吉林省省卷三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-04解答题提升题

吉林省省卷三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-04解答题

提升题

一.整式的混合运算一化简求值（共1小题）

1.（2021•吉林）先化简，再求值：（x+2）（x-2）-x（x-1）,其中》=上.

2

二.二元一次方程组的应用（共1小题）

2.（2021•吉林）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁

和隧道全长共55口?.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4h〃.求港珠澳大桥的桥梁长度

和隧道长度.

三.分式方程的应用（共1小题）

3.（2022•吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛.已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135

个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等.求李婷每分钟跳绳的个数.

四.一次函数的应用（共3小题）

4.（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比

乙壶加热速度快.在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函

数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：

（1）加热前水温是℃.

（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式.

（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是℃.

5.（2021•吉林）疫苗接种，利国利民.甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗.甲

地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人

数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天

完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）

之间的关系如图所示.

（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；

（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;

（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数.

6.（2020•吉林）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作.当停止工

作时，油箱中油量为5L,在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位:

min）之间的关系如图所示.

（1）机器每分钟加油量为L,机器工作的过程中每分钟耗油量为L.

（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值.

7.（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积1（单位：加3）变化时，气

体的密度p（单位：依/1）随之变化.已知密度p与体积V是反比例函数关系，它的图

象如图所示.

（1）求密度p关于体积V的函数解析式.

（2）当V=10疗时，求该气体的密度p.

六.二次函数综合题（共2小题）

8.（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+bx+c",c是常数）经过点A

（1,0）,点2（0,3）.点尸在此抛物线上，其横坐标为，加

（1）求此抛物线的解析式.

（2）当点尸在x轴上方时，结合图象，直接写出，〃的取值范围.

（3）若此抛物线在点尸左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2-〃?.

①求m的值.

②以PA为边作等腰直角三角形PAQ,当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q

9.（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+6x+c的图象经过点A（0,

-Z），点8（1,-1）.

44

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当-2WxW2时，求二次函数）u/+Zzr+c的最大值和最小值；

（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为相，过点P作PQ〃x轴，点。的横坐

标为-2m+l.已知点P与点。不重合，且线段PQ的长度随胆的增大而减小.

①求〃?的取值范围；

10.(2020•吉林)如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm,动点P从点A出发，以2an/s

的速度沿AB向点5匀速运动，过点尸作PQLA8,交折线4C-C8于点Q,以P。为边

作等边三角形使点A,。在尸。异侧.设点P的运动时间为x(s)(0<x<2),△

PQO与aABC重叠部分图形的面积为y(C/M2).

(1)AP的长为cm(用含x的代数式表示).

(2)当点。落在边BC上时，求x的值.

(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

八.四边形综合题(共4小题)

11.(2022•吉林)如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=6cm.动点P从点

A出发，以2c〃?/s的速度沿边AB向终点8匀速运动.以山为一边作/APQ=I20°,另

一边PQ与折线AC-CB相交于点Q,以P。为边作菱形尸QMN,点N在线段PB上.设

点P的运动时间为x(s),菱形PQMN与AABC重叠部分图形的面积为y(cm1).

(1)当点。在边AC上时，PQ的长为cm.(用含x的代数式表示)

(2)当点M落在边BC上时，求x的值.

(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

cc

备用图

12.(2021•吉林)如图，在矩形ABC。中，AB^3cm,AD=Mcm.动点P从点A出发沿

折线AB-BC向终点C运动，在边AB上以lc/n/s的速度运动；在边BC上以JEcn?/s的

速度运动，过点P作线段PQ与射线OC相交于点Q,且NPQO=60°,连接PD,BD.设

点尸的运动时间为x(s),△OPQ与△QBC重合部分图形的面积为y(cm2).

(1)当点产与点A重合时，直接写出。。的长；

(2)当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长(用含x的代数式表示)；

13.(2020•吉林)能够完全重合的平行四边形纸片A8CZ)和4EFG按图①方式摆放，其中

AD=AG=5,AB=9.点。，G分别在边4E,A8上，C£＞与尸G相交于点”.

【探究】求证：四边形AG”D是菱形.

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCZ),将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺

时针旋转一定的角度，使点尸与点C重合，如图②.则这两张平行四边形纸片未重叠部

分图形的周长和为.

【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使

点E与点B重合，连接DG,CF,如图③，若sinZB/lD=A,则四边形DCFG的面积

5

为.

14.,CD是斜边A8上

的中线，点E为射线BC上一点，将△8OE沿。E折叠，点8的对应点为点F.

（2）若。尸J_BC,垂足为G,点尸与点。在直线CE的异侧，连接C凡如②，判断四

边形ADFC的形状，并说明理由;

（3）若。尸，A8,直接写出NBDE的度数.

九.作图一应用与设计作图（共1小题）

15.（2021•吉林）图①、图②均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小

正方形的边长为1,点A,点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶

点均在格点上.

（1）在图①中，以点A,B,C为顶点画一个等腰三角形；

（2）在图②中，以点A,B,D,E为顶点画一个面积为3的平行四边形.

一十.作图-轴对称变换（共1小题）

16.（2022•吉林）图①，图②均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.其

中点A,B,C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形.

（1）在图①中，找一格点。，使以点A,B,C,。为顶点的四边形是轴对称图形；

（2）在图②中，找一格点E,使以点A,B,C,E为顶点的四边形是中心对称图形.

图①图②

一十一.相似形综合题（共1小题）

17.（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整.

【作业】如图①，直线4ABC与△OBC的面积相等吗？为什么？

解：相等.理由如下：

设与/2之间的距离为/7，

则SAABC=」BC”,SADBC=LBC5.

22

S〉ABC=SADBC.

【探究】（1）如图②，当点。在/1，/2之间时，设点A,。到直线/2的距离分别为儿〃'，

则包胆=4

^ADBCh

证明:S^ABC=.

（2）如图③，当点。在/1，，2之间时，连接并延长交，2于点M，则S△照.=里

^ADBCDM

证明：过点A作垂足为E,过点。作垂足为F,则

=90。.

：.AE//_______

IXAEMs

•AE=AM

"DFDM"

由【探究】（1）可知也竺£=

^ADBC

.SAABC_AM

••--------（

^ADBCDM

（3）如图④，当点。在/2下方时，连接AO交/2于点£若点4,E,力所对应的刻度

值分别为5,1.5,0,则包些的值为.

2ADBC

18.（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械.图①是一辆动感单车的实物图，图②是

其侧面示意图.△BC。为主车架，A8为调节管，点4,B,C在同一直线上.已知BC

长为70a”，NBC。的度数为58°.当AB长度调至34a”时，求点A到CD的距离AE

的长度（结果精确到1的）.（参考数据：sin58°=0.85,cos58°M）.53,tan58°F.60）

19.（2021•吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44。，求北纬44。纬线

的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：

（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬

线；

（2）如图，OO是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400b”.弦8C〃04,过点。

作OKLBC于点K,连接OB.若NAOB=44°,则以8K为半径的圆的周长是北纬44°

纬线的长度；

（3）参考数据：n取3,sin44°=0.69,cos44°=0.72.

小组成员给出了如下解答，请你补充完整：

解：因为BC〃。/1,ZAOB=44°,

所以/B=/AO8=44°（）（填推理依据），

因为OK_LBC,所以/BKO=90°,

在RtZi80K中，08=04=6400.

BK=OBX（填“sinB”或“cosB”）.

所以北纬44°的纬线长C=如•2K.

=2X3X6400X（填相应的三角形函数值）

弋（km）（结果取整数）.

一十三.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

20.（2020•吉林）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部8相距35m的C处，用

高1.5机的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角NEDA为36°.求塔AB的高度（结果精确

到1m）.

（参考数据：sin36°七0.59,cos36°tan36°-0.73）

B

一十四.条形统计图（共1小题）

21.（2021•吉林）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业

蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长.给出了快递业务的有关数据信息.

2016-2020年快递业务量条形统计图

年龄20162017201820192020

增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%

说明：增长速度计算办法为：增长速度=.本年业碧二，耕务量X100%

去年业务量

根据图中信息，解答下列问题：

（1）2016-2020年快递业务量最多年份的业务量是亿件.

（2）2016-2020年快递业务量增长速度的中位数是.

（3）下列推断合理的是（填序号）.

①因为2016-2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量

应低于2020年的快递业务量；

②因为2016-2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上.所以预估2021年快递

业务量应在833.6X（1+25%）=1042亿件以上.

一十五.折线统计图（共1小题）

22.（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘

制统计图如下:

2017To21年年末全国常住人【I城镇化率

城镇化率小八

59.(X)...................................................................................................................................

0\/20172018M1920202021~年才

（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）

注：城镇化率=城我不产人口X100%.例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100

忌人口

万人，则城镇化率为60.12%.

回答下列问题：

（1）2017-2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是%.

（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为万

人.（只填算式，不计算结果）

（3）下列推断较为合理的是（填序号）.

①2017-2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口

城镇化率高于64.72%.

②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%,2021年年末比2020年

年末增加0.83%,全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口

城镇化率低于64.72%.

一十六.列表法与树状图法（共2小题）

23.（2022•吉林）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省

著名的三个景区.甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区.他们准备了3

张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭.卡片除正面景区名称不同外

其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后

正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片.请用画树状图或列表的方法，求两

人都决定去长白山的概率.

24.（2020•吉林）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物.如

图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A,B,C,卡片除正面图案不同外,

其余均相同.将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后

正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉

同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率.

ABC

参考答案与试题解析

整式的混合运算一化简求值（共1小题）

1.（2021•吉林）先化简，再求值：（x+2）（x-2）-x（x-1）,其中工=工.

2

【解答】解：（x+2）（x-2）-x（x-1）

=--4-jr+x

=x-4,

当x=-l时，原式=_1-4=-3工

222

二.二元一次方程组的应用（共1小题）

2.（2021•吉林）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁

和隧道全长共55&%其中桥梁长度比隧道长度的9倍少求港珠澳大桥的桥梁长度

和隧道长度.

【解答】解：设港珠澳大桥隧道长度为Mw,桥梁长度为）历〃.

由题意列方程组得：卜4y=55.

（y=9x-4

解得Jx=5.9

]y=49.1

答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1k"和5.9bw.

三.分式方程的应用（共1小题）

3.（2022•吉林）文悌和李婷进行跳绳比赛.已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135

个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等.求李婷每分钟跳绳的个数.

【解答】解：设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，

根据题意列方程，得卫-里_,

x+20x

即135%=120G+20）,

解得x=160,

经检验x=160是原方程的解，

答：李婷每分钟跳绳160个.

四.一次函数的应用（共3小题）

4.（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比

乙壶加热速度快.在一段时间内，水温y（°C）与加热时间x（s）之间近似满足一次函

数关系，根据记录的数据，画函数图象如下:

（1）加热前水温是20℃.

（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式.

（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是65℃.

，加热前水温是20℃,

故答案为：20.

（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y^kx+b,

将（0,20）,（160,80）代入+力得,

l80=160k+b

解得｛%,

b=20

；.y=&+20.

8

（3）甲水壶的加热速度为（60-20）+80=工。C/s,

2

甲水壶中温度为80℃0寸，加热时间为（80-20）4-1=1205,

2

将x=120代入y=Mv+20得y=65,

8

故答案为：65.

5.（2021•吉林）疫苗接种，利国利民.甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗.甲

地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过。天后接种人

数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天

完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）

之间的关系如图所示.

(1)直接写出乙地每天接种的人数及。的值；

(2)当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;

(3)当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数.

【解答】解：⑴乙地接种速度为40+80=0.5(万人/天)，

0.5。=25-5,

解得67=40.

(2)设〉=船+'将(40,25),(100,40)代入解析式得：

[25=40k+b

140=100k+b'

fk=l

解得K4，

b=15

；.y=L+15(40WxW100).

-4

(3)把x=80代入>=1+15得〉=上义80+15=35,

44

40-35=5(万人).

6.(2020•吉林)某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作.当停止工

作时，油箱中油量为53在整个过程中，油箱里的油量y(单位：L)与时间x(单位：

mi〃)之间的关系如图所示.

(1)机器每分钟加油量为3L,机器工作的过程中每分钟耗油量为0.5L.

(2)求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值.

【解答】解：（1）由图象可得，

机器每分钟加油量为：304-10=3（L）,

机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30-5）4-（60-10）=0.5（L）,

故答案为：3,0.5；

（2）当10<xW60时，设y关于x的函数解析式为y=or+6,

（

10a+b=30>

160a+b=5

解得，卜=-。-5,

lb=35

即机器工作时y关于x的函数解析式为y=-0.5x+35（I0<xW60）；

（3）当3x=30+2时，得x=5,

当-0.5x+35=304-2时，得x=40,

即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40.

五.反比例函数的应用（共1小题）

7.（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：加3）变化时，气

体的密度p（单位：版/〃，）随之变化.已知密度p与体积V是反比例函数关系，它的图

象如图所示.

（1）求密度p关于体积V的函数解析式.

（2）当V=10加时，求该气体的密度p.

【解答】解：（1）设「=上，

V

将(4,2.5)代入p=K得2.5=K,

V4

解得％=10,

.•.该气体的密度为Ikgi/.

六.二次函数综合题(共2小题)

8.(2022•吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+bx+c(b,c是常数)经过点A

(1,0),点8(0,3).点P在此抛物线上，其横坐标为m

(1)求此抛物线的解析式.

(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出〃？的取值范围.

(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点尸)的最低点的纵坐标为2-a

①求m的值.

②以PA为边作等腰直角三角形PAQ,当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q

的坐标.

0=l+b+c

【解答】解：⑴将(1,0),(0,3)代入＞=/+队+c得

3=c

Ib=-4

Ic=3'

/-4x+3.

(2)令7-4x+3=0,

解得制=1，X2=3,

・•・抛物线与入轴交点坐标为(1,0),(3,0),

・・•抛物线开口向上,

・••mVI或机＞3时，点尸在x轴上方.

⑶①•.•），=7-4x+3=（x-2）2-1,

，抛物线顶点坐标为（2,-1）,对称轴为直线x=2,

当朋＞2时，抛物线顶点为最低点，

・、-1=2-

解得加=3,

当“W2时，点尸为最低点,

将x=m代入y=j?-4x+3得y=m1-4^+3,

/n2-4/71+3=2-m,

解得川=3正（舍），m2=3-V5

22

.,.m=3或m=主近

2

②当“2=3时，点P在x轴上，AP=2,

•••抛物线顶点坐标为（2,-1）,

.••点。坐标为（2,-1）或（2,1）符合题意.

当，力=宜香■时，如图，/Q办=90°过点尸作），轴平行线，交x轴于点尸，作。

于点、E,

VZQPE+ZAPF^ZAPF+ZPAF^90Q,

/.NQPE=ZPAF,

又♦；NQEP=NPFA=90°,QP=PA,

：./\QEP^/\PFA(AAS),

/.QE=PF,即2-相2-4机+3,

解得见=也5（舍），m2=.

22

:.PF=2-生近

AF=PE=\-,

2_2

：.EF=PF+PE=2-.七后+1-.七后二遥,

22

，点。坐标为（2,届）.

综上所述，点Q坐标为（2,-1）或（2,1）或（2,匹）.

9.（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+fec+c的图象经过点A（0,

-工），点B（1,A）.

44

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当-2WxW2时，求二次函数y=/+/?x+c的最大值和最小值；

（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为粗，过点P作。。〃》轴，点。的横坐

标为-2〃z+l.已知点P与点。不重合，且线段PQ的长度随机的增大而减小.

①求，"的取值范围;

②当PQW7时，直接写出线段PQ与二次函数y=x1+hx+c（-2&＜工）的图象交点个

3

数及对应的，"的取值范围.

【解答】解：(1)将A(0,

44

(7

丁c

卷=l+b+c

fb=l

解得,7，

c=—

4

，y=/+x-—

4

(2)Vy=x2+x--=(x+—)2-2,

42

♦.•抛物线开口向上，对称轴为直线》=-1.

2

...当x=-工时，y取最小值为-2,

2

V2-(-1)>-1-(-2),

22

...当*=2时-，y取最大值22+2-工

44

(3)①P0=|-2w+l-m\=\-3m+l|,

当-3,〃+1>0时，PQ=-3/W+1,PQ的长度随m的增大而减小,

当-3加+1<0时，PQ=3m-1,PQ的长度随机增大而增大，

-3/71+1>0满足题意，

解得m<—.

3

②：0<PQW7,

：.0<-3m+lW7,

解得-〈工,

3

如图，当机=-工时，点P在最低点，PQ与图象有1交点,

机增大过程中，-1〈，〃〈工，点P与点。在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点,

直线x=上关于抛物线对称轴直线x=-▲对称后直线为x=-A,

323

&V/"<-工时，PQ与图象有2个交点，

32

y

PQ与图象有2个交点.

七.三角形综合题(共1小题)

10.(2020•吉林)如图，ZXABC是等边三角形，AB=4cm,动点P从点4出发，以2cWs

的速度沿AB向点8匀速运动，过点尸作交折线AC-CB于点Q,以PQ为边

作等边三角形PQZ),使点A,。在PQ异侧.设点P的运动时间为x(s)(0<x<2),△

PQO与△ABC重叠部分图形的面积为yCem2).

(1)AP的长为的cm(用含x的代数式表示).

(2)当点。落在边BC上时，求x的值.

(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

A

p

备用图

【解答】解：(1)•动点P从点A出发，以2B/S的速度沿A8向点8匀速运动,

.\AP的长为2xc/n；

故答案为：2x；

(2)当点。落在3。上时，如图1,

BP=AB-AP=4-2x,

：.ZQPA=90°,

;△PQ。等边三角形，3c是等边三角形,

AZA=ZB=ZDPQ=60°,PQ=PD,

；・NBPD=30°,

AZPDB=90°,

C.PDLBC,

A/XAPQ^/XBDP(A45),

：.BD=AP=2X9

*：BP=2BD,

A4-2x=4xf

解得x=2

3

(3)①如图2,当0<xW2时,

3

A

:在Rt/SAPQ中，AP=2x,ZA=60",

.•.PQ=AP・tan60°=2ex,

•.♦△PQ。等边三角形，

...SAPQD=LX2A/§X・3X=3V^/CZM2，

2

所以y=3y）；

②如图3,当点。与点C重合时，

图3

此时CP±AB,

所以AP=2AB,即2x=2,

2

解得x—\,

所以当2<xWl时，如图4,设P。、Q。与BC分别相交于点G、H,

3

图4

'：AP=2x,

：.BP=4-2x,AQ=2AP=4x,

：.BG=^BP=2-x

2

:.PG=&BG=«（2-x）,

:■SNBG=L又BG・PG=®(2-x)2,

22

"：AQ=2AP=4x,

：.CQ=AC-AQ=4-4x,

：.@H=MCQ=M(4-4X),

:&QCH=LXCQ，QH=®(4-4x)2,

22

』ABC=LX4X2百=4如，

2

；・S四边形尸G〃Q=SA/1BC-S&PBG-S^QCH-SZSAPQ

=4代-逅(2-x)2-近(4-4x)2-AX2XX2A/3X

222

=-」]«/+]8ax-6A/3-

2_

所以)，=_型凰2+18芯x-6A/3；

2

③如图5,当l<x<2时，点。运动在BC边上，

设与BC相交于点G,

图5

此时PG=8P・sin60°=(4-2x)x®=M(2-x),

2

VPB=4-2x,

：.BQ=2BP=2(4-2x)=4(2-x),

.,.BG=」BP=2-x,

2

：.QG=BQ-BG=3(2-x),

重叠部分的面积为：

SAPOG=LXPG・QG=LXV^(2-XA3(2-X)(2-X)2.

222

所以(2-x)2.

2

综上所述：y关于x的函数解析式为：

当0VxW2时，

3

当2＜九＜1时，y=-21V3r2+]8yx.673：

32

当1cx＜2时，y=$!巨(2-x)2.

2

八.四边形综合题(共4小题)

11.(2022•吉林)如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=6cm.动点P从点

A出发，以2cmis的速度沿边AB向终点B匀速运动.以PA为一边作NAPQ=120°,另

一边PQ与折线AC-C8相交于点Q,以PQ为边作菱形PQMN,点N在线段PB上.设

点P的运动时间为x(s),菱形PQMN与LABC重叠部分图形的面积为y(cm2).

(1)当点。在边AC上时，PO的长为。cm.(用含x的代数式表示)

(2)当点M落在边3c上时，求x的值.

备用图

【解答】解：(1)VZA=30°,NAPQ=120°,

AZAQP=30°,

：.PQ=AP=2x.

故答案为：2x.

(2)如图，

；/APQ=120°,

:.NMNB=NPQB=60°,

VZB=60°,

:./XMNB为等边三角形，

:.AP=PQ=PN=MN=NB,即AP+PN+NB=3AP=AB,

；.3X2x=6,

解得x—\.

(3)当OWxWl时，作。尸_LA8于点尸,

：.Q=1AQ=43X,

F2

"：PN=PQ=AP=2x,

：.y=PN・QF=2x・Mx=2M2.

当l<rW§时，QM,NM交BC于点、H,K,

2

：AB=6cmfZA=3O°,

•・AC=^~AB=3Mcm,

2

\CQ=AC-AQ=3«-2Mx,

・.QH=3CQ=3(3«-2yx)=6-4x,

V3V3

\HM=QM-QH=2x-(6-4x)=6x-6,

..△HKM为等边三角形，

』//也=近〃序=9盯/_18心+9通

4

.）=2«/-（9加/-18缶+9禽）=-7禽/+18岳-9我.

当旦＜xW3时，重叠图形△PQM为等边三角形，

2

PQ=PB=AB-AP=6-lx,

,•.)，=«「岸=如(6-2x)2=«/,6Mx+9«.

44

2V3X2(O<X<1)

-7V3X2+18>/3X-W3

综上所述，y=

V3X2-6V3X+9V3(y<x<3)

12.（2021•吉林）如图，在矩形A8C£＞中，AB=3cm,AD^y/Scm.动点P从点A出发沿

折线AB-BC向终点C运动，在边AB上以Ic血s的速度运动；在边BC上以JEcm/s的

速度运动，过点P作线段PQ与射线OC相交于点Q,且NPQO=60°,连接PD,BD.设

点P的运动时间为x（s）,△OPQ与△OBC重合部分图形的面积为y（cm2）.

（1）当点P与点A重合时，直接写出。。的长；

（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；

(3x的取值范

围.

【解答】解：（1）如图,

在RtZ\P£>Q中，AD=Mcm,/PQQ=60°,

.\tan60o=m=&,

DQ

：.DQ=J^AD—\cm.

(2)点P在AB上运动时间为3+1=3(s),

.•.点P在BC上时PB=M(x-3).

(3)当0WxW3时，点P在AB上，作PM_LCD于点M,PQ交AB于点E,作EN_LCO

于点N,

同(1)可得MQ=y3-AD=1cm.

3

/.DQ=DM+MQ=AP+MQ=(x+1)cm,

当x+l=3时x=2,

・・・0WxW2时，点。在OC上，

tanZBDC=^-=J^~,

CD3

.,./£>BC=30°,

VZP2D=60°,

：.ZDEQ=90°.

Vsin30°=M=A,

DQ2

:.EQ=^DQ=2LLL,

22

Vsin600=典=近，

_EQ2

：.EN=立_£0=亚_(x+1)cm,

24_____

：.V=XDQ-EN=1.(x+1)(x+1)=2^3.(x+1)2=V^V+2Z3.(0WxW2).

2248848

当2<xW3时，点。在DC延长线上，PQ交BC于点片如图，

A'O

DMNCQ

"CQ=DQ-£>C=x+l-3=x-2,tan600=这，

CQ

.•.CF=CQ・tan60°=5/3(x-2)cm,

22

S^CQF=^-CQ'CF=A(X-2)XA/3(X-2)=(2^-JC-2yp^x+2\l'^)cm,

22

"-y=S^DEQ--(^^r2-2愿%+2a)=(-生③各色③、

848284

-cm2(2<xW3).

8

当3cxW4时，点P在BC上，如图，

AB

DC0

,：CP=CB-BP=43-5/3(x-3)=(4A/3-V3x)cm,

：.y=lDC'CP=^X3(4A/3-Mx)=65/3-型或(3<后4).

222

与x2岑~x平(04x<2)

综上所述，y=,善V邛>x彗@(2<x<3)

6^3--^-x(3<x44)

13.(2020•吉林)能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中

AD=AG=5,AB=9.点£>,G分别在边AE,AB上，CD与FG相交于点H.

【探究】求证：四边形AG”。是菱形.

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD,将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺

时针旋转一定的角度，使点产与点C重合，如图②.则这两张平行四边形纸片未重叠部

分图形的周长和为56.

【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使

点E与点B重合，连接DG,CF,如图③，若疝/区4。=匹，则四边形。CFG的面积为

5

72.

图①图②图③

【解答】解：【探究】:•四边形A8CQ和AEFG都是平行四边形,

：.AE//GF,DC//AB,

：.四边形AGHD是平行四边形，

"：AD=AG,

四边形AGHD是菱形；

【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：

ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF=(ME+AM+AG+EF+NF+GN)+

(AD+BC+DM+MC+AN+BN)=2(4E+4G)+2(AB+AD)=2X(9+5)+2X(9+5)=

56,

9

厚B

故答案为：56；

【操作二】由题意知，AO=AG=5,ZDAB^ZBAG,

又AM=AM,

.♦.△AA〃住ZXAMGCSAS),

：.DM=GM,ZAMD=ZAMG,

：NAA〃)+/AMG=180°,

...NAM£)=/AMG=90°,

VsinZBAD=A,

5

•.--D-M-—4>

AD5

：.DM=-^AD=4,

5

.•.QG=8,

:四边形ABC。和四边形AEFG是平行四边形，

：.DC//AB//GF,DC=AB=GF=9,

：.四边形CDGF是平行四边形，

VZAMD=90°,

：.ZCDG=ZAMD=90°,

四边形CDGF是矩形，

：.S^DCFG=DG'DC=SX9=12,

故答案为：72.

14.（2021•吉林）如图①，在RtZVIBC中，/4CB=90°,ZA=60°,CD是斜边A8上

的中线，点E为射线BC上一点，将△BQE沿。E折叠，点B的对应点为点F.

(2)若。尸，BC,垂足为G,点尸与点。在直线CE的异侧，连接CF,如②，判断四

边形ADFC的形状，并说明理由；

(3)若。尸J_AB,直接写出N8OE的度数.

【解答】解：(1)如图①，在RtZ\ABC中，NACB=90°,

•.,CD是斜边AB上的中线，AB=a,

：.CD=^AB=^a.

22

(2)四边形AOFC是菱形.

理由如下：

如图②于点G,

/.ZDGB^ZACB=90°,

：.DF//AC；

由折叠得，DF=DB,

'：DB=1AB,

2

：.DF=X\B-,

2

VZACB=90°,NA=60°,

AZB=90°-60°=30°,

:.AC^1AB,

2

：.DF=AC,

，四边形AOFC是平行四边形;

-：AD=1AB,

2

：.AD=DF,

...四边形ADFC是菱形.

(3)如图③，点尸与点。在直线CE异侧，

'：DF±AB,

:.NBDF=90°；

由折叠得，NBDE=NFDE,

二/BDE=ZFD£=Ax90°