贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（文）试题

毕节市2023届高三年级诊断性考试(一)

文科数学

本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡相应位置上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束，监考员将答题卡收回.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数z="~+"+("+1)1为纯虚数，则实数。的值为()

A.0B.0或-1C.1D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的类型可得出关于。的等式与不等式，解之即可.

【详解】因为复数z=/+a+(a+i)i为纯虚数，则］"+"一，解得。=0.

'7a+lwO

故选：A.

2.设集合4={-2,-1,0,1,2},B={X|2X2-5X<0},则Ac仅3)=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-2,—1,0}D.{-2,—1}

【答案】D

【解析】

【分析】首先求集合B,再根据集合的运算求A(43)

【详解】2d一5x<0,解得：所以8=

2I2J

所以条B={x|x<0或x>g),

因为4={-2,—1,0,1,2},

所以Ac(QB)={-2,T}.

故选：D

3.已知数列｛。“｝的通项公式为%=2",则4一。2+4-%++的一40的值为（）

2(1+叫.2(5。)

B,2(2'°+1)cD

33

【答案】D

阿斤】

【分析】根据给定条件，判断为等比数列，再利用等比数列前"项和公式计算作答.

(-1)4

【详解】依题意，（—I）"%”=（一。12’,是首项为2,公比为-2

(-1广%

等比数列,

2[1-(-2)10]2(1-210)

所以4—a+—ci+-+cig—ci

24w1-(-2)3

故选：D

4.某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种.甲型号的

船比乙型号的船少5艘.若只选择甲型号的，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满.若

只选择乙型号的，每艘船载3人，则船不够：每艘船载4人，则有多余的船.甲型号的船有（）

A.9艘B.10艘C.II艘D.12艘

【答案】B

【解析】

【分析】设甲船有x艘，则乙船有（x+5）艘，根据题意列出不等式组，解之即可得解.

【详解】设甲船有x艘，则乙船有（x+5）艘,

4%<48<5x

由题意可得《3(x+5)<48<4(x+5-l),解得96<x<U，

又因为x为正整数，所以x=10,

即甲型号的船有10艘.

故选：B.

5.已知向量a=(d-3,x),b=(2,1),则“x=3”是"4与人同向”的O

02/21

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】先求出a与。同向的x的值，再利用条件定义判断.

x~—3尤

【详解】因为当。与/，同向时，---=即x=3或—1(舍)；

21

所以"％=3”是"a与匕同向”的充要条件.

故选：C.

6.图(1)是由正方形ABC。和正三角形组合而成的平面图形，将三角形沿折起，使得

平面24。J_平面ABC。，如图(2),则异面直线依与。。所成角的大小为()

图⑴

A.15B.30C.45D.60

【答案】C

【解析】

【分析】由平面平面ABCD,/记,仞可得筋人平面如。，从而A」B_LQ4.由AB0c可

知NPBA为异面直线P8与。。所成角，从而得解.

【详解】.••平面平面ABCD,平面A4£>c平面ABC£>=AD，ABu平面ABC。，ABVAD,

，ASI平面PA£>，又尸Au平面2LD，，筋，叫.

VABDC,.•./PBA为异面直线形与。。所成角,

VPA^AB，：.ZPBA=45°.

故选：C.

7.如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统

一的和谐美，若函数Ax)的图象能将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称/(x)为这个圆的一个“太

极函数”.已知函数/("=刀3+瓜2+3%是圆*-1)2+日一］)2=1的一个太极函数，若函数

g(x)=/(x)-小+12有两个极值点，则实数用的取值范围为()

A.(O,+8)B.[0,+oo)

C(-oo,0)D.(-oo,0]

【答案】A

【解析】

【分析】首先由题意，可知函数/(X)关于点(1,1)对称，列式求。，再根据函数有2个极值点，转化为

g'(x)=0有两个不相等的实数根.

【详解】圆(X-1了+(y-1>=1的圆心为(1』)，若函数f(x)=x3+，2+3x是圆的太极函数,

则函数关于点(1,1)对称，则VxeR,有〃2-x)=2-"x),

即(2—xy+Z?(2—x)?+3(2—》)+丁+法2+3%=2,

整理为：(6+2Z?)f—(12+4Z?)x+4Z?+12=0恒成立，

解得：b=-3,

则函数g(x)=,f(x)-，四+12=%3-3/+(3-〃7)X+12,

g'(x)=3f-6x+3-w,若函数g(x)有两个极值点，则g'(x)=0有两个不相等的实数根，

则A=36—4x3x(3—〃?)>(),解得：机>0.

故选：A

8.给出下列命题：

①函数/(刃=2'-％2恰有两个零点；

②若函数"X)=x+—(a>0)在(0,+8)上的最小值为4,则。=4；

③若函数/(X)满足/(x)+/(l—X)=4,则+/(')=%

④若关于x的方程2国一胆=0有解，则实数机的取值范围是(0,1].

其中正确的是()

A①③B.②④C.③④D.②③

04/21

【答案】D

【解析】

【分析】①利用图象，转化为函数交点问题，即可判断；

②利用基本不等式，即可求解；

③结合条件，找到规律，即可求解；

④参变分离后，转化为求函数的值域，即可求解.

【详解】①当x>0时，/(x)=2*-f有2个零点，2和4,

根据y=V和y=2,可知，当x<0时，函数/(x)=2、-f有1个零点，

所以函数/(x)=2、有3个零点，

故①错误；

②/(同=%+q226,(。>0),即2G=4,得a=4,故②正确；

X

③UPS/+哈卜8①,.楣卜用++*18,②

且因为f(x)+/(l-X)=4,则

所以①+②=4x9=36,

④若关于x的方程28一m=0有解，则加=2凶，因为国之0,则根“，故④错误.

故选：D

9.已知点P在直线/：3x+4y-33=0上，过点p作圆C：(x—l)2+y2=4的两条切线，切点分别为A,6,

则圆心C到直线AB的距离的最大值为()

4

BC.1D.

-13

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，设P(m,〃)为直线/：3%+4y-33=0上的一点，由圆的切线的性质得点A3在以CP

为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆C的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线A8恒

过的定点，由点到直线的距离分析可得答案.

【详解】由题意可得C:(x-+V=4的圆心C(l,0)到直线/:3x+4y—33=0的距离为

.13-331

a=------=o>Z,

5

即/:3x+4y-33=0与圆相离；

设?(加,〃)为直线/:3x+4y—33=0上的一点，则3加+4〃-33=0,

过点P作圆C:(尤一1)2+V=4的切线，切点分别为AB,则有CALPACELPB,

则点A8在以CP为直径的圆上,

以CP为直径的圆的圆心为（5,2）,半径为r=1.1cP1=1,

2222

则其方程为+（y_t）2=+〃一,变形可得f+y2—（m+1）尤一〃y+m=o,

1）2+v2=4

联立八22/\，可得：（S-l）X+〃y-a—3=°，

\x"+y-（机+l）x-几y+=0

又由36+4〃-33=0,则有4（加一1）%+（33-3〃。丁一412=0,

变形可得皿4%—3丫-4）-4%+33丁-12=0,

06/21

4尤一3y一4=0

则有《

-4x+33y-12=0

7Q727X

设“（M，石），由于［-1）2+（百）2<4,故点”（土石）在C:（x—lf+y2=4内,

则CB_LAB时，C到直线AB的距离最大，

2

其最大值为|CM|=

3

故选：B

10.正方体ABC。—4耳GA的棱长为J5,点M为44的中点，一只蚂蚁从M点出发，沿着正方体表

面爬行，每个面只经过一次，最后回到M点.若在爬行过程中任意时刻停下来的点与“点的连线都与AG

c.3百D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知蚂蚁从M点出发，沿着与AG垂直的正方体ABC。-4月GR的截面爬行，回到M

点，作出蚂蚁爬行得路线，求得相关线段长度，即可求得答案.

【详解】由题意可知蚂蚁从M点出发，沿着与AG垂直的正方体耳G2的截面爬行，回到M

点,

设E,F,G,H,P为gB,BC,CD,RA的中点，连接ME,EF,FG,GH,HP,PM,

连接4。,则PH〃4。,尸"而4M〃OG,AM=OG,即四边形A"GO为平行四边形,

故4。〃例6,4。=知6,所以尸”〃加6,尸”=^MG,

故四边形为梯形，则延长MRG”必交于一点，设为N,

则MRG"确定一平面，设a,

同理可证从庐〃即，GF〃EH,;.GF〃MP,

而Gwa,故G/7ua,同理可证EEua,MEua,

即忆七,£6,"/共面,该平面即为&；

又A4,，平面44GA，加u平面A4GA，故44,LPM，

又PM〃BQ],BR±4G，，PM±4cl,

而AA|/AjC]=Ax,AA,AGu平面AA]G,故PA/_L平面AA|G,

Agu平面A4C，故P"，AG，同理可证PHJ_AC-

而PMPH=P,PM,PHua,散ACJa,

即平面a即为过点M和AG垂直的平面，

则蚂蚁沿着ME,EF,FG,GH,HP,PM爬行,

由题意可得ME=EF=FG=GH=HP=PM==1,

故爬行的总路程为6,

故选：B

08/21

11.已知。=31og83,〃=一!logJ6,c=log43,则。，h,c的大小关系为（）

25

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【解析】

【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性化筒a,Ac,并判断范围，采用作差法结合基本不等

式可判断即可得答案.

10g

【详解】由题意可得a=310gg3=3x-^=log23>1,

logaZ

,1.I,1log,16.,

八.c,

b=—log,16=—x-------=log3,4>1

2I2,1，0<c=log43<l,

Og33

2

V1q।.Ig3lg4（Ig3）-lg21g4

又log23-log34=告一1=s's，

lg2lg31g21g3

由于lg2>0/g4>0,lg2wlg4,，lg21g4〈（里竽&）2=（ig而）2<Qg3）2,

故Iog23-log34>0,.,.a>bf

综合可得

故选：A

FF

12.已知"，鸟为双曲线。的两个焦点，以坐标原点。为圆心，半径长为I周生I的圆记为。，过大作。的

3-

切线与C交于N两点，且cosNE”=g,则。的离心率为（）

A86+4D4石+8

1113

C8百+4D96+3

-n-'13

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用几何关系表示焦半径的长度，结合双曲线的定义，即可求解.

【详解】如图，点E为切点，则OELMN,过点/作与F_LMN,垂足为点/，则用//0E,

因为|OE|=r=B，|04|=c,则|环|=@°，

22

因为点。是线段片行的中点，所以点E是线段耳尸的中点，则|W|=gc,|尸周=c,

因为cosNf；NK=|,则tanN£N鸟=；则|N/|=(c,|N玛|=(c,

因为|N片|TNE|=2a=Gc+；c-(c=2a,

解得：£/占上4

a11

即双曲线的离心率为8百+4

11

故选：C

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第

22、23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某机床生产一种零件，10天中，机床每天出的次品数分别是：

则该机床的次品数的中位数为.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】把给定数据按由小到大的顺序排列，再求出中位数作答.

【详解】10天中的次品数由小到大排成一列为：0,0,0,1,1,2,2,2,3,4,

1+23

所以该机床的次品数的中位数为——=-.

22

,3

故答案为：—

2

14.勒洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作圆弧，三段圆弧

10/21

围成的曲边三角形(如图)，己知椭圆工+[=1(0<人<2)的焦点和顶点能作出一个勒洛三角形，则该

4b-

勒洛三角形的周长为.

【解析】

【分析】根据给定条件，求出正三角形的边长，再利用弧长计算公式计算作答.

22

【详解】因为椭圆土+[=1(0<〃<2)的焦点和顶点能作出一个勒洛三角形，令其半焦距为c,

4b-

则点(-c,0),(c,0),(0,b)或(—c,0),(c,0),(0,一份或(-c,0),(0,份,(0,—加或(c,0),(0,垃(0,一份为一正三

角形的三个顶点，

于是得正三角形边长为+万=如=2,显然勒洛三角形三段圆弧长相等，所对圆心角为:，

7T

所以该勒洛三角形的周长为3x：x2=27i.

故答案为：2兀

71

15.已知函数丁=$山/x(<y>0)在区间0,-上恰有两个零点，则。的取值范围为.

【答案】[2,4)

【解析】

【分析】由题意求出3xe[0,空],结合题意结合正弦函数性质列出不等式，求得答案.

2

【详解】当时，则3xe[0,丝]，则/(0)=0,

L2J2

兀

要使y=sin0x(<y>O)在区间0,-上恰有两个零点，

则兀〈处<2兀，解得240<4,

2

即。的取值范围是[2,4),

故答案为：［2,4）.

!1=卜“+2，〃为田数，则数列---------!--------1的前〃项和

16.已知数列｛4｝满足q=1

n

【答案】

6〃+4

【解析】

【分析】先根据递推关系式求出。2〃，然后利用裂项相消法求和.

【详解】由题意可得。2="1+2=3,%”=%“-1+2=。2”-2+3,〃22,

所以｛4〃｝是以3为首项，3为公差的等差数列，所以％“=3+3（〃-1）=3〃,

]_[_}_(_______1_

(«2n—1)(«2„+2)(3〃一1)(3〃+2)3、3〃-13〃+2

]

设数列，的前〃项和为S“,

(%，，一1)(4"+2)

则s〃=」仕一!］+卑」］++-f———U-f--一

“3（25）3（58J3（3〃-13n+2J3123n+2）6〃+4

故答案为：—.

6/1+4

三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.2022年11月21日到12月180,第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某机构将关注这件赛事中

40场比赛以上的人称为“足球爱好者”，否则称为“非足球爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群

中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：

足球爱好者非足球爱好者合计

女2050

男15

合计100

（1）将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为足球爱好与性别有

关？

（2）现从抽取的女性人群中，按“足球爱好者”和“非足球爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后

12/21

再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“足球爱好者”的概率.

附：K2=----------、一,--,其中〃=。+人+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.100.050.0250.0100.0050.001

k（）2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）表格见解析，能

【解析】

【分析】（1）根据所给数据补全表格，根据公式计算K?即可判断；

（2）将选中的5人编号，用枚举法列出所有的可能，即可求出概率.

【小问1详解】

足球爱好者非足球爱好者合计

女203050

男351550

合计5545100

K'幽空延-冲3空=100。9.091>7.879，

55x45x50x5011

能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为足球爱好与性别有关.

【小问2详解】

依题意，从女性人群中抽取的5人中，是“足球爱好者”的有2人，设为A，4；“非足球爱好者”的有3人，

设为用，B2,层.

随机选出3人的情况有：4劣4，44与，44名，其用与，4g片，45%,aB3,

A,B2B3,A2

A遇B3,BtB2B3,共10种,

其中至少有人是“足球爱好者”的情况有：瓦，，员,当名，,

144A,AB2,4A44A44,4

44员,A>B2B3,共9种,

则选出的3人中至少有1人是“足球爱一好者”的概一率为：P=^9.

4IB

18.己知LABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,C.若氏os-----=csinB.

2

（1）求角C；

（2）若c=G，求边上的高的取值范围.

2兀

【答案】（1）C=—；

3

3

（2）（0,-）.

2

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答.

（2）由（1）可得8e（0,；）,再利用三角形面积公式计算作答.

【小问1详解】

TT—C

在.ABC中，由正弦定理及A+5=%—C,得sinBcos----==sinCsinB,

2

CCC1。,曰，即sinBwO,singwO,

即有sinBsin—=2sin—cos—sin8,而A,_Be（0,不）,一e

222'’21

E,uC\CTt

因此cos——,—=—,

2223

所以C=§.

3

【小问2详解】

令-ABC边上的高为人，

由SABC=-—acsinB,得〃二百sinB，

由（1）知，Be（0g）,即sinBe（0，¥），则力=瓜缶8e（0,•!>-

3

所以BC边上的高的取值范围是（（）,一）.

2

19.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，24,底面M,N分别为CD,PD的中点，AC

与BM交于点E,AB=672>AO=6,K为94上一点，PtC=-PA.

3

14/21

(1)证明：K,E,M,N四点共面;

(2)求证：平面B4C，平面技⑷放.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据三角形中等比例性质证明K"PC,再证明MNPPC,从而KEMN,所以K，E，

M,N四点共面；

(2)先通过线面垂直性质定理证明身0,再由勾股定理证明AC_LBM,最后由线面垂直证明面

面垂直

【小问1详解】

证明：连接KE

四边形488是矩形，M为8的中点,

.•.CM〃45且CM^-AB,

2

CECM1

PK^-PA,

3

:.PK=>KA,

2

.PK_CE

'~KA~~AE'

：.KE//PC,

M,N分别是CO,PO的中点，

.-.MN//PC，

：.KE//MN,

：.K，E,M,N四点共面.

【小问2详解】

证明：；Q4_L底面ABC£>且8Wu平面45c。，

:.PAVBM，

AB=6\[2>AD=6，M为C£>中点，

/.CM=3\/2>AC=6A/3>BM=3娓,

：.EM=-BM=y/6,CE=-AC=2y[3,

33

CE2+EM2=MC2，

71

:.ZMEC=~,:.AC±BM,

2

QB4IAC=A,Q4u平面PAC,4?匚平面24。，二四0_1平面尸4。，

8Wu平面8MMn••・平面Q4C,8MNK.

20.已知函数〃x)=(。-x)ln%.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)若函数/(X)在(0,+8)上单调递减，求实数〃的取值范围.

【答案】(Dy=(a—D(x—1)

(2)a<--v

e

【解析】

【分析】(1)先求出/(1)=(),借助导函数求得了进而可得切线方程.

(2)函数/(X)在(0,+8)上单调递减等价于/'(力=则竺子卬40成立，令g(x)=—xlnr—x+a,借

助导数判断g(x)单调性，进而得到最大值，则有±+a40,进而可得答案.

e

【小问1详解】

16/21

根据题意,

函数/(X)的定义域为(0,+8),"1)=0，

/,(x)=-lnx+^—

曲线”X)在点(1，/⑴)处的切线方程为>=(。-1)(》一1).

【小问2详解】

/(力的定义域为(0,+8)

1a-x-xlnx-x+a

f(x)=-Inx+----=------------

xx

令g(x)=_xlnx-x+Q

g'(x)=-lnx-2

令/(x)=0=>x=5

g[x)>0=0<x<4

g，(x)<0nx>!

；.g(x)在(o,j)上为增函数，在±,+oo]上为减函数，g(x)max=g(/')=*'+“

/(x)为单调递减的函数

—~+a<0

e~

aW——.

e-

21.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸，点。(2p,0),过尸的直线交C于M,N两点.当直线MZ)

垂直于x轴时，|MF|=5.

(1)求C的方程；

(2)在X轴上是否存在一定点Q,使得?若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

从①点N关于X轴的对称点N'与M,。三点共线；②X轴平分NMQN这两个条件中选一个，补充在题

目中“”处并作答.

注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】（1）y2=4x

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）当直线垂直于x轴时，点M的横坐标为2。，根据抛物线的定义，|“川=々+2〃=5,

则C的方程可求；

（2）若选①，设直线MN的方程为：x=my+\,与抛物线方程联立，结合韦达定理求得直线MN'的斜

率，得直线肱V'的方程即可判断；

若选②，设直线的方程为：x^my+l,与抛物线方程联立，设Q（f,O）,由题意上M°+心/°=。，结

合韦达定理得4m。+1）=0对任意的,"eR恒成立，则］=一1,得出答案.

【小问1详解】

当直线垂直于x轴时，点M的横坐标为2P

根据抛物线的定义，|MF|=f+2p=5,.”=2

则抛物线方程为：/=4x.

【小问2详解】

若选①，若直线MN_Ly轴，则该直线与曲线C只有一个交点，不合题意，

厂（1,0）,设直线MN的方程为：x=〃?y+l,设A7（X|，x）,N（x2,y2）,N'（x2,-y2）

x=my+1.

联立《2-，得/_4切_4=0,△=16m2+16>0恒成立

[y-=4x

得y+>2=4根，X>2=-4

k_X+>2_4m_4m_4_4y

直线MN'的斜率M*x]-x2x]-x2m（y,-y2）Y>；+4

,%

.­■直线MN的方程为y—X=鲁Z（x一西）

24y

由>，化简得y=17（x+i）

14芳+4

18/21

，直线A1N'过定点(TO),，存在。(TO)

若选②，若直线MN_Ly轴，则该直线与曲线。只有一个交点，不合题意,

F(l,0),设直线MN的方程为：x=my+\

设N(X2，y),设。(t,0)

x=my+1

联立〈2；，得丁o一4/2一4=0,4=16根2+16>0恒成立

y=4x

得乂+%=4根，=-4

x轴平分NMQN

-k+k_X।%一一।乂

MQ

NO玉-fx2-tmy}+1-rmy.,+]一/

=乂(阳2+1T)+%(冲i+1—)_2阳+(i-I(Y+%)

(/nj,+l-r)(my2+l-z)+l-/)(my2+1-/)

=--------8--m---+--4--m--(--l--z-)-----=(j_

(my,+l-r)(my2+l-r)

-8m+4m(l-r)=0,即4加。+1)=0对任意weR恒成立，贝心=一1.

，存在。(T,O).

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅

笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.

选修4-4：坐标系与参数方程