2024届辽宁省阜新二中数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届辽宁省阜新二中数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，若，则是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．已知向量，，，且，则（）A． B． C． D．3．已知数列是等比数列，若，且公比，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．P是直线x+y+2=0上任意一点，点Q在圆x-22+yA．2 B．4-2 C．4+25．设,则()A． B．C． D．6．下列说法中正确的是(

)A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等7．有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m，m+1，m+2，则实数m的值为（）A．1 B． C．2 D．8．已知向量满足：，，，则（）A． B． C． D．9．一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为：A．100 B．80 C．60 D．4010．已知函数，若存在满足，且，则n的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设集合，它共有个二元子集，如、、等等．记这个二元子集为、、、、，设，定义，则_____．（结果用数字作答）12．数列满足：（且为常数），，当时，则数列的前项的和为________.13．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即的，其中分别为内角的对边.若，且则的面积的最大值为____．14．在《九章算术·商功》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biēnào），在如下图所示的鳖臑中，，，，则的直角顶点为______.15．从原点向直线作垂线，垂足为点，则的方程为_______.16．已知数列满足，若对任意都有，则实数的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，，且，.（1）求函数和的解析式；（2）求函数的递增区间；（3）若函数的最小值为，求λ值.18．已知数列为等差数列，是数列的前n项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．19．已知数列，.(1)记，证明:是等比数列；(2)当是奇数时，证明:；(3)证明:.20．如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到1°，参考数据：，）21．已知圆的半径是2，圆心为.（1）求圆的方程；（2）若点是圆上的动点，点在轴上，的最大值等于7，求点的坐标.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

首先根据降幂公式把等式右边降幂你，再根据把换成与的关系，进一步化简即可．【题目详解】，，,选A.【题目点拨】本题主要考查了二倍角，两角和与差的余弦等，需熟记两角和与差的正弦余弦等相关公式，以及特殊三角函数的值是解决本题的关键，属于基础题．2、C【解题分析】

由可得,代入求解可得,则,进而利用诱导公式求解即可【题目详解】由可得,即,所以,因为,所以,则,故选:C【题目点拨】本题考查垂直向量的应用,考查里利用诱导公式求三角函数值3、C【解题分析】

由可得，结合可得结果.【题目详解】，，，，，，故选C.【题目点拨】本题主要考查等比数列的通项公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.4、D【解题分析】

首先求出圆心到直线的距离与半径比较大小，得到直线与圆是相离的，根据圆上的点到直线的距离的最小值等于圆心到直线的距离减半径，求得结果.【题目详解】因为圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为d=2+0+2所以直线x+y+2=0与圆(x-2)2所以PQ的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，即PQmin故选D.【题目点拨】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，圆上的点到直线的距离的最小值问题，属于简单题目.5、C【解题分析】

函数，函数且，求出【题目详解】因为且且所以故选：C【题目点拨】本题考查的是与反三角函数有关的定义域问题，较简单.6、B【解题分析】试题分析：棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确；球的表面就不能展成平面图形，所以C不正确；棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确.考点：本小题主要考查空间几何体的性质.点评：解决此类问题的主要依据是空间几何体的性质，需要学生有较强的空间想象能力.7、B【解题分析】

由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值.【题目详解】在三角形中，由余弦定理得：，化简可得：，解得或（舍）.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题.8、D【解题分析】

首先根据题中条件求出与的数量积，然后求解即可.【题目详解】由题有，即，，所以.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了向量的模，属于基础题.9、A【解题分析】

根据分层抽样的方法，得到高三学生抽取的人数为，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为人，故选A．【题目点拨】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、D【解题分析】

根据正弦函数的性质，对任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，因此要使得满足条件的n最小，则尽量让更多的取值对应的点是最值点，然后再对应图象取值.【题目详解】，因为正弦函数对任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，要使n取得最小值，尽可能多让（i=1，2，3，…，n）取得最高点，因为，所以要使得满足条件的n最小，如图所示则需取，，，，，，即取，，，，，，即．故选：D【题目点拨】本题主要考查正弦函数的图象，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1835028【解题分析】

分别分析中二元子集中较大元素分别为、、、时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果.【题目详解】当二元子集较大的数为，则较小的数为；当二元子集较大的数为，则较小的数为、；当二元子集较大的数为，则较小的数为、、；当二元子集较大的数为，则较小的数为、、、、.由题意可得，令，得，上式下式得，化简得，因此，，故答案为：.【题目点拨】本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.12、【解题分析】

直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和.【题目详解】数列满足：（且为常数），，当时，则，所以（常数），故，所以数列的前项为首项为，公差为的等差数列.从项开始，由于，所以奇数项为、偶数项为，所以，故答案为：【题目点拨】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.13、【解题分析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求积”公式即可求得答案．【题目详解】因为，所以整理可得，由正弦定理得因为，所以所以当时，的面积的最大值为【题目点拨】本题用到的知识点有同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理等，考查学生分析问题的能力和计算整理能力．14、【解题分析】

根据，可得平面，进而可得，再由，证明平面，即可得出，是的直角顶点.【题目详解】在三棱锥中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角顶点为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了直线与直线以及直线与平面垂直的应用问题，属于基础题.15、.【解题分析】

先求得直线的斜率,由直线垂直时的斜率关系可求得直线的斜率.再根据点斜式即可求得直线的方程.【题目详解】从原点向直线作垂线,垂足为点则直线的斜率由两条垂直直线的斜率关系可知根据点斜式可得直线的方程为化简得故答案为:【题目点拨】本题考查了直线垂直时的斜率关系,点斜式方程的应用,属于基础题.16、【解题分析】

由题若对于任意的都有，可得解出即可得出．【题目详解】∵，若对任意都有，

∴．

∴，

解得．

故答案为．【题目点拨】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）递增区间为，（3）【解题分析】

（1）根据向量的数量积坐标运算，以及模长的求解公式，即可求得两个函数的解析式；（2）由（1）可得，整理化简后，将其转化为余弦型三角函数，再求单调区间即可；（3）求得的解析式，用换元法，将函数转化为二次函数，讨论二次函数的最小值，从而求得参数的值.【题目详解】（1），.（2）令，得的递增区间为，.（3）∵，∴..当时，时，取最小值为－1，这与题设矛盾.当时，时，取最小值，因此，，解得.当时，时，取最小值，由，解得，与题设矛盾.综上所述，.【题目点拨】本题主要考查余弦型三角函数的单调区间的求解，含的二次型函数的最值问题，涉及向量数量积的运算，模长的求解，以及二次函数动轴定区间问题，属综合基础题.18、（1）（2）【解题分析】

（1）由等差数列可得,求得,即可求得通项公式；（2）由（1）,则利用裂项相消法求数列的和即可【题目详解】解:（1）因为数列是等差数列,且,,则,解得,所以（2）由（1）,,所以【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式,考查裂项相消法求数列的和19、(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【解题分析】

（1）对递推关系进行变形得，从而证明是等比数列；（2）由(1)得，代入所证式子，再利用放缩法进行证明；（3）由(2)可知，对分偶数和奇数计论，放缩法和等比数列求和，即可证明结论.【题目详解】(1)∵，∴，且所以，数列是首项为，公比为3的等比数列.(2)由(1)可知当k是奇数时，(3)由(2)可知，当为偶数时，当为奇数时，所以.【题目点拨】本题考查等比数列的定义证明、等比数列前项和、不等式的放缩法证明，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的突破口.20、乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援.【解题分析】

根据题意，求得，利用余弦定理求得的长，在中利用正弦定理求得，根据题目所给参考数据求得乙船行驶方向.【题目详解】解：由已知，则，在中，