2024届湖北省武汉市华中师大一附中数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届湖北省武汉市华中师大一附中数学高一第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列的前项和为，且，，则（）A．200 B．210 C．400 D．4102．已知为第Ⅱ象限角，则的值为（）A． B． C． D．3．圆的半径为()A．1 B．2 C．3 D．44．已知数列{an}满足a1=2A．2 B．-3 C．-125．在中，分别为角的对边，若的面积为，则的值为（）A． B． C． D．6．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A． B． C． D．7．已知等差数列的首项,公差,则()A．5 B．7 C．9 D．118．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是()A． B． C．3 D．9．为了得到函数的图象，只需将函数的图象()A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位10．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．中，，则A的取值范围为______．12．已知向量，，则______.13．有一个底面半径为2，高为2的圆柱，点，分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点或的距离不大于1的概率是________.14．实数x、y满足，则的最大值为________.15．据两个变量、之间的观测数据画成散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系_____（答是与否）.16．若实数，满足，则的最小值为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.18．已知，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，，，求角A的大小．19．已知数列的前项和为，且，.（1）试写出数列的任意前后两项（即、）构成的等式；（2）用数学归纳法证明：.20．已知向量，．（1）若，在集合中取值，求满足的概率；（2）若，在区间内取值，求满足的概率．21．设函数（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；（2）若对于恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前项和公式的应用求出结果．【题目详解】由题，，又因为所以当时，可解的当时，，与相减得当为奇数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，当为偶数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，所以当为正整数时，，则故选B.【题目点拨】本题考查的知识点有数列通项公式的求法及应用，等差数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于一般题．2、B【解题分析】

首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．【题目详解】因为，所以或，又为第Ⅱ象限角，故，．因为为第Ⅱ象限角即，所以，，即为第Ⅰ，Ⅲ象限角．由于，解得，故选B．【题目点拨】本题主要考查二倍角公式的应用以及象限角的集合应用．3、A【解题分析】

将圆的一般方程化为标准方程，确定所求.【题目详解】因为圆，所以，所以，故选A.【题目点拨】本题考查圆的标准方程与一般方程互化，圆的标准方程通过展开化为一般方程，圆的一般方程通过配方化为标准方程，属于简单题.4、D【解题分析】

先通过列举找到数列的周期，再利用数列的周期求值.【题目详解】由题得a2所以数列的周期为4，所以a2020故选：D【题目点拨】本题主要考查递推数列和数列的周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5、B【解题分析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．6、B【解题分析】

试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B．考点：概率问题7、C【解题分析】

直接利用等差数列的通项公式，即可得到本题答案.【题目详解】由为等差数列，且首项，公差，得.故选：C【题目点拨】本题主要考查利用等差数列的通项公式求值，属基础题.8、A【解题分析】

根据正弦和角公式化简得是正三角形，再将平面四边形OACB面积表示成的三角函数，利用三角函数求得最值.【题目详解】由已知得：即所以即又因为所以所以又因为所以是等边三角形.所以在中，由余弦定理得且因为平面四边形OACB面积为当时，有最大值，此时平面四边形OACB面积有最大值，故选A.【题目点拨】本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数，属于难度题.9、D【解题分析】

由函数，根据三角函数的图象变换，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，函数，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，故选D.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及正弦的倍角公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、D【解题分析】

先求出AB的长，再求点P到直线AB的最小距离和最大距离，即得△ABP面积的最小值和最大值，即得解.【题目详解】由题得,由题得圆心到直线AB的距离为，所以点P到直线AB的最小距离为2-1=1，最大距离为2+1=3，所以△ABP的面积的最小值为，最大值为.所以△ABP的面积的取值范围为[1,3].故选D【题目点拨】本题主要考查点到直线的距离的计算，考查面积的最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由正弦定理将sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC变为，然后用余弦定理推论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围．【题目详解】因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，所以，即．所以，因为，所以．【题目点拨】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边．12、【解题分析】

求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．【题目详解】由题意得，.，.，，.故答案为：．【题目点拨】本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．13、【解题分析】

本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点到点，的距离不大于1的概率；【题目详解】解：由题意可知，点P到点或的距离都不大于1的点组成的集合分别以、为球心，1为半径的两个半球，其体积为，又该圆柱的体积为，则所求概率为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．关键是明确满足题意的测度为体积比．14、【解题分析】

根据约束条件，画出可行域，将目标函数化为斜截式，找到其在轴截距的最大值，得到答案.【题目详解】由约束条件，画出可行域，如图所示，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，联立，解得，即，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查线性规划求最大值，属于简单题.15、否【解题分析】

根据散点图的分布来判断出两个变量是否具有线性相关关系.【题目详解】由散点图可知，散点图分布无任何规律，不在一条直线附近，所以，这两个变量没有线性相关关系，故答案为否.【题目点拨】本题考查利用散点图判断两变量之间的线性相关关系，考查对散点图概念的理解，属于基础题.16、【解题分析】

由题意可得=≥2=2，由不等式的性质变形可得．【题目详解】∵正实数a，b满足，∴=≥2=2，∴ab≥2当且仅当=即a=且b=2时取等号．故答案为2．【题目点拨】本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.【题目详解】（1），，因此，数列是等比数列；（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.【题目点拨】本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18、【解题分析】

由正弦定理得，即得，再利用余弦定理求解.【题目详解】因为在三角形ABC中，由正弦定理得．又因为，所以得，由余弦定理得．又三角形内角在．故角A为．【题目点拨】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）由，可得出，两式相减，化简即可得出结果；（2）令代入求出的值，再由求出的值，可验证和时均满足，并假设当时等式成立，利用数学归纳法结合数列的递推公式推导出时等式也成立，综合可得出结论.【题目详解】（1）对任意的，由可得，上述两式相减得，化简得；（2）①当时，由可得，解得，满足；②当时，由于，则，满足；③假设当时，成立，则有，由于，则.这说明，当时，等式也成立.综合①②③，.【题目点拨】本题考查数列递推公式的求解，同时也考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20、（1）（2）【解题分析】

（1）首先求出包含的基本事件个数，由，由向量的坐标运算可得，列出满足条件的基本事件个数，根据古典概型概率计算公式即可求解.（2）根据题意全部基本事件的结果为，满足的基本事件的结果为，利用几何概型概率计算公式即可求解.【题目详解】（1），的所有取值共有个基本事件．由，得，满足包含的基本事件为，，，，，共种情形，故．（2）若，在上取值，则全部基本事件的结果为，满足的基本事件的结果为．画出图形如图，正方形的面积为，阴影部分的面积为，故满足的概率为．【题目点拨】本题考查了古典概型概率计算公式、几何概型概率计算公式，属于基础题.21、（1）（2）【解题分析】

（1）由不等式恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（2）要使对于恒成立，整理