江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-三角形面积公式

江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编■■三角形面积公式

一、单选题

1.（2022江苏•南京市雨花台中学模拟预测）已知AOAB,OA=\,OB=2,OA-OB=-\,

—•1—•

过点。作。。垂直A3于点。，点E满足OE=5即，则诙•丽的值为（）

二、多选题

2.（2022.江苏•扬中市第二高级中学模拟预测）在AMC中，角A、8、C的对边分别

为。、b、c,面积为S,有以下四个命题中正确的是（）

A.二三二的最大值为更

a2+2bc12

B.当a=2,sinb=2sinC时，不可能是直角三角形

C.当4=2,sinB=2sinC,A=2C时，AABC的周长为2+26

D.当a=2,sin3=2sinC,A=2C时，若。为AABC的内心，则AAOB的面积为县1

3

三、填空题

3.（2022•江苏连云港•模拟预测）已知抛物线©:丫2=2外（°>0）的焦点为凡点P是抛

物线C上的动点，过P向动直线x=f（r<0）作垂线，垂足为Q.若△PQF是面积为由的

正三角形，则°=.

4.（2022•江苏•新沂市第一中学模拟预测）英国数学家莫利提出：将三角形各内角三等

分，靠近某边的两条三分角线相交于一点，则这样的三个交点构成一个正三角形（如下

图所示）.若△ABC为等腰直角三角形，且4c=2,则4尸的面积是.

A

D

E

5.（2022江苏南京・二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书

十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题《数书九章》中记录了秦九解的许多

创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边“，b,c求面积的公式，

这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜累并大斜累减中斜哥，余半之，

自乘于上，以小斜基乘大斜基减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以

上这段文字写成公式，即S=c2a2为三角形的面积,a,h,c为

三角形的三边长，现有AABC满足sinA:sinB:sinC=3:2上:亚且5白人皿=12,则4ABe

的外接圆的半径为

四、解答题

6.（2022•江苏・南京市天印高级中学模拟预测）在①〃=4，②AC边上的高为上叵，

2

③sinB=4互这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答.

7

问题：记AABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知NA=60。，c=b+\,.

⑴求c的值：

（2）若点。是边8c上一点，且求4。的长.

7.（2022•江苏・华罗庚中学三模）在AABC中，已知48=4,AC=5.cosB=

7

（1）求sinA的值；

（2）若A£＞是N8AC的角平分线，求AD的长.

22

8.（2022•江苏•南京市江宁高级中学模拟预测）从①A为锐角且sinB—cosC=三二幺；

lab

②6=2asin(C+J)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答.在三角形ABC中,

O

已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,.

⑴求角A；

⑵若6=@c且BC边上的高A3为28，求CO的长.

4

9.(2022•江苏泰州•模拟预测)在锐角IBC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,

已知8C边上的高等于a.

(1)求证：sinA=sin8sinC；

Ch

⑵若N84C=45。，求:+一的值.

bc

10.(2022•江苏・南京师大附中模拟预测)在AABC中，内角A,B,C所对的边长分别

„„,„、在2c,tanA

为a,b,c,且满足a丁=IH----.

htan8

(1)求角A；

(2)角A的内角平分线交BC于点M,若。=4近，AM=36求sin/AMC.

ll.(2022•江苏南京•模拟预测)请在①向量了=^F，sin8),y=^"£,sin4],且到y；

②病=2csin(A+三)这两个条件中任选一个填入横线上并解答.

在锐角三角形43c中，已知角A,B,C的对边分别为“，h,c,.

(1)求角C;

⑵若A4?C的面积为26，求2a+b的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

12.(2022•江苏•徐州市第七中学模拟预测)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为”,

b,C,请在①/?+3cosC=^CsinB;②(20-a)cosC=ccosA；

③/+/-'2=竽533「这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：

⑴求NC;

(2)若a=5,c=7,延长CB到。，使cosNACC=叵，求线段8。的长度.

7

13.(2022•江苏南通•模拟预测)在△ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,

bcosA=a^cosB-+c.

⑴求COS&

(2)若b=3,a>c,aABC的面积为2&，求Q.

14.(2022•江苏淮安・模拟预测)在中，记角A,B,。所对的边分别为mb,c,

.csinA

已知tanB=-------

2-cosA

(1)若tanB=g,求tanC的值：

(2)已知中线A例交BC于M,角平分线AN交BC于N,且A"=3,MV=1,求AA8C的

面积.

15.(2022•江苏南通•模拟预测)已知圆的内接四边形ABCD中，AB=AD=2g，8c=2,

CD=273.

(1)求四边形A3CD的面积；

(2)设边A8,CD的中点分别为E,F,求在.(荏+而)的值.

16.(2022•江苏•模拟预测)已知AMC的内角A,B,C的对边分别为“，％,c,面

积为S,满足S=g(/-6)sinC.

(1)证明：sinA=2sinB；

(2)求所有正整数左，加的值，使得c=〃函和tanA=A:tanC同时成立.

17.(2022•江苏扬州•模拟预测)在①/=〃+3乩；(g)cosC=->/7；③tanC=si而这三

7

个条件中任选一个，

补充在下面问题中.

问题：在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,6,c,,c=2b,点E是线段

BC上一点.

⑴若NBAE=g,求拦的值；

6EC

(2)若BE=2EC,且=求AABC的面积.

18.(2022•江苏盐城•三模)己知AABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,满足

TT

a2+c2-h2=-ac,力是AC边上的点且80=2,ZDBC=-.

6

⑴求ZABC；

⑵求“'sc的最小值.

19.(2022•江苏连云港•模拟预测)在平面四边形ABC。中，对角线AC平分44£>,

37t

8=彳，AC=y[5CD,AD=4,BC=20，且BC>CD.

⑴求8;

(2)求4ABC的面积.

20.(2022•江苏连云港•模拟预测)在4ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,

且q=cosB=-.

b49

(1)证明：a=c.

(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求4ABC的面积.

条件①：AABC的中线AD=a；

条件②：△A8C的角平分线AE=理.

21.(2022•江苏•阜宁县东沟中学模拟预测)在A"C中，角A,B,C的对边分别为a,

b,cf且a=5,b=6.

4

⑴若cos3=-g,求A；

(2)若AMC的面积S="也，求c.

4

22.(2022・江苏•南京市雨花台中学模拟预测)在①3“sinC=4ccos4；

②&singCnAsinB这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完

整的题.

在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知，,a=3板.

⑴求sinA；

jr

(2)如图，〃为边AC上一点，MC=MB,NABM=已,求AABC的面积.

23.(2022•江苏•二模)已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

sin2A+sin2B-sin2C_2b-c

sinA•sinBa

⑴求4

(2)若a=5,3=c+3,求AABC的面积.

24.(2022•江苏・南京市第一中学三模)在AA8C中，。为BC上靠近点C的三等分点,

且4)=C£>=1.记AABC的面积为S.

(1)若sinC=2sin8,求S；

(2)求S的取值范围.

25.(2022•江苏南通•模拟预测)在AABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,

a=l,/?cosA+cosB=2b.

(1)证明：c=2b;

(2)求AMC的面积的最大值.

26.(2022•江苏•新沂市第一中学模拟预测)在小A8C中，角4,B,C所对的边分别为

a,b,c,且A=5，6=&c.若”是BC的中点，且csinNM4c=1,求4ACM的面积.

27.(2022•江苏徐州•模拟预测)如图，在平面四边形45。中，

ABLAD,AB=l,AD=®BC=yli.

⑴若C£>=2,求sinZADC；

⑵若NC=45。，求四边形A8CO的面积.

28.(2022•江苏泰州.模拟预测)在①a=2d®c2=b2+ab-,③6+2sinC=2石sinA这

三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积的

值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在“WC,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,=百，

万

A=8+-,?

3

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

29.(2022•江苏南通•模拟预测)已知AABC中，角A,8,C的对边分别为a,4c,且

A=—,a=2,2abcosC-ic+a-b)^c-a+b).

⑴求C；

(2)求AABC的面积.

30.(2022•江苏扬州・模拟预测)在△ABC中，6sinA=acosfi.

(1)求N8的大小：

(2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得AABC存在且唯一，求△ABC的面

积

条作①cosA=-g；

条件②6=&;

条件③：48边上的高为逅.

2

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，接第一个解答计分.

31.(2022•江苏省滨海中学模拟预测)已知AABC的外心为O,为线段A8,AC上

的两点，且。恰为中点.

(1)证明：目4VHNCI

(2)若［4。|=6，\OM\=\,求学曳的最大值.

\ABC

32.(2022•江苏连云港•二模)在平面四边形ABCD中，ZG4D=ZfiAC=6()0,

ZDCB=\50°,BD=屈,BC=2.

⑴求△£)(%的面积；

(2)求AC的长.

33.(2022•江苏江苏•一模)在①sinB+sinC=3^,@cosB+cosC=—,③A+c=5

99

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

已知A/WC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,sinA=2包，，

3

求“WC的面积.

34.(2022•江苏・阜宁县东沟中学模拟预测)如图，在四边形ABCO中，

AQ,sin(g-/A)cos(V+/A)=；.

⑴求ZA；

(2)若AB=&AD=3,CD=\,ZC=2ZCBD,求四边形ABCD的面积.

35.(2022・江苏・金陵中学模拟预测)记AABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边,

且c=bcosA+〃sin8.

⑴求B；

⑵若匕=4,点M为AC边的中点，且|丽|=2四，求AABC的面积.

36.(2022•江苏江苏•二模)在平面四边形ABCO中，已知ZA8C=^,ZADC=-,AC

36

平分440.

TT

(1)若=AC=2,求四边形ABC。的面积；

Q）若CD=2^AB,求tanNB4c的值.

37.（2022.江苏无锡.模拟预测）在AMC中，内角A,B,C所对的边分别是“，b,c,

已知2ccosB=2a-b.

⑴求C；

（2）若AB=AC,。是AABC外的一点，且4）=2,CD=1,则当NO为多少时，平面

四边形A8CD的面积S最大，并求S的最大值.

38.（2022•江苏南通•模拟预测）已知△A8C的内角A,B,C所对的边分别为a,h,c,

[sinB+C=asinB

2

⑴求角A；

（2）若人=6,BC边上的高为生叵，求c.

2

39.（2022•江苏南通•模拟预测）在中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知

c=5,2bcosC=2a-c,

（1）求角8的大小；

（2）若AABC的面积104，设。是BC的中点，求萼粤的值.

sinZCAD

40.（2022•江苏南通♦模拟预测）在△A3C中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且

2c-a=2/?cosA.

⑴求B：

（2）若M是AC的中点，且6=2,在下面两个问题中选择一个进行解答.

①求AABM面积的最大值；

②求8M的最大值.

（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）

41.（2022•江苏•模拟预测）记AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已

知6sinC=sinC+>/5cosC,^4=y.

⑴求c；

（2）在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三

角形的面积；若不存在，说明理由.

①8c边上的中线长为当，②A8边上的中线长为近，③三角形的周长为6.注：如

果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

42.（2022•江苏省赣榆高级中学模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB=\,3c=3,

ZB=60°,ZACD=30°.

历

(1)^AD=—,求NAPC；

3

(2)若8。=8,求八48的面积.

43.(2022•江苏省木渎高级中学模拟预测)已知AABC的内角A,B,C的对边分别为“，

。，。，且满足①C=2B；②反osA=acosB；③廿-d=a2-&ac.

(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；

(2)若。为线段AB上一点，S.ZBCD=-ZB,CO=4,求△38的面积.

44.(2022•江苏江苏一模)从①sinZ)=sinA；②山火=35.。；③历.配=-4这三个

条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.

己知点£>在AABC内，cosA>cosD,AB=6,AC-BD=4,CD=2,若,求

△ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

45.(2022•江苏省滨海中学模拟预测)在AABC中，已知。是BC上的点,4。平分ZBAC,

且AC-C£)=]3.

(1)若AB=23O=5,求AABC的面积；

(2)若AB+B£>=6,求AQ.

24

46.(2022•江苏无锡•模拟预测)在AA3C中，c=2bcosB,C=—.

(1)求DB；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使AMC存在且

唯一确定，求BC边上中线的长.

条件①：c=J5b;

条件②：AABC的周长为4+26;

条件③：AA8C的面积为定；

4

47.(2022•江苏•扬中市第二高级中学模拟预测)已知IAABC中，。是AC边的中点，且

①BA=3；②BC=近；③BD=近;④4=60°.

(1)求AC的长；

(2)ZBAC的平分线交BC于点E,求4E的长.

上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条

件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是,请写出用剩余条

件解答本题的过程.

五、双空题

48.（2022•江苏・南京师大附中模拟预测）法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意

三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好

是一个等边三角形的三个顶点，，.在A45c中，A=60。，以A3,BC,AC为边向外作三

个等边三角形，其外接圆圆心依次为0,。2,。3,则NQAQ=；若4。。2。3

的面积为6，则三角形中|AB|+|AC|的最大值为.

参考答案:

1.D

【解析】作出图形,由平面向量数量积的定义及余弦定理可得,再由平面向量数

量积的运算律即可得解.

【详解】由题意，作出图形，如图,

•/OA=\,OB=2,OAOB=-\

.,.次・丽=1x2cosZAOB=2cosZAOB=-1，cosNAO8=一；,

27r

由ZAOBe(0,乃)可得NAOB=y,

AB=y/OA^+OB2-2-OA-OBcosZAOB=币,

A

又52.=’.04.037布/408='.0£>,43=也，则8=君,

Zjrtizo222

,'.EdEA=-dE(ED+DA]=-2OE2=--.OD=--x-=~—

\)99721

故选：D.

2.ACD

【解析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断

选项A；

利用勾股定理的逆定理即可判断选项B；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项

C；

由已知条件可得AABC是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AAOB的面积

即可判断选项D.

【详解】对于选项A：

答案第1页，共50页

bcsinA

1sinA

2—x---------------------------

a2+2bcb1+c2-2bccosA+2bc0hc

乙上++2—2cosA

Icin<4

八（当且仅当方二C时取等号）•

4cosA-2

S|y

令sinA=y,cosA=x,故二-----<——x二一

a~+2bc4x-2

因为V+y2=],且y>o,

故可得点（X,y）表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示:

.1OiAx

目标函数2=告上，表示圆弧上一点到点A（2,0）点的斜率，

数形结合可知，当且仅当目标函数过点"g,岑，即A=6（）时，取得最小值-日,

故可得z母

12

当且仅当A=60,b=c,即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确：

对于选项B：因为sin3=2sinC,所以由正弦定理得b=2c,若〃是直角三角形的斜边，则

有々2+。2=庐，即4+/=公2,得0=拽，故选项B错误；

3

对于选项C,由A=2C,可得3=九一3。，由sin3=2sinC得力=2c,

由正弦定理得,即sin（7r-3C）sinC9

sinBsinC

所以sin3C=2sinC,化简得sinCcos2C+2cos2CsinC=2sinC,

3

因为sinCwO,所以化简得cos2C=夏，

因为b=2c,所以所以cosC=3,则sinC=1,

答案第2页，共50页

所以sin3=2sinC=l,所以8=：,C=2,4=g,

263

因为a=2,所以c=,b=

23"43",

所以AA8C的周长为2+26，故选项C正确；

对于选项D,由C可知，AABC为直角三角形，且B=；,C=2,A=&c=空,b=—,

26333

所以AABC的内切圆半径为，=+=l--y-,

b,,112>/3f,06-1

所以AABC的面积为=1--—=—^―

所以选项D正确，

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A利用面积公式和

S_1sinA<1sinA

余弦定理，结合不等式得77^=5、i4--?COSA-2,再利用三角换元、

—H---F2—2cosA

cb

数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.

3.1

【分析】先写出△PQF边长为2,由几何法求出焦准距为p=l.

【详解】如图示：△PQ尸是面积为6的正三角形，所以归产|=|也|,所以x=f为准线.

由jpQ「sin6()o=6,解得：|尸。=2.

过F作尸OLPQ于£>,则出力=归@8$60。=1.

所以焦准距为p=l.

答案第3页，共50页

故答案为：1

47百-12

--T~

【分析】若G是EF中点，连接CG,且根据题设角的关系、三角形全等及相似

I「口1

可得8尸=8"=-48、一=—=-,设EF=DH=2x,结合已知可得AB=4(2+G)x,

2BFFD2

即可求无值，应用三角形面积公式求△DEF的面积.

【详解】若G是EF中点，连接CG,且

由题设知：△AEC^ABFC,则CE=CF,又zACE=4CF=4CF=30。,

ZCAE=ZEAD=ZDAH=ZCBF=ZFBD=ZDBH=15°,

所以NAE£>=/BED=90°,则4A£D=AAHD*BFD2BHD,

i「ry।

所以3F=8"=不4B,又4CGFBFD,且...-...=—,

2BFFD2

TS：EF=DH=2X,则CG=xtan75Q=(2+G)x,故8尸=2(2+百)工，

J2

所以A8=4(2+6)x,又4c=2,则4(2+6)x=2近，可得x=；=,

4+2V3

贝1］《尸=捶尸=20-卡，故4DEF的面积是，、（2&-指）2*且=拽二^

2+，3222

故答案为：7占72

2

答案第4页，共50页

5.M.

【解析】由正弦定理得到三条边长的比，利用所给面积公式得到边长，再结合面积公式和正

弦定理可得答案.

【详解】由已知和正弦定理得：a:b:c=sinA:sin8:sinC=3:2近：布,

设a=3r,b=2叵t,c=>0),

由=弓互[=*(5①(9产)-『+9；一812=12)

解得f=2,所以a=6,0=4&,c=26，设AABC的外接圆的半径为R,

由Sv.。=[*bcsinA='x4&x2遥sinA=12,解得sinA=,

2210

"-6=2R

由正弦定理得sinA-32叵-,所以R=

10

故答案为：M

【点睛】本题考查了正弦定理、面积公式解三角形，关键点是利用所给面积公式求出三角形

边长，考查了学生的基础知识及阅读能力.

6.(1)(?=3

(2)2

［分析】(1)选条件①：a=夕,c=6+1,利用余弦定理求解；选条件②:AC边上的高为空,

2

利用三角形的面积公式;b(6+l)sinA=¥^求解；选条件③：sinB=母，利用正弦定理

答案第5页，共50页

sin8b4

—^=一求解.

sinCc

TVTT

(2)根据NAOB-/4BC=§,得到N403=ZA3C+1,求得相应正弦值，再利用正弦定

ADAB

理求解;

sinBsin/ADB

⑴

解：选条件①：a=曰,c=b+l,

由余弦定理cosA==',则〃+8-6=0,

/+2bfc-'2

解得6=2,贝ijc=b+l=3；

选条件②：AC边上的高为地,

2

由三角形的面积公式;Z?(Z?+l)sinA=^^-b,

解得人=2,c=3.

选条件③：sinB=

7

由题意可知8<C,所以cos3=J1—sin'B=

因为A+B+C=TC,

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

=与年+4叵=也，

272714

V2T

sinBb即工，

由正弦定理得1==

sinC35/2Tb+1

14

解得b=2,c=3.

⑵

选条件①:

IT7T

因为ZADB-ZABC=一,所以幺O8=NABC+—,

33

Ca2+c2-b27+9-42不

cosB=----------=-----j=——=-----,

lac2xV7x37

sinB=Vl-cos2B=

V2112773屈

则sinZADB=sinINABC+yx—|x—=-----

7-27----214

答案第6页，共50页

3x@

ADABsinB

由正弦定理——,AD=1=2；

sinBsin/ADBsinZADB3721

14

选条件②;

jrjr

因为ZAr>5—z/wc=H，所以NADB=NABC+1,

a'2+c2-h1-27+9-42不

cosB=

2ac2义S乂3-7

叵」+4*立=通

则sinZAQB=sinIZABC+y

727214

AB.cABsinB

由正弦定理蓊A/J—______________=2；

sinZ.ADB"sinZADB3721

14

选条件③:

sin4O岭in(WC+q=^4+殛3=液，

I3j727214

3x----

AB.cABsinB7.

由正弦定理一^

sinBsinZ.ADB'sinNA£>B3&T

14

7.(1)巫

5

⑵迎

【分析】(1)先利用余弦定理求出边BC的长，再利用正弦定理求出sinA(2)利用三角形

的面积公式及面积关系S,MC=S,ABD+S,A8，建立关于AO边的关系式求解即可得到答案

(1)

在AABC中，由余弦定理AC?=44+BC2—2A8-BC-cos8

整理得7叱-40BC-63=0

9

解得BC=7或BC=-I

由于5c>0,所以5c=7

答案第7页，共50页

因为B£(0,乃)，所以sinB>0,所以sin8=Jl-cos?B=-----

7

ATRC丁2瓜一

由正弦定理得：冬=£，故..BC^inB7-T276

sinBsinAsmA=------------=---------=------

AC55

(2)

设ZBAD=e,AD=x

由兀咏=SA.+S“6及三角形的面积公式可得：

g仓％5?sin2^；仓保x仓ikinq+J5仓呢sing

整理得」=20sin2g=40cosg

9sinq9

十^,士工田xAB2+AC2-BC216+25-491

在△AAnBzC中，由余弦定理cosA=-----------------------=-----------------=--

2AB^AC405

由cosA=cos2q=2cos2q-1得cos0-

则9=户迎

9

8.(1)条件选择见解析，A=J

o

(2)3

【分析】(1)在三角形中，运用正余弦定理，实现边角互化即可求解.

(2)根据三角形的面积公式可得"c的关系，在A43C中运用余弦定理可求出”,6,c的值,

然后根据边的长度用余弦定理求角，即可求解.

(1)

选①

22

因为sin3-cosC=-——,所以2a/?sin3=一片+2ahcosC，

lab

由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC,所以2a/?sin3=方2，即加sin3=Z?

由正弦定理得2sinAsinB=sinB

在AABC中，有sin8>0,故sinA='

2

由A为锐角，得A47T

6

选②

答案第8页，共50页

因为〃=2asin(C+白，由正弦定理得sinB=2sinAsin(C+-)

66

即sin(A+C)=2sinAsin(C+—)

6

化简得cosAsinC=6sinAsinC

在△ABC中，有sinC>(),由A为锐角得cosAw(),

所以tanA=@,得A=?

36

⑵

由题意得，SsA3c=；4x2G=；bcsinA=；bc,所以，be=4瓜

又b=@~c,所以/=16a,/=3a

4

由余弦定理cosABAC="+C-"=3"16二”=B,解得。=7,°=45/="[

2bc2x4岛22

49+21-16x7叵

所以,cosZ.BCA-

lab2x7后7

所以AABC是钝角三角形

所以cosZACD=-cosNBCA=叵，所以tanZACD=38

73

在直角八48中，CD=­——=28速=3

tanZ.ACD2

9.(1)证明见解析

⑵*李

bc2

【分析】(1)由锐角三角形可得A0=bsinC,结合题意和正弦定理整理可证；(2)利用等

面积:8。5皿45。=[“七可得/=Jc,结合余弦定理—力ccos45。化简整理.

222

(1)

设BC边上的高为AO,则4)=AsinC,所以a=6sinC,

由正弦定理得sinA=sin3sinC.

(2)

由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccos45°=b2+c2-\[2bc>

因为]bcsin45°=1a-a,所以/=也儿.，

222

答案第9页，共50页

所以#bC=〃+c2-&bc,即^+C2=g怎c,

10.⑴？；

⑵迈

7

【分析】(1)先由正弦定理及切化弦得cosA=g,结合角A的范围，即可求解；

(2)先由邑"，=邑"材结合面积公式求得6c=3S+c),再由余弦定理求得匕,c的值,

再由正弦定理求出sinZAMC即可.

(1)

由正弦定理及切化弦可得

sinA

2sinC_]+cosA[十sinAcos3_sinBcosA+sinAcosB_sin(A+B)

sinBsinBsinBcosAsinBcosAsin5cosA'

cosB

■^./人口、•/L、nnr-nmi2sinCsinC1

Xsin(A+B)=sm(^--C)=smC,sinB>0,sinC>0,贝ij--------=--------------,即HncosA=一,又

sin3sinBcosA2

Ae(O,乃)，则A=?；

⑵

可得bc=3(b+c),又由余弦定理得

b2+c2-a2+-2bc-\12(Z?+c)2-6(Z?+c)-l121.,..

cosA=-~~-—=——1--------------=——LJj-----=一，解得0+c=16(z负值舍

2bc2bc6e+c)2

去)，则历=48,

答案第10页，共50页

I/>=41/2=12

可得《,~或〈“，又sinNAMC=sinZAM8，显然当匕=4或12时，sinZAMC的值相

c=12|c=4

同，不妨设〃=12,则。=4,

—,可得sinC=爵又黑b

由正弦定理得一J可得

sinCsinZAMC

sin4AMe二点~

7

Tl

11.(1)C=-

⑵(8,10)

【分析】(1)选①：根据平面共线向量的坐标表示和正弦定理可得/="+从一昉，结合余弦

定理即可求出C；选②：根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算可得6cosC=sinC,

结合特殊角的正切值即可求出C；

Q

(2)由三角形的面积公式可得2a+%=2a+—=/(〃)，法一：利用余弦定理解得2<a<4；法

a

二：由正弦定理可得2<a<4,进而利用导数求出函数/3)的值域即可.

(1)

选择①：

因为利y,所以©小山人=("c)sinB,

b+cc+a

由正弦定理得，!£&=也二£昭，

b+cc+a

即a-/)=b(b~-c),即ac2+be2=a34-b2,>即/(〃+/?)=(.+。乂〃~—〃。+。~),

BPc2=a2+b2-ab,因为cosC="十"--=—,

2ah2

又c为锐角，所以c=7T(

选择②：

因为百6=2csin(A+弓),

由正弦定理得，Ksin8=2sinCsin(A+W),

即&sinA=sinCsinA+sinCcosA.

答案第11页，共50页

XsinB=sin(/I+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以JisinAcosC=sinCsinA.

因为sinA>0,所以&cosC=sinC，

又C为锐角，所以tanC=G，C=y.

⑵

因为SJBC=ga〃sinC=^-ah=2\/3,

Q

所以"=8,则2。+/?=2。+—.

a

(法一)由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2.①

222

f,aj_[cosA>0,\b+c-a>0,

因为△ABC为锐角三角形，所以.八即22[2;

[cosB>0,[a+c-b~>0.

将①代入上式可得h>4，>，解得2<〃<4.

即

a2>4,

令3*,则…)=2一

所以在2<a<4上单调递增，所以〃2)<〃a)</(4),

即8<f(a)<10,即2a+b的取值范围为(