某年天津工业大学“创新杯”数学建模竞赛赛题

2024年天津工业大学“创新杯〞数学建模竞赛赛题要求：1.在A、B、C题中选择一题；2.按以下格式加封面，在答卷中不得出现班级、姓名等；3.如不愿意参加假期培训〔7.9—7.23〕和全国大学生数学建模竞赛的必须在封面声明，不愿自费参加竞赛的同学也请在封面声明；4.参赛选手务必于2024年6月13日11时之前将纸质版论文上交，老校区同学交到主楼A座606，新校区同学交到第一公共教学楼B区314。

编号：〔同学不得填写〕-------------------------------------------------------------------编号：队员姓名：队员一：__________________班级：___________学号：___________队员二：___________________班级：___________学号：___________队员三：___________________班级：___________学号：___________(附：不愿意参加假期培训〔7.9—7.23〕和全国大学生数学建模竞赛)A题：一种汽车比赛的最优策略汽车运动是当前世界上一项重要的体育工程。这项运动比传统的体育工程更具综合性，尤其涉及科学技术的各个方面。数学物理科学在这个工程中自然十分重要。当然，汽车运动的比赛工程也十分丰富。其中的速度赛和节油赛就是两项根本比赛。有人设计了如下的两个比赛工程：工程1：给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下汽车行驶路程最远。工程2：给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下，在确定的比赛路段内，汽车行驶时间最短。上述两个比赛工程的要点是比赛者应设计自己的最优比赛策略，既是给出定量燃油的消耗速率v(t),尽量使上述两个工程到达最优效果。既是得到尽量好的比赛成绩。请在合理的路面阻力和其他阻力假设下建立数学模型，并求出上述两个问题(工程)的最优策略，既是定量燃油的最优消耗律v(t)函数。当汽车还有能量输入(例如：太阳能)时，如何修正数学模型。B题：中国人口开展趋势对经济社会的影响人口是影响经济社会开展的关键因素，关系到改革开放和社会主义现代化建设的成功。中国经济开展和社会管理面临的重大问题与人口数量、素质、结构、分布等密切相关。“人口问题是开展的中心问题〞已成为各国共识。各国均对提高人口素质、缓解人口老龄化带来的压力等关键问题给予了特别的关注。20世纪70年代，为了缓解人口过快增长带来的社会压力，中国开始实行方案生育政策。自那以来，我国的方案生育工作取得了举世瞩目的成就，在经济还不兴旺的情况下，有效控制了人口的过快增长，实现了人口再生产类型从“高、低、高〞的模式向“低、低、低〞模式的转变。与此同时，我国人口开展出现了一些新情况、新变化。人口总和生育率已低于临界生育率水平，我国局部大中城市老龄化已非常明显。目前我国正处于人口发生转变的关键时刻，生育率、人口性别结构、人口老龄化等问题日益凸显。中国人口开展的这些变化将对经济社会开展产生重要影响。例如，低生育率导致的劳动力老化、劳动力供给总量的下降，会对劳动生产率的提高以及经济竞争优势产生负面影响。人口年龄结构的改变将影响储蓄和投资的比例，引起社会保障公共支出需求的增加等等。特别值得注意的是，与西方国家不同，中国未来的人口老龄化问题具有“未富先老〞的特点。这就给社会保障带来一系列问题，其中养老保险受到的冲击最大。根本养老保险制度的负担系数从1984年的0.185提高到2024年的0.331，增长了近80%。预计到本世纪30年代，我国人口老龄化将到达顶峰。如果对这个问题没有恰当的应对策略，不仅社会保障制度无法平稳运行，而且将影响社会经济的可持续开展。尽管社会各界对未来中国人口开展趋势性的判断能够达成较为一致的看法，但具体测算结果仍具有较大差异。相应地，对当前是否应当调整中国现行的人口政策也存在较多分歧。一种意见认为，中国人口增速虽然回落，但人口基数依然庞大，国内资源稀缺的矛盾依然较为突出，因而当前及今后一段时期内还应继续坚持现行的方案生育政策。另一种意见那么认为，中国的方案生育政策已经执行了30多年，人口增长率已经呈现明显的下降趋势，而且也产生了一些问题，如人口结构失衡、低生育率、男女比例失调问题，甚至于民族性格的改变等。认为目前已到了重新审视方案生育政策的时候，目前中国人口的主要矛盾已经是老龄化问题。这两种意见各有其理论和实践根底，但又均没有充分的科学依据。到底如何来评估现行人口政策的影响，人口政策是否有必要调整？人口政策调整与否，在不同的情景下，未来我国的人口开展趋势及其对社会经济的影响如何？如何解决人口增长与经济、资源、环境和社会等诸多约束之间的矛盾？不同的人口政策和开展趋势对我国就业问题、教育问题和住房问题会产生什么样的影响？这些问题均需要进行深入的研究，不仅仅是定性分析，还要结合定量测算，科学地评估当前我国的人口政策，以及未来调整人口政策的可行性及如何调整，在此根底上得出可行的政策建议。目前我国一些部门和学者对人口问题，包括人口战略等开展了许多研究，但也存在一些值得改善的地方。例如，研究对象的片面性问题。如人口部门的研究主要关注人口自身的增长问题，对其他影响人口增长的因素考虑较少。实际上人口增长脱离不了复杂的社会经济系统，它有众多的制约因素，如经济开展水平、资源环境约束、社会保障状况等。要深入考察人口问题和人口政策，需要从复杂系统的角度出发。又如人口的数据问题。由于与人口相关的数据很多是通过估算得到的，因此在准确性方面就大打折扣。刚刚完成的全国第六次人口普查为下一步的研究奠定很好的数据根底。中共中央政治局2011年4月26日就世界人口开展和全面做好新形势下我国人口工作进行第二十八次集体学习。中共中央总书记胡锦涛在主持学习时强调，要充分认识我国人口问题的长期性、复杂性、艰巨性，不断增强做好人口工作的自觉性和主动性，加强战略研究，加强政策统筹，加强工作协调，加强任务落实，不断开创人口工作新局面，为“十二五〞时期经济社会开展创造更加有利的人口环境。问题一：试建立数学模型分析我国人口开展趋势对经济社会开展某一方面的影响，如考虑我国人口开展趋势对经济开展的影响：对经济增长速度、消费结构、产业结构、进出口等的影响，以及人口因素对劳动力市场的影响〔劳动力短缺和工资本钱持续上升等〕；人口开展趋势对社会开展的影响：人口结构老龄化的社会影响、从业人口的养老负担系数等。〔具体相关数据请自行查找，并务必在参考文献中注明出处〕问题二：考虑人口开展趋势及其经济社会开展某一方面影响根底上，并就该方面提出调整和完善人口政策的具体政策建议，并分析其可行性和正负作用。注：论文电子版请提交到：ch8683897@126.comC题：组合投资的收益和风险问某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资工程〔如股票、债券、房地产、…〕可供公司作投资选择。其中工程1、工程2每年初投资，当年年末回收本利〔本金和利润〕；工程3、工程4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；工程5、工程6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；工程7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；工程8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？二、公司财务分析人员收集了8个工程近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些工程投资时，实际还会出现工程之间相互影响等情况。8个工程独立投资的往年数据见表2。同时对工程3和工程4投资的往年数据；同时对工程5和工程6投资的往年数据；同时对工程5、工程6和工程8投资的往年数据见表3。(注：同时投资工程是指某年年初投资时同时投资的工程)试根据往年数据，预测今后五年各工程独立投资及工程之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。三、未来5年的投资方案中，还包含一些其他情况。对投资工程1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，假设在工程1中投资超过20000万，那么同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各工程的投资。工程5的投资额固定，为500万，可重复投资。各投资工程的投资上限见表4。在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资假设干种工程时，总体风险可用所投资的工程中最大的一个风险来度量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？五、为了降低投资风险，公司可拿一局部资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司应该如何对5年的投资进行决策?

附：表1.

投资工程预计到期利润率及投资上限工程12345678预计到期利润率〔%〕50.270.45上限〔万元〕6000030000400003000030000200004000030000注：到期利润率是指对某工程的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。

表2.各投资工程独立投资时历年的投资额及到期利润〔万元〕工程123456781986投资额30035741430757554352301569774993到期利润4791261338910-795555862259189871987投资额72326886507079297480546330414830到期利润1211164221015395044-1158638693981988投资额33455659666575135978455850554501到期利润50762925401233-3608-611236832103551989投资额53086272633367494034739264424092到期利润78760283616168081494616834-72661990投资额45975294514853846220606860955270到期利润71136527651099223008319-19618-26971991投资额43785095597372946916627677636335到期利润756621254915595130-90282223027331992投资额64867821444955865812657762765848到期利润8469351078100693581318-59901247091993投资额69743393426854145589447268633570到期利润1489593195517409207423738552145111994投资额41164618547464735073634568663044到期利润353749204115487044-2291-3969145701995投资额74035033685967075377478352026355到期利润1117911139211687488146470314192451996投资额42374996560355975231418168305018到期利润5719643077188172095721-2156850751997投资额30515707487738447434422253705960到期利润449868113811315196317399069148641998投资额75745052546036817936774563913861到期利润139695813721221584910740-27334-46261999投资额35105870569757013898721651354218到期利润364108914561757-62910770-24878-57862000投资额68797396551656237471550131744210到期利润994155828641461776971518981218332001投资额35114780625569256598604348627988到期利润63811753230222380207916-46712213572024投资额36607741431543797120613136615393到期利润5381527115514944616641164239-115382024投资额448647563871552958075576

3029到期利润4668621022204653956178

118192024投资额7280731264717760

到期利润1389131920603227

2024投资额30825083

到期利润403787

表3.一些投资工程同时投资时历年的投资额及到期利润〔万元〕工程同时投资工程1、2同时投资工程5、6同时投资工程5、6、834565681986投资额4307575543523015435230154993到期利润102626861442263466782542-31451987投资额5070792974805463748054634830到期利润2188355830092935-386115120132701988投资额6665751359784558597845584501到期利润327232224431440047941884-33561989投资额6333674940347392403473924092到期利润20502778344447330021549108201990投资额5148538462206068622060685270到期利6448-852-4651-15931991投资额5973729469166276691662766335到期利润2733354210300921720610559572831992投资额4449558658126577581265775848到期利润3005244831810874750-179140001993投资额4268541455894472558944723570到期利润202426095168-29303170-235144601994投资额5474647350736345507363453044到期利润17822969-981241373041909070651995投资额6859670753774783537747836355到期利润3701263666955237952029105101996投资额5603559752314181523141815018到期利润35811809952844-26716334129701997投资额4877384474344222743442225960到期利润15101724-1248984-42993307101701998投资额5460368179367745793677453861到期利润399614507717280380626753100501999投资额5697570138987216389872164218到期利润320424887598-4722-96814900-22942000投资额5516562374715501747155014210到期利润145421997518932165802131100602001投资额6255692565986043659860437988到期利润325826468671-655111460-4521-80392024投资额4315437971206131712061315393到期利润266119842029203004379103544562024投资额3871552958075576580755763029到期利润180024437424863912680511221542024投资额64717760

到期利润30473682

2024投资额

到期利润

表4.

各投资工程的投资上限工程12345678上限〔万元〕6000060000350003000030000400003000030000

注：此题电子版请提交到：ch8683897@126.com我们的答案：(附：不愿意参加假期培训〔7.9—7.23〕和全国大学生数学建模竞赛)二、到期利润率同时投资工程3、4独立投资工程3、4343419860.2380.4670.3110.158