北京市第三十九中学2024届数学高一第二学期期末综合测试试题含解析

北京市第三十九中学2024届数学高一第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，则下列不等式中正确的是()A． B．C． D．2．执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是A．8 B．5 C．3 D．23．等差数列中，则（）A．8 B．6 C．4 D．34．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．5．函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度6．函数的零点所在的一个区间是（）．A． B． C． D．7．“（）”是“函数是奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．9．等差数列an的公差d<0，且a12=a212，则数列aA．9 B．10 C．10和11 D．11和1210．若实数a＞b，则下列结论成立的是（）A．a2＞b2 B． C．ln2a＞ln2b D．ax2＞bx2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等差数列的公差为，且，其前项和为，若满足，，成等比数列，且，则______，______.12．已知数列中，，，，则的值为_____．13．长时间的低头,对人的身体如颈椎、眼睛等会造成定的损害，为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的人中采用分层抽样的方法抽取人进行调查，已知这人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里青年人人数为_____14．已知，则的最小值是__________．15．已知数列满足，，则______．16．已知等差数列的前项和为，若，则=_______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：甲班：82848589798091897974乙班：90768681848786828583(1)求两个样本的平均数；(2)求两个样本的方差和标准差；(3)试分析比较两个班的学习情况．18．在中，的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）若的面积为，，求的值．19．已知海岛在海岛北偏东，，相距海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动．（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．20．已知，且（1）求的值；（2）求的值．21．已知的内角所对的边分别为，且，.（1）若，求角的值；（2）若,求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

取，则，，只有B符合．故选B．考点：基本不等式．2、C【解题分析】试题分析：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3考点：程序框图3、D【解题分析】

设等差数列的公差为，根据题意，求解，进而可求得，即可得到答案.【题目详解】由题意，设等差数列的公差为，则，即，又由，故选D.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、C【解题分析】

求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角.【题目详解】由题意知，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C.【题目点拨】本题考查直线的斜率与倾斜角的求法，属于基础题.5、C【解题分析】

通过图象可以知道：最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，这样可以求出和最小正周期，利用余弦型函数最小正周期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案.【题目详解】由图象可知：函数的最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，所以，设函数的最小正周期为，则有，而，把代入函数解析式中，得，所以，而，显然由向右平移个单位长度得到的图象，故本题选C.【题目点拨】本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.6、B【解题分析】

判断函数的单调性，利用f（﹣1）与f（1）函数值的大小，通过零点存在性定理判断即可【题目详解】函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜1，f（1）＝1+1＝1＞1，可得f（﹣1）f（1）＜1．由零点存在性定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，1）．故选：B．【题目点拨】本题考查零点存在性定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．7、C【解题分析】若，则，函数为奇函数，所以充分性成立；反之，若函数是奇函数，则，即，因此必要性也是成立，所以“”是“函数是奇函数”充要条件，故选C.8、D【解题分析】

先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.【题目详解】由题得直线的斜率.故选：D【题目点拨】本题主要考查直线的斜率和倾斜角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、C【解题分析】

利用等差数列性质得到a11=0，再判断S10【题目详解】等差数列an的公差d<0，且a根据正负关系：S10或S故答案选C【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，Sn的最大值，将Sn的最大值转化为10、C【解题分析】

特值法排除A,B,D,单调性判断C【题目详解】由题意，可知：对于A：当a、b都是负数时，很明显a2＜b2，故选项A不正确；对于B：当a为正数，b为负数时，则有，故选项B不正确；对于C：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴ln2a＞ln2b，故选项C正确；对于D：当x＝0时，结果不成立，故选项D不正确；故选：C．【点评】本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解题分析】

由，可求出，再由，，成等比数列，可建立关系式，求出，进而求出即可.【题目详解】由，可知，即，又，，成等比数列，所以，则，即，解得或，因为，所以，，所以.故答案为：2；.【题目点拨】本题考查等比数列的性质，考查等差数列前项和的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.12、1275【解题分析】

根据递推关系式可求得，从而利用并项求和的方法将所求的和转化为，利用等差数列求和公式求得结果.【题目详解】由得：则，即本题正确结果：【题目点拨】本题考查并项求和法、等差数列求和公式的应用，关键是能够利用递推关系式得到数列相邻两项之间的关系，从而采用并项的方式来进行求解.13、【解题分析】

根据饼状图得到青年人的分配比例；利用总数乘以比例即可得到青年人的人数.【题目详解】由饼状图可知青年人的分配比例为：这个群体里青年人的人数为：人本题正确结果：【题目点拨】本题考查分层抽样知识的应用，属于基础题.14、【解题分析】分析：利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得y的最小值.详解：因为，所以，所以（当且仅当时等号成立），则的最小值是，总上所述，答案为.点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.15、1023【解题分析】

根据等比数列的定义以及前项和公式即可．【题目详解】因为所以，所以为首先为1公比为2的等比数列，所以【题目点拨】本题主要考查了等比数列的前项和：属于基础题．16、【解题分析】

利用等差数列前项和，可得；利用等差数列的性质可得，然后求解三角函数值即可．【题目详解】等差数列的前项和为，因为，所以；又，所以．故答案为：．【题目点拨】本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握和若，则是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2），，；（3）乙班的总体学习情况比甲班好【解题分析】试题分析：每组样本数据有10个，求样本的平均数利用平均数公式，10个数的平均数等于这10个数的和除以10；比较平均分的大小可以看出两个班学生平均水平的高低，求样本的方差只需使用方差公式，求这10个数与平均数的差的平方方和再除以10；比较两组数据方差的大小就可得出两组数据的标准差的大小，标准差较小者成绩较稳定。试题解析：(1)＝×(82＋1＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2，＝×(90＋76＋86＋81＋1＋87＋86＋82＋85＋83)＝1．(2)＝×[(82－83.2)2＋(1－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝26.36，＝[(90－1)2＋(76－1)2＋(86－1)2＋(81－1)2＋(1－1)2＋(87－1)2＋(86－1)2＋(82－1)2＋(85－1)2＋(83－1)2]＝13.2，则s甲＝≈5.13，s乙＝≈3.2．(3)由于，则甲班比乙班平均水平低．由于，则甲班没有乙班稳定．所以乙班的总体学习情况比甲班好【题目点拨】怎样求样本的平均数，n个数的平均数等于这n个数的和除以n；比较平均数的大小可以看出两个样本平均水平的高低，怎样求样本的方差，就是求这n个数与平均数的差的平方方和再除以n；比较两组数据方差的大小就可得出两组数据的标准差的大小，标准差较小者成绩较稳定。18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（1）根据二倍角和诱导公式可得的值；（2）根据面积公式求，然后利用余弦定理求，最后根据正弦定理求的值.【题目详解】（1）,，所以原式整理为,解得：（舍）或,;（2），解得，根据余弦定理,,，代入解得：,.【题目点拨】本题考查了根据正余弦定理解三角形，属于简单题.19、（1）小时；（2）海里．【解题分析】

试题分析：（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向，因为小时，所以．则物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里．在中由正弦定理可求得的值．（2）在中用余弦定理求，再根据二次函数求的最小值．试题解析：解：（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里，，中，由正弦定理得：，即，则．（2）由（1）题设，，，由余弦定理得：∵，∴当时，海里．考点：1正弦定理；2余弦定理；3二次函数求最值．20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由条件先求得然后再用二倍角公式求；（2）利用角的变换求出，在根据的范围确定的值．【题目详解】(1)因为,所以,所以,所以；(2)因为,所以因为,所以,由(1)得,所以＝,因为,所以.【题目点拨】根据已知条件求角的步骤：（1