控制体的微分方程课件

控制体的微分方程符号的定义对于原本就是标量的量，当其所对应的物理量增加时取为正，减少时取为负。质量，能量等都是标量。对于矢量，在对坐标轴投影时，各坐标轴上的分量与坐标轴的方向一致时为正，反之为负。动量，力等都是矢量。例如矢量分解成和：坐标系中的自然定义：与坐标方向一致的，符号为“+”，否则为“—”。控制体中的人为定义：控制体中的诸物理量增加时，符号为“+”，否则为“—”。控制体产生率定义：控制体内随时间的物理量增量减去因控制面上的流动而引起的控制体物理量增量。对控制面上的流动必须同时考虑“进”和“出”两种情况。控制体的：质量产生率=?动量产生率=?能量产生率=?根据三大守恒原理：质量产生率=0动量产生率=F能量产生率=0自然语言数学语言关于质量（标量）：在控制体体积内部出现的质量净增量：由控制面上流动导致的质量净增量：X方向流进：流出：Y方向流进：流出：流进-流出：质量守恒原理：系统：在系统中不存在源或汇的条件下，系统的质量不随时间变化。控制体：质量产生率=0→控制体内质量随时间的变化率（净增量），与由控制面上的质量流动而导致的质量净增量相减后而共同形成的控制体的质量产生率等于零。即二者数值相等：关于动量（矢量）：以x方向为例进行讨论：在控制体体积内部出现的动量净增量：由控制面流动导致的动量净增量：正面流进:流出：侧面流进：流出：流进-流出：

体积内部的合力：控制面上的合力：正应力：：；

：切应力：：；

：X方向合力为：动量守恒原理：系统：系统的动量对时间的变化率，等于外界作用在该系统上的合力。即：控制体：动量产生率=F→控制体内动量的产生率（随时间的净增和随流动的净增相减后而产生），等于外界作用在该系统上的合力。即：关于能量（标量）：在控制体体积内部出现的能量净增量：由控制面导致的能量净增量：流进-流出（对流项）：体积力所作的功：控制面上的力所做的功：压力功：（已经包含在对流项中，不必计入）因为切应力功：体积热（热的源或汇）：控制面上的热：传导热（净增量）：

对流热（净增量）：已经在能量流中计及，不再重复。辐射热（净增量）：这里不考虑能量守恒原理：系统：单位时间内由外界传入系统的热量与外力对系统所作的功之和，等于该系统的总能量对时间的变化率。即：控制体：能量产生率=0→控制体内能量的产生率（净增量），包括外界作用在该系统上的合力所做的功与外界传入系统的热量，等于0。即：控制体的微分方程（物理量的数学描述）（X方向）从以上推导我们可以看出，可以用质量、动量、能量、力和热对控制体进行数学描述，但是它的整个运动规律的数学描述需建立在三大守恒原理的基础上，从而把各个单一的物理量组合起来形成微分方程。方程封闭性的讨论对控制体，在应用了三大守恒原理之后我们就可以写出有限数量的微分方程：一维是3个，二维是4个，三维是5个。因为质量能量都是标量，无论几维坐标都只能写出一个方程，而动量是矢量，方程数量随坐标轴数量变化。只有不相关的方程数量与未知量数量相等时，方程才是封闭的。连续性方程：

参量：以二维为例：动量方程:参量：能量方程

参量：非定常/粘性/体积力/内热源一维：参数：9个；方程：3个；要封闭求解应补充方程：6个二维：参数：13个；方程：4个；要封闭求解应补充方程：9个三维：参数：20个；方程：5个；要封闭求解应补充方程：15个非定常/粘性一维：参数：7个；方程：3个；应补充方程：4个二维：参数：10个；方程：4个；应补充方程：6个三维：参数：16个；方程：5个；应补充方程：9个定常/理想（无粘性）一维：参数：6个；方程：3个；应补充方程：3个二维：参数：8个；方程：4个；应补充方程：4个三维：参数：10个；方程：5个；应补充方程：5个本章小结写出控制体数学表述之前必须对物理量的符号进行定义：一种基于坐标系自然定义，一种是基于控制体的人为定义。如果不引入三大守恒原理，我们无法写出关于控制体的微分方程。由于系统和控制体之间的差别在于在边界面