临沧市重点2022年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为二，则①处应填的数字为

x+y>-\

2.若实数工，丁满足不等式组x-2y«-l，则2x—3y+4的最大值为（）

2x-y-\<0

A.-1B.-2C.3D.2

3.已知AABC是边长为1的等边三角形，点O,E分别是边AB,8C的中点，连接OE并延长到点尸，使得

DE=2EF,则通•配的值为（

115

A.—B.-

84

4.已知直线/：y=2x+10过双曲线二-马=1（。>0为>0）的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方

a~b~

程为（）

A,看上=]B,匚£=1C.目D.三上=1

52020516916

1+z

5.在复平面内，复数百一直对应的点位于（）

（17）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.如图，在平行四边形ABC。中，。为对角线的交点，点P为平行四边形外一点，且AP||OB,则由

()

A.DA+2DCB.^DA+DC

C.2DA+DCD.|DA+1DC

7.已知集合人=/Ix>0},B={xIx2-x+b=O},若AcB={3},贝！|。=()

A.-6B.6C.5D.-5

8.已知集合A={x|xWa,a€/?},8={x[2'<16},若A5,则实数"的取值范围是()

A.0B.RC.(e,4]D.(-oo,4)

9.已知命题P：VxwR,sinx<1,则一1?为()

A.3x0e/?,sinx0>1B.VxeR,sinxNl

C.3x()eR,sinx0>1D.VxwR,sinx>l

10.若集合A={x||x|<2,xeR},B={y|y=—d,%e,则AcB=()

A.{x10<x<2}B.{x|x<2}C.{x|-2<x<0}D.0

22

11.已知双曲线「一号=1(4>分>0)的右焦点为尸，过户的直线/交双曲线的渐近线于A、B两点，且直线/的倾

斜角是渐近线Q4倾斜角的2倍，若行:=2而，则该双曲线的离心率为()

A3及H2g「而75

A.------B.------C.------nD.

4352

12.函数二(二)=+W的定义域为()

A.尼，3)U(3,+00)B.(-00,3)U(3,+oo)

C.，，+8)D.(3,+00)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知边长为4g的菱形ABCD中，/4=60。，现沿对角线8。折起，使得二面角4一8。一。为120。，此时点4,

B,C,。在同一个球面上，则该球的表面积为.

TF

14.已知平面向量4,b,巳满足|£|=1,151=2,a,5的夹角等于§，且(方一E)•(5-3)=0，贝!J|E|的取值

范围是•

15.已知A、B、C、P是同一球面上的四个点，其中24,平面ABC,A"。是正三角形，PA=AB=3,则该球

的表面积为.

16.己知函数/。)=、(2.-1),若关于x的不等式/'，一2》-2/+/3-3),,0对任意的》41,3］恒成立，则实数"的

取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在四边形A5C。中，AB//CD,N4BD=30。，AB=2CD=2AD=2,ABCD,EF//BD,且

BD=2EF.

(I)求证：平面AOE_L平面BDEF；

(H)若二面角C—8尸一。的大小为60。，求Cf与平面ABC。所成角的正弦值.

x=2+2cos«

18.(12分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为《日.(a为参数)，以。为极点，x轴的非负半轴

y=2sma

为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)直线/的极坐标方程是夕sin卜+2J=6射线。加：夕=看与圆C的交点为。、P,与直线/的交点为。,

求线段PQ的长.

19.(12分)某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出

的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温（单位:摄氏度0C）

有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为500瓶；如果最高气温低

于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表:

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数414362763

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为“（单位：瓶）时，）'的

数学期望的取值范围？

20.（12分）如图，在四棱锥P-A3CO中，底面ABCO为直角梯形，AD//BC,NAOC=90°，平面底面

ABCD,。为AO的中点，”是棱PC上的点且PA=PD=2,BC=-AD=l,CD=2.

2

（1）求证：平面PQ6_L平面以PA。；

（2）求二面角M-BQ-C的大小.

21.（12分）已知函数"x）=cos2x+2gsinxcosx-sin。.

（1）求函数y=/（x）的最小正周期以及单调递增区间；

（2）已知AABC,若/（C）=l,c=2,sinC+sin（B-A）=2sin2A,求AABC的面积.

22.（10分）已知在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且「=-C

sinB-sinC

（1）求角A的值；

（2）若。=百，设角3=6,AABC周长为y,求y=/（。）的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

考点：程序框图.

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我

们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案.

解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

Si是否继续循环

循环前11/

第一圈32是

第二圈73是

第三圈154是

第四圈315否

故最后当i<5时退出，

故选B.

2.C

【解析】

作出可行域，直线目标函数对应的直线/,平移该直线可得最优解.

【详解】

作出可行域，如图由射线A3,线段AC,射线C。围成的阴影部分（含边界），作直线/：2x—3y+4=0,平移直线

I,当/过点C（1,D时，2=2x-3丫+4取得最大值1.

故选：C.

D

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形.

3.D

【解析】

设丽=£，BC=b＞作为一个基底，表示向量诙=DF=^DE^^[h-a),

AF^AD+DF^~a+^-(b-a)=-a+^-b,然后再用数量积公式求解.

24、＞44

【详解】

设BA=a»BC=b»

所以诙=人而=，仔—不，而=3瓦仔_£),而=而+而=_工£+。,一

22、)24、124、)44

_____531

所以/53=-二.

故选：D

【点睛】

本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

【解析】

b=2a,再求双曲线方程.

【详解】

因为直线/：y=2x+10过双曲线「一』=1(。＞0力＞0)的一个焦点,

a~b~

所以尸(一5,0),所以c=5,

又和其中一条渐近线平行，

所以〃=2。，

所以储=5,b~=20»

所以双曲线方程为三-E=i.

520

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5.B

【解析】

化简复数为a+6的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.

【详解】

l+i_l+i_(l+i)i

'(1-z)2-2i-i

一l+i11.

=---=--1-1

222

对应的点的坐标为(一；，g］在第二象限

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

6.D

【解析】

连接OP,根据题目，证明出四边形AP。。为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案

【详解】

AB

P

连接OP,由AP||08,BPUOA处,四边形4PB0为平行四边形，可得四边形APOZ）为平行四边形，所以

__1131

DP^DA+DO=DA+-DA+-DC^-DA+-DC.

2222

【点睛】

本题考查向量的线性运算问题，属于基础题

7.A

【解析】

由Ac8={3},得3wB,代入集合B即可得b.

【详解】

•.•AnB={3},.-.3GB,.-.9-3+b=0,即：Z?=-6,

故选：A

【点睛】

本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.

8.D

【解析】

先化简8={x[2"<16}={x|x<4},再根据A={x[x<a,aeR},且43求解.

【详解】

因为8=卜12"<16}={x|x<4},

又因为A={x|xWa,awH},且AB,

所以。<4.

故选：D

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

9.C

【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.

【详解】

•全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P：VxeR,sinx<L

—>p:3x0GR,sinx0>1.

故选：c.

【点睛】

本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.

10.C

【解析】

试题分析：化简集合〃=[一2213=(T),0L二〃03=|-20]

故选C.

考点：集合的运算.

11.B

【解析】

先求出直线/的方程为y=(x-c),与,=±2*联立，可得A,5的纵坐标，利用衣=2而，求出。，》的

a--h'a

关系，即可求出该双曲线的离心率.

【详解】

Y2v?b

双曲线*—斗=1(a>*>0)的渐近线方程为7=±「工,

••,直线I的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍,

.,lab

・3/万

2ab

・•・直线，的方程为y=

a2-b2

2abc.2abc

与尸土21r联立,可得产一或。=、/

a3a2-b2a+b

•・・/二2而，

.2abc_2abc

・・+8223〃2_^2

:.a—5/3b9

:・c=2b.

a3

故选B.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题.

12.A

【解析】

根据幕函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.

【详解】

因为函数二=V3F3+;二,f三一三3

解得二2阻二H3；

二函数二（二）=、匚与+三的定义域为肉3）U（3,+为，故选A.

【点睛】

定义域的三种类型及求法：（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解；（2）对实际问题：由实际

意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解；⑶若已知函数二（二）的定义域为［二二］,则函数二（二（二））的定义域由不

等式二<二（二）=二求出.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.112〃

【解析】

分别取80,AC的中点/，N,连接MN,由图形的对称性可知球心必在MN的延长线上，设球心为。，半径为

R,ON=x,由勾股定理可得x、R2,再根据球的面积公式计算可得；

【详解】

如图，分别取30,AC的中点”，N,连接MN,

则易得AM=CN=6,MN=3,MD=2«，CN=3百，

由图形的对称性可知球心必在MN的延长线上,

K=f+27

设球心为。，半径为R,ON=x,可得解得尤=1,R2=28-

R2=（%+3）2+12

故该球的表面积为S=4〃R2=112〃.

0

c

故答案为：112万

【点睛】

本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.

5一百S+百

-2-，-2-

【解析】

c2+1

计算得到|万+5l=J7,c2=/l\c\cosa-l,解得cosa=FW，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.

【详解】

__兀,

由（汗一亍）・（日一^）=0可得c2^^a+b^'c-a-b=\a+b1*1c\cosa-1><2cos--\a+b\*\c\cosa-1,a^Ja+b

与的夹角.

再由+=if+B2+24・5=l+4+2xlx2cos?=7可得I万+川=近，

2

r_c+l

c2=A/7|c\cosa-1,解得cosa=/-,,.

。7同

V0<a<n,：.-1<CO.V«<1,A1,即向2—4修|+仁0,解得疗丁,

44g心斗,3用+也

故r答案为-'--

【点睛】

本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.

15.2U

【解析】

求得等边三角形ABC的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥P-ABC。外接球的半径，进而求得外接球的表面积.

【详解】

i2f=D—D_2^/3厂=\/3

设。1是等边三角形的外心，则球心。在其正上方5PA处.设0C=/•，由正弦定理得一sin色一百一一•

3T

所以得三棱锥P-AB8外接球的半径R=)+(℃『=j+(00)2=，|==杼，所以外接球

♦21

的表面积为4/rR-=47x—=21万.

4

故答案为：2U

【点睛】

本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.

16.[yo]

【解析】

首先判断出函数/(A-)为定义在R上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式f(x2-2x-2a)+./(^-3)„0对任

意的尤e[l,3卜恒成立，可转化为尤2+(〃-2口-24-3,,0在％«1,3]上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案.

【详解】

解：函数函数的定义域为R,S.f(-x)=-x(2'^-1)=-x(2w-1)=-f(x),

，函数f(x)为奇函数，

当x>()时，函数f(x)=x(2、-l),显然此时函数f(x)为增函数，

函数fM为定义在R上的增函数，

二不等式/(犬一21一2〃)+f(ax-3)„0即为f-2x-24,3-ax,

z.x24-(«-2)x-2a-3„0在X£[l,3]上恒成立，

1+。—2—2a—3,,0

,解得T取以0.

9+3（。—2）—2。—3„0

故答案为[T,0].

【点睛】

本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)叵

11

【解析】

分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面BDEF,

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求C尸与平面A8CZ)所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角,

放在三角形当中来求解.

详解：(1)在445。中，ZABD=30°,由AOZnABZ+Bpi-zABBOcosSO。，

解得80=45，所以A82+5O2=AB2,根据勾股定理得NAO5=9()0；.AOj_8O.

又因为OE_L平面ABC。，AOU平面ABC。，：.ADLDE.

又因为B〃nOE=O,所以AOJ_平面BOEP,又ADU平面A8C。，

二平面AOE_L平面BDEF,

(II)方法一：

如图，由已知可得NA£>B=90',ZABD=30.贝!l

NBDC=30，则三角形BCD为锐角为30。的等腰三角形.

CD=CB=1,则CG=L

2

过点C做CH/ADA,交DB、AB于点G,H,则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG,贝！I

CG1BD,DE±Y®ABCD,则CG_L平面BDEE.

过G做G/_LBb于点L贝!IBF1平面GCY,即角GC7为

二面角C-5尸-O的平面角，则NGC/=60。.

则tan6CT=,CG=—,则GI=—『

C12213

在直角梯形BDEF中，G为BD中点，BD=6,GI±BF,G1

设DE=x,则GF=x,SSBGF=-BGGF=-BFGI,则。E=如.

228

tanZFCG=—>贝UsinNECG=叵，即C尸与平面A5CD所成角的正弦值为叵.

GC4II11

可知04、DB.OE两两垂直，以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-町2

以

设DE=h,则D(0,0,0),B(0,出,0),-2

■^处即・电-亨》%>

设平面BCF的法向量为机=(x,V,z),

-0.5x-^-y-0

m-BC=Q^,厂.取x=J5，所以机=（J5，-i,-雯）,

则_一所以〈

in-BF=0—亨）+反=0

取平面BOEF的法向量为"=(1,0,0),

由k°s俯，砌=耳白=360。，解得力=在，贝IJOE=巫,

\m\-\n\88

，则叵，设C尸与平面45CQ所成角为a,

又守■

8

则03远+叵=叵

8811

故直线与平面ABCD所成角的正弦值为叵

11

点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，

需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以

应用常规法，也可以应用向量法.

18.(1)Q=4COS。(2)273-2

【解析】

(1)首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可；

⑵设pg，a),。3，幻，由即可求出。“2,贝!JIPQI=|自一局计算可得;

【详解】

x=2+2cosa。c

解：(1)圆C的参数方程<C.(「为参数)可化为5-2)2+丁=4,

y=2sina

22-42cos。=0,即圆C的极坐标方程为夕=4cos6.

p、=4cos。]px-26

⑵设pg，a),由兀解得兀

r,=?

psin[%+=>/3

2夕2=2

设。(22,a)，由<,解得

•••q=a，，|PQ|=3-司=26-2.

【点睛】

本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

19.(1)见解析；(2)[600,800)

【解析】

(1)X的可能取值为300,500,600,结合题意及表格数据计算对应概率，即得解

(2)由题意得300<〃<600,分〃e[500,600],及〃w[300,500),分别得到y与n的函数关系式，得到对应的分

布列，分析即得解.

【详解】

(1)由题意：X的可能取值为300,500,600

4+141

P(X=300)

905

Q/fr\

P(X=500)=—=-

905

1。.当“e[500,600]时，

7n-5n=2n,t>25℃.

利润y=<500x7+2(〃-500)-5〃=2500-3〃，te[20,25)

300x7+2x(〃-300)-5〃=1500-3n,te[10,20)

此时利润的分布列为

y2n2500-3/?1500-3n

221

P

5I5

271

=>^=2/7x-+(2500-3n)x-+(1500-3n)x-=1300-n

=>E(y)e[700,800).

2.[300,500)时,

7n—5n=2n,t>20

利润y=,

7x300+2x5—300)—5〃=1500—3〃，t<20

此时利润的分布列为

y2n1500-3〃

4J

p

I5

41

=>£y=2nx-+(1500-3n)x-=300+n

n£(y)w[600,800).

综上y的数学期望的取值范围是［600,800).

【点睛】

本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

20.（1）证明见解析；（2）30。.

【解析】

（1）推导出C0//BQ,QB1AD,从而8Q,平面PA。，由此证明平面PQB，平面以如。

（2）以Q为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角例-BQ-C的大小.

【详解】

解：（1）AO//BC,BC=^AD,。为AO的中点，

二四边形BCOQ为平行四边形，CO//BQ.

VZADC=90°,ZAQB=90°,即Q8_LAD.

又丫平面FAD_L平面ABC。，且平面24。。平面ABCD=AD,

BQ_L平面PAD.

•••BQu平面PQ8,

•••平面平面PAD.

（2）vPA=PD,。为AO的中点，

/.PQ±AD.

••・平面Q4Z>_L平面ABC。，且平面PAOC|平面ABC。=AO,

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

则平面BQC的一个法向量为n=（0,0,1）,

Q（0,0,0）,P（0,0,⑹,B（0,2,0）,C（-l,2,0）,

设M（x,y,z）,则尸A/=卜,乂2-6）,MC=（-\-x,2-y,-z）,

■■PM^3MC>

x=3（—1—x）

'y=3（2-y）,

z_G=—3z

-3

x-——

4

3

2，

石

z=—

I4

在平面MBQ中，诙=（0,2,0）,西=（一：，|，¥

设平面MBQ的法向量为m=（x,y,z）,

2y=0

m-QB=0

则_,即1

m-QM=0

I42-4

平面MQB的一个法向量为m=（1,0,百）,

,/一\（1，0,A/3）-（0,0,1）6

-cosyn,n）=---------\---------=—»

由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为30。.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题.

TC71（AeZ）；（2）述.

21.(1)最小正周期为了，单调递增区间为k7T--,k7r+-

363

【解析】

(1)利用三角恒等变换思想化简函数>=/(x)的解析式为/(%)=2sin(2x+看)利用正弦型函数的周期公式可求

得函数y=〃X)的最小正周期，解不等式2版■—]<2x+^<2k兀吟｛keZ)可求得该函数的单调递增区间；

(2)由/(。)=1求得由sinC+sin(3—A)=2sin2A得出A=5或方=2a,分两种情况讨论，结合余弦

定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得AABC的面积.

【详解】

(1)〃x)=2百sinx•cosx+co