2>26＝52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32．任意挑选另外两个类似26、53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道