湖南省2021届高三调研考试数学试卷

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湖南省2021届高三调研考试数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

注意事顼：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案

正确填写在答题卡上

一、选择题

1.若集合人日刈/一代。},8={x|lgx<0},则ADB=（）

A.（-2,1）B.（-2,2）C.（0,1）D.（0,2）

2.已知命题p：VxeR,x2>0»则一是（）

A.VxeR>%2<0B.VxsER>x2>0

C.HxoeR>x^>0D.玉°eR,x：<0

3.复数Z]=cosx-isinx,z2=sinx-icosx,贝l||z「Z2|=（）

A.1B.2C.3D.4

4.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格

的人数分别为30和35,两项都不合格的人数为5。现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成

两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽

出来复测的同学中两项都合格的有（）

A.1人B.2人C.5人D.6人

5.如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为0,3为此时太阳直射纬度（当地

夏半年取正值，冬半年取负值），（p为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间,

即6日-23。26，,23。26rl.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬

39。54,27”,若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（）

A.北纬5。5,33"B.南纬5。5,33"

C.北纬5。5427"D.南纬5。54,27"

6.若函数〃同=加+3-1»2-2》为奇函数，则曲线y=/（x）在点（-1,〃-1））处的切线方程为（）

A.y=x+4B.y=x-4C.y=x+2D.y=x-2

22

7.已知不同分别是双曲线当-±=1（。>0,方>0）的上、下焦点，过点居的直线与双曲线的上支

ab~

交于点P,若过原点0作直线P8的垂线，垂足为|OM|=a,舞［=3,则双曲线的渐近线

方程为()

3435

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±—x

4353

22

8.己知团二21n兀，n=------,p=-------,则（）

In7i-l2-ln兀

A.n>m>pB.p>n>mC.m>n>pD.n>p>m

9.在△4BC中，|/=2，|AC|=1.AB+AC=2AP'则下列结论正确的是()

A-PBPC>0B-PB+PC=0

__ii____3

c.PB=-AB——ACD.AP-BP=——

224

二、填空题

1O.(X2+D(X-2)6展开式中含f的项的系数为.(用数字填写答案)

X

11.一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出

3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是：若变量X为取出的三个小球中红球的个数,

则X的数学期望E(X)=.

12.如下图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为

的斜边AB、直角边BC,AC,点N为AC的中点，点。在以AC为直径的半圆上.已知

以直角边AC,8c为直径的两个半圆的面积之比为3,sinADAB=~,则cosN£WC=

5

13.已知正方形的棱长为1,以顶点为球心，子为半经作一个球，则球面与正方体的表面相交所

得的曲线的长等于.

三、多项选择题

14.已知函数/(x)=2(|cosx|+cosx)・sinx，给出下列四个命题()

A./(x)的最小正周期为兀B.“X)的图象关于直线工=巴对称

C./(x)在区间-工二上单调递增D./(x)的值域为［-2,2|

44

15.在棱长为1的正方体ABC。-ASG。中，M,N分别为的中点，点P在正方体的表面

上运动，且满足MPJ_CN,则下列说法正确的是()

a

A.点P可以是棱SB1的中点B.线段的最大值为三

4

C.点尸的轨迹是正方形D.点尸轨迹的长度为2+«

16.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个

球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X,,,恰有2个黑球的

概率为P,，恰有1个黑球的概率为或，则下列结论正确的是()

*167

A.p、=—»%=—

-27~27

B.数列｛20,,+%-1｝是等比数列

C.X,,的数学期望E(X.)=1+(g)"(”eN")

D.数列｛2｝的通项公式为neN-)

四、解答题

17.已知△ABC的面积为40,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)b和c的值；

(2)sin(A-B)的值.

条件①:t/=6,cosC=-1；

7

条件②:A=C,COS3=-K.

9

18.已知数列｛q｝的前n项和S“满足2S"一％=3"(〃eN*),且%=5.

(1)证明：数列｛%｝为等差数列，并求其通项公式；

(2)设［=I—1——产,7；为数列｛包｝的前〃项和，求使7；>且成立的最小正整数〃的值.

向+—也10

19.如图，在直三棱柱ABC-A8c中，AB=AC=2，A4,=4«AB1AC>BE_L4耳交于点

E,。为CG的中点.

（1）求证：应;，平面A4。；

（2）求二面角C—Ag-。的余弦值.

20.红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一

只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（D的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模

型①y=e.②>=4+4分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得

到图2所示的残差图.

K80

60

40•

20••

0--it------------一4.

182022242628303234温度Wt

图1产卵数IS点图

根据收集到的数据，计算得到如下值：

888

(8

-乃2Z—)2z(%-,)&-7)

^(z,.-Z)(x,.-x)

Xztl=\/=li=l

/=1

252.8964616842268848.4870308

1x18

表中z,=lny；z=-£zr,；%=x；；F=-£f;；

Oz=l3i=\

（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），

并求温度为34n时，产卵数少的预报值.

参考数据：e54'x224,e550®245，e5-59»268.

附：对于一组数据（⑥，V,）.（牡，匕），…，（七，v„）,其回归直线£=&+砌的斜率和截距的最

V0M-ncov

小二乘估计分别为方=与----------a=v-pa>.

2_^cor>>-nc—o2~

i=\

22

21.已知椭圆C:—+^-=1.

42

(1)求椭圆C的离心率和长轴长；

(2)已知直线>=履+2与椭圆C有两个不同的交点,P为x轴上一点.是否存在实数左，使得

△P43是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出发的值及点尸的坐标；若不存在，

说明理由.

22.已知函数〃x)=e*-or+sinx-1-

(1)若函数/(x)在(0,+8)上为增函数，求实数a的取值范围；

(2)当14〃<2时，证明：函数g(x)=(x-2).f(x)有且仅有3个零点.

参考答案

1.答案：C

解析：

2.答案：D

解析：根据全称命题的否定为特称命题，

则—1P是“3%oeR，X；＜0”.

故选：D.

3.答案：A

解析：

4.答案：C

解析：由题意，该班级中，两项测试都合格的一共有(30+35)-(45-5)=25(人)

所以抽出来复测的同学中，两项测试都合格的一共有25x2=5(人)

45

5.答案：B

解析：

6.答案：C

解析：

7.答案：A

解析：

8.答案：D

解析：

9.答案：BCD

解析：

10.答案：-100

解析：

11.答案：—

105

解析：

“.答案：陪

50

解析：

13.答案：5,兀

6

解析：

14.答案：CD

解析：

15.答案：BD

解析：

16.答案：BC

解析：

17.答案：若选择条件①：

解：（1）在△ABC中，因为cosC=-4，

3

所以Ce（■|■,兀），sinC=Jl-cos?C=2f.

因为S=LabsinC=40,“=6,所以〃=2.

2

由余弦定理，c2=a2+b2-2a〃cosC=48,

所以C=4X/5.

若选择条件②：

在△48C中，因为A=C,所以Q=C.

因为cos5=-Z,所以(二，兀］,sinB=Vl-cos2B=.

912J9

因为S=—acsinB=—c2x4及=4后,

229

所以a=c=30.

由余弦定理，h2=a2+c2-2«ccosB=M,所以b=8.

(2)

若选择条件①：

4G

由正弦定理一乙=—L=—J,可得一9一=二_=2&.

sinAsinJ?sinCsinAsin53

所以sinA=^^,sinB=.

39

因为A,BE(0,0,所以cosA=巫,cos5=%，3.

I39

由W•/am•.p人,R屈5超g屈44

m以sin(A-8)=smAcosB-cosAsmB=——x------------x——=——

39399

若选择条件②：

在△ABC中，因为A=C,所以

771

因为cosB=—,所以Be,sinB=V1-COS2B=

95"9

c2#=4技

因为S=—tzcsinB=—

22

所以。=c=3\/2.

由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=64,所以b=8.

由正弦定理得/一,

sinAsinB

w•Aa-o3叵4&1

所以sinA=—sm3=-----x------=-.

h893

因为A£（O，T）,所以cosA=Jl-sin?A=2^.

23

所以sin（/4一B）=sinAcosB—cosAsinB

2T7

解析:

18.答案：解：（1）由2s“一解,=3九口可得,

当〃之2时，2Szi_1-（/i-l）^_1=3（n-l）n,

□一口得，（〃-一（〃-2）々〃=3（〃22）,

所以当〃23时，（〃一2"〃_2-（〃一3）%_]=3,

所以（九―—（〃―2）%=（〃—2）4T一（〃一3）q-，

整理得4+*（〃23）,所以｛an｝为等差数列.

又2$—4=3,所以4=3,又“2=5,所以生—4=2,

所以=2/l+l（〃£N*）.

]___________________1__________

（2）由（1）可得，bn=

a“4^+a“+访乩.向?（照+而二"）

15/2/+3—\/2〃+1

=—.—--.----=——

―2〃+1•，2〃+3（，2/?+1+12二+3）2V2n+1.v2/?+3

要使G东只呜太悬力非

解得〃＞袋，又所以〃的最小值为8.

8

解析：

19.答案：（1）因为三棱柱A8C-A4G为直三棱柱，所以44t，平面ABC，

所以A4,_LAC.

因为AC_LAB，ABoAA,=A.所以AC_L平面A4tBi氏

因为5Eu平面所以ACJ.8E-

因为BELAB］，ACcAB|=A，

所以8E_L平面ABC-

（2）由（1）知AB,AC,A41两两垂直，

如图建立空间直角坐标系A-xyz.

则A(0,0,0),4(2,0,4),0(0,2,2),8(2,0,0).

设E(0,0,a),所以而=(0,2,2),函=(2,0,4),砺=(—2,0,a)>

因为AB_LBE，所以4。-4=。，即a=l.

所以平面AB,C的一个法向量为丽=(-2,0,1)-

设平面ABQ的法向量为G=(x,y,z)，

所以，.竺=0所以(2y+2z=0,艮小=-z,

[n-AB]=0[2x+4z=0.[x=-2z.

令z=-l，则x=2,y=l,

所以平面ABQ的一个法向量为]=(2,1,-1)-

n-BE-5

所以cos<BE,n>=

\n\\BE\76x75

由已知，二面角C—A4—£＞为锐角，

所以二面角C_A5_£＞的余弦值为画.

6

解析：

20.答案：（1）应该选择模型①.

由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄,

所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适.

（2）令z=lny,z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则2=右+左.

88

^z-nxz2；(x,.-x)(z,.-z)4gig

b=«0.29,

工6玉2-nr—26'(/七7—)\2168

；=1i=l

所以2=5-8亍=2.89—0.29x25=T.36,

则z关于x的线性回归方程为2=0-29%-4.36

于是有lny=0.29x—4.36,

人029v-436

所以产卵数y关于温度x的回归方程为y=e

Q/V-0.29X34-4.36_5.50〜

当x=34时，y-eA—e«40（个）

所以，在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为245个.

解析：

21.答案：解：（1）由题意：CT=4,6=2,所以“=2.

因为a2=，2+c2,所以02=2,。=0.

所以e=£=也.

a2

所以椭圆c离心率为孝，长轴长为4.

y=kx-\-2

（2）联立・冗2y2_消y整理得：（2炉+1）^+8&*+4=（）.

因为直线与椭圆交于A3两点，故△＞（）,解得公＞L

2

设A（M，y），8（程丫2），则<+%=,五；，%入2二彳

ZK+1Z/C+1

设A3中点G（Xo，%）,

,C2

%=@)+2=-z——，

°°2标+1

_必2]

故G2r+1'2r+1J

假设存在左和点尸（肛0）,使得△尸A8是以尸为直角顶点的等腰直角三角形,

则PGJ_A8,故须GMM=T

2

所以2甘+1XL=T解得小,故尸

Yk2k2+1

——----m志。1

2二+1

又因为/AP8=二，所以两•而=0.

2

所以（％_加,乂）,（工2_m，、2）=0，即（玉_机）（西一机）+y%