【数学】任意角（第一课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.1任意角第五章教学目标1.了解任意角的概念,能区分各类角的概念.(数学抽象)2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.(直观想象)3.理解终边相同的角的含义及表示,并能解决有关问题.(数学运算)思维导图任意角角的概念象限角终边相同的角正角负角零角创设情境

引出问题初中角的定义：有公共顶点的两条射线组成的图形.

现实生活中随处可见超出0°-360°范围的角．例如,体操中有“前空翻转体540度”,“后空翻转体720度”.齿轮旋转的示意图很显然，0°—360°角难以满足我们的需要，所以我们需要对角的概念进行推广.一.任意角的概念高中角的定义：1.角的概念：角可以看成平面内一条

射线

绕着它的端点

选转

所成的

图形

.2.角的表示：如图，OA是∠AOB的

始边

，OB是∠AOB的

终边

，O是∠AOB的

顶点

.∠AOB可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.始边：射线的起始位置.终边：射线的终止位置.顶点三要素一.任意角的概念3.角的分类类比实数的学习，我们对角的范围进行扩充：角正角零角负角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角一条射线没有做任何旋转(始边与终边重合)任意角动态定义注意：（1）在判断角度时，应时刻抓住“选转”二字：要明确选转方向；要明确旋转量的大小；要明确射线的起始位置。（2）角的概念推广后，角度的范围就不再局限于0°-360°。思考：（1）正角、负角、零角是根据什么区分的？（2）如果一个角的终边与始边重合，那么这个角一定是零角吗？选转方向：顺时针为负角；逆时针为正角；不旋转为零角OA(B)例1.判断正误：（1）零角的始边与终边重合。（2）始边与终边重合的角为零角。（3）如图，以OA为始边，OB为终边，则∠AOB=30°例2.课间10分钟，钟表的分针走过的角度是多少度？思考：若经过1小时30分钟的时间，钟表的时针和分针各转过的角度是多少？OAB30°

类比实数，思考下列问题：1.你认为相等的两个角应该怎样规定？2.两角相加又是怎样规定的？3.你知道什么是互为相反角吗？两角怎样相减？角α与角β旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角为α+β类似于实数a的相反数是-a，我们引入任意角的相反角的概念：射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α类比实数的减法，定义：α

-β=α

+（-β）.

二.角的关系与运算思考：（1）以OB为终边的角唯一吗？（2）若不唯一，那么终边相同的角有什么关系呢？OAB30°不唯一如：390°=360°+30° -330°=-360°+30°

三.终边相同的角

四.例题讲解一、任意角的概念例1下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中正确的结论为______(填序号).②解析①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是零角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤0°角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确.反思感悟理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.二、终边相同的角及象限角例2将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角.(1)420°；解420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角.(2)－510°；解－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角.(3)1020°.解1020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1020°是第四象限角.反思感悟首先把各角写成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判断α所在的象限即可.三、区域角的表示解终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.例3已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.反思感悟表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.确定nα及

所在的象限典例已知α是第二象限角，求角

所在的象限.素养提升解方法一∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z).当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得方法二如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，变形：若本例条件中角α变为第三象限角，求角

是第几象限角.解如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，素养提升分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论.几何法依据数形结合，简单直观.通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养.小试牛刀1.与－30°终边相同的角是A.－330° B.150° C.30° D.330°解析因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.2.－240°是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角解析因为－240°角的终边落在第二象限，故为第二象限角.3.下列说法正确的是A.锐角是第一象限角

B.第二象限角是钝角C.第一象限角是锐角

D.第四象限角是负角解析由于锐角范围是0°<α<90°，显然是第一象限角；－200°是第二象限角，但不是钝角；380°是第一象限角，但不是锐角；330°是第四象限角，但不是负角.4.终边与坐标轴重合的角α的集合是A.{α|α＝k·360°，k∈Z} B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°，k∈Z} D.{α|α＝k·90°，k∈Z}解析终边在坐标轴上的角大小为90°或90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.故选D.5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是____________________________________.{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}