空间向量的数乘运算教学设计

3.1.2空间向量的数乘运算（一）

教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；

掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题.

教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式.

教学过程：

一、复习引入

1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量B与非零向量2是否共

线？

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同

一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量.

向量B与非零向量,共线的充要条件是有且只有一个实数A,使限称平面向量

共线定理，

二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，

则这些向量叫做共线向量或平行向量.5平行于各记作

2.关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量1、b（在WO）,五〃B的充要条件是存在实数4，

使2=Ab.

理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若。〃不（MWO）,则有9=25,

其中；I是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数2,使5（5W0）,则有

a//b（若用此结论判断方、B所在直线平行，还需力（或B）上有一点不在否（或G）

上）.

⑵对于确定的4和5=2M表示空间与5平行或共线，长度为当丸＞0时

与五同向，当丸＜0时与五反向的所有向量.

3.推论:如果1为经过已知点4且平行于已知非零向量五的直线,那么对于任意一点0,

点尸在直线］上的充要条件是存在实数£满足等式OP=OA+rG.《

其中向量,叫做直线/的方向向量.「弋、

推论证明如下：\r\\

,/l//a,：.对于1上任意一点P,存在唯一的实数t,使得\X

AP=ta.(*)

又,:对于空间任意一点0,有AP=OP-0A,

二OP-OA-ra,OP=OA+ta.①

若在/上取48=则有OP=OA+fA3.(**)

XVAB=OB-OA：.OP=OA+t(OB-OA)=(i-t)OA+tOB.②

当f=1时，。/>=,（。4+。8）.③

22

理解：⑴表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公

式.事实上，表达式（*）和（**）既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形

式.

⑵表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式.

⑶推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定.

空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同,

是平面向量相关知识的推广.

4.出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形

是平行四边形.（分析：如何用向量方法来证明？）

5.出示例2：如图。是空间任意一点，C、〃是线段4?的三等分点，分别用04、OB表

示0C、0D.

三、巩固练习：作业：

3.1.2空间向量的数乘运算（二）

教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；

理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几

中有关的简单问题.

教学重点：点在已知平面内的充要条件.

教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用.

教学过程：

一、复习引入

1.空间向量的有关知识一一共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间

直线的向量表示式、中点公式.

2.必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理一一平面向量基本定理：如果3、金

是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a,有且只有一对

实数小、42,使a=九8+九包.其中不共线向量良、&叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底.

二、新课讲授

1.定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面。平行或在平面a内，

则称向量a平行于平面a,记作a//a.

向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平a

行时两者是没有公共点的.

2.定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量.共面向量不一定是/\\

在同一平面内的，但可以平移到同一平面内.°二

3.讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明.

结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量.例如：对于空间四边形/比〃AB、

AC、A。这三个向量就不是共面向量.

4.讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？//^7，

5.得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向/一/

量a、，共面的充要条件是存在实数对x,y,使得p=xa+yb.l/

证明：必要性：由己知，两个向量a、6不共线.

:向量p与向量a、b共面

二由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x,y,使得尸xa+y力.

充分性：如图，；xa,分别与a、b共线，xa,都在a、6确定的平面内.

又•••xa+yb是以IxaI、Iyb\为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,

并且此平行四边形在a、力确定的平面内，

p=xa+yb在a、力确定的平面内，即向量p与向量a、b共面.

说明：当p、a、6都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、力所在的三条直

线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所

确定的平面内.

6.共面向量定理的推论是：空间一点2在平面场3内的充要条件是存在有序实数对必

力使得MP=xMA+yM8，①或对于空间任意一定点。，有OP=0M+xMA+yMB.②

分析：⑴推论中的X、y是唯一的一对有序实数；⑵由OP=OM+xMA+yMB得:

OP=OM+x(OA-OM)+y(OB-OM),OP=(\-x-y)OM+xOA+yOB③

公式①②③都是只以A、6四点共面的充要条件.

7.例题：课本痣例1,解略.

小结：向量方法证明四点共面

三、巩固练习

1.练习：课本国练习3题.

2.作业：课本国练习2题.

向量的数量积(2)

一、教学目标：①向量的数量积运算

②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角

二、教学重点：①向量的数量积运算

②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角

三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法

四、教学过程：

考点一：向量的数量积运算

(一)、知识要点：

1)定义：①设<〃*>=氏贝1」。乃=(。的范围为)

②设a=(X],y),/?=(马,必)则=。

注：①不能写成"，或axb②aS的结果为一个数值。

2)投影：〃在a方向上的投影为。

3)向量数量积运算律：

®a>b=b*a(2)(Aa)*b=Z(a.Z?)=«.(AZ?)(3)(a+Z?).c=a*c+b-c

注：①没有结合律(aM.c=a.(O.c)

(-)例题讲练

1、下列命题：①若。3=0,则a,b中至少一个为0②若a不0且=,则人=c

③(a>b)*c=a.(/?.c)(4)(3a+20)・(3a-2b)=9-4|/?|

中正确有个数为()

A.0个B.1个C.2个D.3个

2、已知MBC中，A,B,C所对的边为a,b,c,且a=3,b=l,C=30°,则

BC»CA=o

3、若a,b,c满足a+h+c=Q,且|a|=3,|/?|=l,|c|=4,则

a>b+b»c+a»c=。

4,已知忖=什=2,且。与人的夹角为则在。上的投影为。

考点二：向量数量积性质应用

(一)、知识要点：

®a±boa.b^0(用于判定垂直问题)

②W=77(用于求模运算问题)

③cos8=*(用于求角运算问题)

HW

（二）例题讲练

1、已知忖=2,W=3,且。与〃的夹角为c-3a+2b,d-ma-b,求当m为

何值时

2、已知忖=1,W=1,Ra-20=3,则|3a+q=。

3、已知”和方是非零向量，且,卜卜卜卜-q，求。与a+8的夹角

4、已知忖=4,1|=2,且。和b不共线，求使a+4b与a-4b的夹角是锐角时4的

取值范围

巩固练习

1、已知G和是两个单位向量，夹角为（，则（,一色）・（-3q+2e2）等于（）

A.-8B.-C.--D.8

22

2、已知e；和e；是两个单位向量，夹角为（，则下面向量中与2e2-e；垂直的是（）

A.q+GB.ei-e2C.elD.e2

3、在A48C中，设诟=a,~BC=b

9CA=cf若a(a+b)vO,则AA3C()

（A）直角三角形（8）锐角三角形（C）钝角三角形（。）无法判定

4、已知。和6是非零向量，且4+36与7a-5。垂直，。-4沙与7a-2Z?垂直，求。与b的

夹角。

5、已知。4、0B、。。是非零的单位向量，且。4+。8+。。=0,求证：

MBC为正三角形。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的

坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直.

教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算.

教学难点：理解空间向量基本定理.

教学过程：

一、新课引入

1.回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算，

2.复习：平面向量基本定理.

二、讲授新课

1.类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a,均可分解为不共线的两个

向量4%和A2a2，使a=44+/12a2•如果《,出时，这种分解就是平面向量的正交分解.

如果取4,生为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量H，则存在一对实数X、必

使得a=+,即得到平面向量的坐标表示a=(x,y).

推广到空间向量，结论会如何呢？

⑴空间向量的正交分解：对空间的任意向量a,均可分解为不共面的三个向量44、

4%、4%，使+44+4%.如果4M2,七两两垂直，这种分解就是空间向量的

正交分解.

⑵空间向量基本定理：如果三个向量a,6,C不共面，那么对空间任一z

向量P，存在有序实数组｛x,y,z｝,使得p=xa+yA+zc.把｛“,/?©叫k

做空间的一个基底(base),“也c都叫做基向量.-----才*

2.单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长/：

度都为1,则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛?,，〃｝表示.：

单位---三个基向量的长度都为1;正交----三个基向量互相垂直.।

选取空间一点。和一个单位正交基底｛了,工公，以点。为原点，，

分别以£j；4的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，.

得到空间直角坐标系O-xyz,

3.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a,且设

i、j、A为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(%外,%)，使@=6了+电/+%女.

空间中相等的向量其坐标是相同的.一讨论：向量坐标与点的坐

标的关系？

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设,B(x2,y2,z2),

则AB=OB—OA=(x,,y2,z2)—(%,凹,马)=(再-xx,y2-yx,z2-zx).

4.向量的直角坐标运算：设a=(4吗,。3)，6=(伪也也)，则

(Da+D=(4+i>|,a2+b2,a3+b3);(2)a-b=(q-bt,a2-b2,Oy-b3)；

(3):a=(Vq,/4,1%)(&wR)；(4)a•b=afy+ciib-,+

证明方法：与平面向量一样，将&=4升生尸。*和8=。>+8工/女代入即可・

5.两个向量共线或垂直的判定：设a=(qg,a3)，6=(4也也)，则

a}_a2_ay

(l)a//b=a=4b=at=Aht,a2=Ab2,a3-Aby,(2eR)o

“b24

(2)a_L6=a•ZFO<=>atbt+a2b2+a3b3=0.

6.练习:已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+8,a-b,8a,a,b.解：略.

7.出示例：课本外例4.(解略)

三、巩固练习作业：课本为练习2、3题.

3.L5空间向量运算的坐标表示(夹角和距离公式)

教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并

会用这些公式解决有关问题.

教学重点：夹角公式、距离公式.

教学难点：夹角公式、距离公式的应用.

教学过程：

一、复习引入

1.向量的直角坐标运算法则:设a=(4|M2，a3)，6=(4也也),则

(l)a+Z>=(4+bt,a2+b2,a^+h3);(2)a-b=(a,-bt,a2-b2,Oy-b3);

(3)Aa=(Ae/?);(4)a,b=afy+a2b2+

上述运算法则怎样证明呢？(将a=41+%J+%k和b=々1+b2j+b.k代入即可)

2.怎样求一个空间向量的坐标呢？(表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点

的坐标.)

二、新课讲授

L向量的模：设a=(6,4,生)，力=(伪也也)，求这两个向量的模.

IaI=荷+W+d,|^|=枢+&+&.这两个式子我们称为向量的长度公式.

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.

2.夹角公式推导：a•2>=|a\b\cos<a,b>

6,+电a+生也=J4；+W+d.Jb；+b；+b；*cos<a,b>

由此可以得出：cos<a,b>=/岫+a力2r3b3

击;+—+-西+♦+■

这个公式成为两个向量的夹角公式.利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，

并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cosVa、b>=l时，a与，同向；当cosVa、b>=—1时，a与b反向；

当cosVa、b>=0时，a±b.

3.两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(X[,y，4),B(x2,y2,z2),贝lj

222

R=7(x2-^)+(yi-y2)+(z,-z2),其中〃3表示4与6两点间的距离.

3.练习：已知力(3,3,1)、6(1,0,5),求：⑴线段"的中点坐标和长度；⑵到4B

两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、八z满足的条件.

（答案：（2,1,3）；V29；4x+6y—8z+7=0）

说明：⑴中点坐标公式：。加4。4+西=（詈，号,坐）;

⑵中点0的轨迹是线段力8的垂直平分平面.在空间中，关于X、八z的三元一

次方程的图形是平面.

4.出示例5：如图，在正方体ABC。-A4GA中，BE1=DE=等，

求BE,与。片所成的角的余弦值.

分析：如何建系？-*点的坐标？-*如何用向量运算求夹

角？~变式：课本“例6

5.用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.

三.巩固练习

作业：课本品练习3题.

3.2立体几何中的向量方法(一)

教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法，

并能解简单的立体几何问题.

教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用.

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用.

教学过程：

一、复习引入

1.用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条

件(如线段、角度等)转化为向量表示；⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他

已知向量表式；⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？

2.通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？

⑴利用定义a•6=|bcosVa,或cos<a,b>=,可求两个向量的数量积

\a\'\b\

或夹角问题；

⑵利用性质b=0可以解决线段或直线的垂直问题；

⑶利用性质a=lai2,可以解决线段的长或两点间的距离问题.

二、例题讲解

1.出示例1：已知空间四边形如/中，OAYBC,OBVAC.求证：OCJ-AB.

证明：OCAB=OC(O8-OA)=OCOB-OCOA.八。

VOA±BC,OB1AC,：.OABC-0,OBAC=0,/\

OA\OC-OB)=0,OB(OC-OA)=0.A4/\c

：.OAOC=OAOB,OBOC=OBOA.

B

：.OCOB=OCOA,OCAB=0./.OCVAB

练习：教材P105例1及P106思考题C\o

分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？yJ0

2.出示例2：如图，已知线段在平面a内，线段ACLa,4

线段SAL48,线段£>Z7_La,NDBD，=3G,如果AC=BD=b,求。、〃间的距离.

解：由AC_La,可知AC_LAfi.

由可知，<C4,BO>=120,

/.|CD|2=(CA+AB+BD)2=\CA^+\AB|2+|BD|2+2{CAAB+CABD+ABBD)

=b2+a2+b2+2b2cosi20=a2+b2.

/.CD=y/a2+b2.

练习：教材P106例2及其107思考题

分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？

说明:此方法也是用向量法求二面角的一种有效方法，应引起注意。

3.出示例3：如图，K川分别是棱长为1的正方体43co的棱88,、夕。的

中点.求异面直线助V与C。所成的角.

解：*/MN=1(CC+BC),CD'=CC+CD,

MNCD'=-(CC+BC)•(CC'+CD)=-(|CC|2+CC'.CD+BCCC'+BCCD).

22

VCC'ICD,CC'A.BC,BCLCD,：.CC'.CD=0,8c.ec'=0,BCCD-0,

MN-CD'=-|CC|2=-.…求得cosVMN,C£>'>=』，：.<MN,CD'>=60.

222

4.小结：.

(1)向量法解题“三步曲”：①化为向量问题一②进行向量运算一③回到图形问题.

(2)利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量

表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明

三、巩固练习作业：课本凡17练习1、2题.

3.2立体几何中的向量方法(二)

教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法，

并能解简单的立体几何问题.

教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用.

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用.

教学过程：

一、复习引入

讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？

(1)通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；

(2)通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解

决问题.

二、例题讲解1

1.出示例1:如图，在正方体ABCD-AgCQ中，E、尸分别是3与、

CD的中点，求证：0尸_L平面ADE.。［七_

证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度，且设ZM=i,DC------%

=j,DDy=k.以？、j、4为坐标向量建立空间直角坐标系〃一xyz,则

VAD=(-1,0,0),D,F=(0,-1),/.AD•D,F=(-1,0,0)•(0,-,-1)=0,

22

DXFLAD.

又AE=(0,1,-),AE•DF=(0,1,-)•(0,-,-1)=0,/.D,F1.AE.

2{22

又ADAE=A,£)尸，平面/庞.

说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求

无关的一些数据，以使问题的解决简单化.如在立体几何中求角的大小、判定直线与直

线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度.⑵空间直角坐标些建立，可

以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的

特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明.

2.出示例2：课本47例3

分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？

3.出示例3：课本49例4

分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？

4.出示例4：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.

改写为：己知：直线力，平面a,直线被，平面a,0、6为垂足.求证：OA//BD.

证明：以点。为原点，以射线以为非负

角坐标系O-xyz,i,j,k为沿x轴，y轴，

且设3D=(x,y,z).

,：BDLa,：.BD±i,BDIj,

BD•i=(x,y,z),(1,0,0)=x=Q,BD

：.BD=(0,0,z).BD=zk.即BD//k.由已知0、8为两个不同的点，，OA//BD.

5.法向量定义：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面。，则称这个向量垂

直于平面明记作如果a,a,那么向量a叫做平面a的法向量.

6.小结：

向量法解题“三步曲”：(1)化为向量问题~(2)进行向量运算一(3)回到图形问

题.

三、巩固练习作业：课本凡h习题A组1、2题.

3.2立体几何中的向量方法(三)

教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法,

并能解简单的立体几何问题.

教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用.

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用.

教学过程：

一、复习引入

1.法向量定义：如果直线/_L平面取直线/的方向向量为“，则向量。叫作平面a的

法向量(normalvectors).利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.

2.讨论：如何利用法向量求线面角？一面面角？

直线与平面a所成的角可看成是向量AS所在直线与平面a的法向量；;所在

直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线

角，根据两个向量所成角的余弦公式cos(a,3=骼，我们可以得到如下向量法的公式:

I/\(lAB.nl

sin^=।cos\(AB,/?7)1=7\A——B\.j\-nj-\r-

3.讨论：如何利用向量求空间距离？

两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长.

点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.

二、例题讲解：

1.出示例1：长方体ABCO-A4G。中，A/)=AA]=2,AB=4,

E、厂分别是A。、48的中点，。是3G与耳C的交点.求直

线⑺与平面颇所成角的正弦.

解：以点〃为空间直角坐标系的原点，物、DC、OR为坐

标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则

。(2,2,0),£(1,0,2),尸(2,2,0),0(1,4,1),C(0,4,0).

设平面颂的法向量为n=(x,y,z),

nilf72±DE--.

则，[TnDE=(1,0,2),=(2,2,0).

n±DF

.n»DE=0[x+2z=0〃刀/日.

・・，即nn《,解得x:y:z=-2:2:l,・・n=(-2,2,1).

n.DF=O[2x+2y=0

*/n•OF=|n||OF\costz,而O/7=(1,—2,—1).

・ifOF—2x1+2x(-2)+1x(-1)7A/6

\n\^\OF\^/(-2)2+22+l.7l2+(-2)2+(-1)218

所以，直线如与平面颇所成角的正弦为捶.

18

2.变式：用向量法求：二面角A-OE-O余弦；如与庞的距离；。点到平面颂的距

离.

三、巩固练习

作业：课本凡八习题A组5、6题.

法向量在立体几何中的应用

向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向

量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既

丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的

思想方法一一向量法。下面就向量中的一种特殊向量一一法向量，结合近几年的高考题,

谈谈其在立体几何有关问题中的应用。

一、平面的法向量的定义

如果表示向量2的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量"垂直于平面a,

记作a_La,如果aj_a,那么向量a叫做平面a的法向量

二、平面的法向量的求法

1、在几何体中找平面的垂线对应的有向线段作为平面的法向量;

2、在空间直角坐标系中利用向量的坐标运算来求法向量。

问题：已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的

平面的一个法向量？_

在空间直角坐标系中，已知A(3,0,0),5(0,4,0),

C(0,0,2),试求平面ABC的一个法向量.

解:设平面ABC的一个法向=为〃=(x,y,z)

贝A5,〃_LAC.丁=(-3,4,0),AC=(-3,0,2)

.f(x,j,z)-(-3,4,0)=0f-3x+4j=0

••5即<

(x,y,z)・(—3,0,2)=0[—3x+2z=0

取x=4,则“=(4,3,6)

An=(4,3,6)是平面ABC的一个法向量.

问题:如何求平面的法向量？

(1股平面的法向量为n=(x,j,z)

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的

坐标。=3"”4)/=32也,。2)

⑶根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程

，一/I-a=0

组《

n-b=0

(4廨方程组,取其中的f解,即得法向

练习：在三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,

ZBAC=90°,AB=2,AC=PA=1,

求平面PBC的一个法向量。

写出平面ABC的一个法向量

三、利用平面的法向量求空间角

1、求直线和平面所成的角。

如图（图2）所示，设PA与平面a的

法向量〃所在直线所成的角为。，则PA与a所成的角丐一夕,

（其中cos。=|cos<PA,〃>|）

所以：设直线/,，〃的方向向量分别为平面a,小的法向量分别为

u,v,则..

直线/与平面a所成的角为。（owew［）,sine=fj；

2a\\u

例2.如图（图3）所示，在四棱锥P-ABCD