大学高等数学等价无穷小

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么limf(x)/g(x)=limu(x)/v(x)。关键要记住道理limf(x)/g(x)=limf(x)/u(x)*u(x)/v(x)*v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换(注意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。高数教了一段时间了，对于等价无穷小量代换法求极限为什么只能在乘除中使用，而不能在加减的情况下使用的条件感到有些疑惑，于是找了一些资料，仔细的研究了这个问题，整理如下：等价无穷小的定义及常用的等价无穷小无穷小量是指某变化过程中极限为0的变量。而等价无穷小量是指在某变化过程中比值极限为1的两个无穷小量。常用的等价无穷小有：sinx∼tanx∼arctanx∼arcsinx∼ln(1+x)∼x(x→0)sin⁡x∼tan⁡x∼arctan⁡x∼arcsin⁡x∼ln⁡(1+x)∼x(x→0)1−cosx∼x22,1+x−−−−−√n−1∼xn(x→0)1−cos⁡x∼x22,1+xn−1∼xn(x→0)等价无穷小量在求极限问题中非常重要。恰当的使用等价无穷小量代换常常使极限问题大大简化。但是有时却不能使用等价无穷小量代换。等价无穷小替换原理定理1：设α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一变化过程中的无穷小量，且α∼α1,β∼β1α∼α1,β∼β1，若limαβlimαβ存在，则limαβ=limα1β1limαβ=limα1β1。例1：所以limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.由1∘,2∘1∘,2∘得，原命题成立。证毕。这样一来，就得到了差形式无穷小量等价代换的充要条件。例3：limx→01−cosx+2sinxarcsin2x−sinx.limx→01−cos⁡x+2sin⁡xarcsin⁡2x−sin⁡x.解：1−cosx∼x22,−2sinx∼−2x,2arcsinx∼2x,sinx∼x(x→0)1−cos⁡x∼x22,−2sin⁡x∼−2x,2arcsin⁡x∼2x,sin⁡x∼x(x→0)所以limx→01−cosx−2sinx=0≠1,limx→02arcsinxsinx=2≠1limx→01−cos⁡x−2sin⁡x=0≠1,limx→02arcsin⁡xsin⁡x=2≠1由定理2得limx→01−cosx+2sinxarcsin2x−sinx=limx→x22+2xx=2.limx→01−cos⁡x+2sin⁡xarcsin⁡2x−sin⁡x=limx→x22+2xx=2.例4：limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x.limx→0arctan⁡2x+arcsin⁡5xsin⁡3x.解：arctan2x∼2x,arcsin5x∼5x,sin3x∼3x(x→0)arctan⁡2x∼2x,arcsin⁡5x∼5x,sin⁡3x∼3x(x→0)又limarctan2x−arcsin5x=−25≠1limarctan⁡2x−arcsin⁡5x=−25≠1由定理2得limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x=2x+5x3x=73.limx→0arctan⁡2x+arcsi