理科数学2022年高考押题预测卷03（全国乙卷）（全解全析）

2022年高考押题预测卷03(全国乙卷)

理科数学•全解全析

123456789101112

CADAACBBBDDA

1.A

A={(x,y)|(x_l)(y_l)ZO}={(x,y)|xZl且或且y«l}

集合8表示的区域为以(1,1)为圆心，半径为1的圆上和圆的内部.

则ADB如图所示：

所以(x,y)eAnB的概率为3

故选：A

2.B

1-3/(1-30(1-01-Z-3/-31〜

z=------=----------------=--------------=-1—21,

1+i(1+/)(1-02

其对应点在第三象限，故选B.

3.D

抛物线过点e，-i),则。=-；

所以/=_：y

4

由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于)'轴负半轴，

准线方程为y一.

16

故选：D

4.C

圆锥底面周长为2乃，又其侧面展开图为半圆，则圆锥母线长SB=@=2

直角三角形ABC中，AB=2,AC=1,AC，C3,则CB=G

分别取&4、BC、的中点“、N、P,连接（W、ON、MN、PN、PM

又由。为A3中点，则OM//SB,ONIIAC,

则NMON为异面直线AC与S3所成角或其补角.

由M/7/SO,可知平面ABC,则MP_L/W

在口同取中，MPLPN,MP=—,PN=—,则

222

在口加。％中，OM=1,ON=g,MN=—

22

则cosAMON=----—~~y=--

2xlxl4

2

则异面直线AC与SB所成角的余弦值为:

4

故选：C

5.C

由q=1得%=q+3=4,a3=2a,-1=7,a4=a3+3=10,

a5=2aA—1=19,ah=a5+3=22,a7=2a6—1=43.

故选：C.

6.C

解：根据图1可知2017—2021年全国居民人均可支配收入逐年递增，

故A正确，C错误；

根据图2可知，2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比为10.8%,

交通通信占比为13.1%,故B正确；

食品烟酒和居住占比分别为29.8%,23.4%

由29.8%+23.4%=53.2%>50%,故D正确.

故选：C.

7.B

I11

令小唱，则"岑辛1+——Inx

x__

(x+l)2

则g'(x)=-5—L<0,所以g(x)在(0,+力)上单调递减,

令g(x)=1+--Inx

且g(e)=l+1-lne=1>0,g(e2]=]+^--\ne2=^--\<0,由零点存在性定理可知，存在唯一的/e,使

eex,e~e~\，

得g(Xo)=l+'-lnx°=O,即以玉=lnx°,因止匕x€(0,x。)时，f\x)>Q,即/(x)在x€(0,x0)上单调递增，

xe($,w)时，r(x)<0,即〃x)在xe(为,”)上单调递减，所以〃x)在x=x0处取得极大值，同时也是

最大值,

因止匕〃)誓〃)野

4=<1,3=即4<C,

b<c9

ln4In341n4-51n3Ind"-'?'

-14~~20-20

而函数y=lnx在(0,+e)上单调递增，且4」>3、，所以In4“>ln35,故**>0,即/一野>0,因

此a>0,所以“>〃，因止匕6<a<c,

故选：B.

8.B

由等比数列前〃项和公式有：1+2+3+…+〃=也附，

2

12Jl1、

则：—n—a---------=-7=2-----------r，

1+2+3H-----\-n\nn+\)

则该数列的前〃项和为：2(1-g]++…+[,=2(1=

<2)(23)n+\\n+\)〃+1

本题选择8选项.

9.B

因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且觉=5,丽=6,丽=3而,

____________3_____3_______33_____

则B户=3。+“=3。+—丽=+巳(巨豆+初)=+一(一—BF+BA)

4444

=BC-—BF+-BA,解得5产=、5C+—5A,所以+—

16425252525

故选：B

10.D

由题意可得如下示意图，设AC,8。交于£,

则AC_L8»,即CE_L8£),PE_L

所以NPEC为二面角P-BD-C的平面角，即"EC=y,

又PECCE=E,所以平面PCE,

过户作尸尸_LAC于尸，BD±PF,BDr\AC=E,

所以PF_L平面ABC。，

若O,。'分别是面BDC的外接圆圆心、三棱锥P-8C。的外接球的球心，

则OO，平面ABCD,所以OO'HPF,

所以P,F,0,0,必共面且该面为球体的最大截面，

连接OO：O'D,OD,O'P,有。£>=OP=R为外接球半径，

8=r为面BOC的外接圆半径，若设6>O=x,

则:V+产=R2,OF2+(PF-x)2=R2,

口菱形ABO)中，A=|,AB=4®NPEC=q,

□PD=DC=PB=BC=46,PE=EC=6,BO=4百，

iLED^—=2y/3,OE=—=2,PF=PEsin%=36,OF=OE+EF=2+PEcos-=5,

2333

r2=OD2=OEZ+ED2

即^+16=25+(3百-4,解得x=26，R2=28,

所以三棱锥P-8CZ)的外接球的表面积4成2=112n,

故选：D

11.D

解：依题意可得A(F,O),尸(-GO),因为P在第一象限，所以2>0,设川引,*),。(孙％)，联立直线

x1y2

与双曲线方程/一"I消去)得仅2-八2卜2-•2=0,解得工=±j2ab居4'所以

y=kx

pababkababk

7bl-011cl，J/?2-02k2,，<“2-a2k2'\Jh2-crk2?

设3(%,〃)，由FB=2BQ,所以而=2血，即(m+c,〃)=2--1ab-m,一~/:」；-n

I\Jb~-a~k~y!b--a~k~

因为3、A、P在一条直线上，所以A”=&AB，

abk_labk

即ab+ay/b1-a2k22ah+(c-3〃)\Jh2-crk2

12__________

"ab+a>Jb2-a2k22ab+(c-3a)\]b2-crk2'

艮|Jlab+2ay/h2-a2k2=2ah+(c-3a)>Jb2-a2k2

所以2a>Jb2-a2k2=(c-3tz)^b2-a2k2

解得c=5a

所以e=£=5

a

故选：D

12.A

f^x)=^e-d)ex-iTKi+x,则f,^x)={e-d)ex+\,

若INO,可得用x)>0,函数〃力为增函数,

当时，/(x)->+oo,不满足/(x)K。对任意XER恒成立;

若e—av0，可得/外勾=0,得/=-----,则x=ln----,

a—ea—e

口当x<ln-^—时用x)>0,当时用x)<0

/、In」-11

[e-a)ea~e-ma+ln----=-l-ma+\n----,

a-ea-e

若/(x)40对任意XWR恒成立，则-1-.+ln=WO(a>e)恒成立,

若存在实数4,使得-1-"?a+ln—!—40成立，

a-e

e«.11In(a-e)

贝ijmaN—1+In----,mN-------------(za>e),

a-eaa

令尸

a

六一'"4(a-e)lnge)-e.

F一

a~2

□当e<av2e时，当o〉2e时，F"(tz)>0,

贝UF(a)mh,=F(2e)=-g

口，“w-L则实数加的取值范围是一工1

，+8.

故选：A

13.-160

因为(2x-：+2)，)展开式的通项为

&=C；(2x-J6-r

1(2y)=c；C_.(2x)6i⑵，)'

=qCT..(-l)A产fy(0<Z:<6-r)

令，=0次=3,可得常数项是《C".(_l)3=T60.

故答案为：-160.

14.(«,1)

，(x)2/(x)

设g(x)=A?，则gv)=^；,

XX

因为x>0,xf\x)-2f(x)<0,所以g'(x)<0,g(x)在((),”)上单调递减,

售…，即早平等令2-，即曾〉等g(〉g⑵,

所以r<2,2*<2，所以x<].

故答案为：

15.(0,20]

b+2cosB+AosA=6,。=2,

由余弦定理得6+“-一+厂_+b「a-=6,所以6+c=6,

2ac2bc

即|AB|+|AC|=6,又忸。=2,

所以A在以民C为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线BC上），如图以BC为x轴，线段BC中垂线为V轴

22

建区平面直角坐标系，设椭圆方程为方~+工~=1，则。=3,c=l,所以b=\//—W=20，

当A是椭圆短轴顶点时，A到8c的距离最大为b=2及，

所以的最大值为:x2x2及=2忘，可无限接近于0,无最小值,

S"BC的取值范围是（0,2夜］,

故答案为：（0,2近］.

四棱锥S-ABCD中，可得：4。，SA4。_L48=A£）L平面剂3n平面SA6，平面ABCD，过S作SO，45

18

于。，则SOJ•平面A8CQ,设/SAB=9,故匕.ABCO=§5.8，

所以sin6w[——,1]>=夕£=>——<COS0<—,

22

在AS4B中，S4=AB=2,则有，SB=20-cos®,所以AS4B的外接圆半径r=』一=二。。,巳,

2sin。sin。

将该四棱锥补成一个以SAB为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径

R=5〃+1,=5=4%/?2=4万(2+]),所以se[也，20R.

1+cos。3

故答案为等，2()乃

点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心

到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题

时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半

径.

17.(1)

选口：

______3333

因为4cC8=——，所以MCOS(£-C)=-3,

22

又。=7,b=3,所以cosC=U,所以sinC=2^,

1414

所以SA.„r=—aZ?sinC="?.

ZA/IOV2

选口：

因为a=7,h=3,所以由正弦定理可得;-2c：s,=)=f=岑,

2cosB-13bsinn

所以sinB-2sinBcosA=2sinAcosB-sinA,sinA+sinB=2sinBcosA+2sinAcosB=2sinC,

由正弦定理可得a+b=2c,所以。=5,

由余弦定理可得，cosA=b2-^~a2=~,

2bc2

由Aw(O,m,所以A=M，所以SABC=1历sinA=M.

3aABC24

选口：

因为sinA=2>/3cos2—,所以2sin4cosa=26cos?—,

2222

AA1—0<rr

由A£((),I),cos—>0,所以tan—=6，A=—.

223

由余弦定理可得，cosA，上:所以c=5.

2bc2

所以SAsc=—/?csinA=巨8.

A/1DC24

⑵

选口:

由余弦定理可得，c2=b2+a2-2abcosC=25,所以c=5.

所以8s4由Ae（O,m,所以A=M.

2hc23

因为5sc=—-AD'sin-—c-ADsin—=,所以可解得AD=—.

AA222248

选口：

因为SAABC=*AO.s吗+gc.AO.sin'=^^,

所以可解得A。二号

o

选口：

因为SAABC=^bADsin^+^cAD-=,

所以可解得">=号

o

18.（1）AC为四面体ABDC外接球的直径，则/ADC=90。，可得CD_L4）,

又由且A£>n8D=。，ADBOu平面A8£）,所以CO_L平面4乩>,

因为〃，N分别为AC,AO中点，可得MN”CD,所以MN,平面AB£）.

（2）以。为原点，射线为y轴建立如图直角坐标系，

(161，心生,

则A（0,亚2）,8（0,石,0）,C（-l,0,0）,M

S'列

——1八

m,MN=—X\=0

21

设平面411%的法向量为〃?=（%,如4）,则<

m-AN=y-4=0

取y=5可得%=0,1T所以而=（。,6,一£|

11八

n-MN=-x2=0

设平面BWN的法向量为3=（七,%"2），贝卜2

n-BN=--—y2+z2=0

取％=石，可得分=（0,"£|，

一3-2

所以cos(见〃)=1一1|_|=—Q=—,故二面角A-A/N-8的余弦值).

帅W3+(77

19.(1)

解：因所有小球的总分为120分，若甲第1次摸到白球，再摸两个球的颜色若都是红色，或者一红一蓝即

可领取奥运礼品，其概率为1X(2X1+2X3+3X2)=J_；

10x9x8360

若甲第1次摸到红球，再摸2个球的颜色若是一白一红，一白一蓝即可领取奥运礼品，其概率为

2x(lxlx2+lx3x2)1

10x9x8-45：

711

所以顾客甲能免费领取奥运礼品的概率为孤+点=或.

(2)

解：由条件可知X=70,60,55,50,45,40,35,30,

P(X=70)V：?p(X=60)=lx3x2=—

-36,

3=55)=嗡p(X=50)=^^=—,

'79x812

p(x=45)=W1p(X=40)=^=—,

=9,')9x812

g35)=3晨2_1p(X=30)='=L

一针V79x86

于是X的分布列为:

X7060555045403530

11111111

P

361291291236

其数学期望为

E(X)=70x—+60x—+55xl+50x—+45xl+40x—+35x1+30x1.

3612912912369

20.(1)

因为£=；,

a2

$△必尸=:(。+c)•2='x(1+!).〃=苫，则b?=3,

2a224

22

又片=力+c=3+-«,

4

22

解得/=4,故椭圆C的方程为三+汇=1；

43

⑵

当直线/斜率存在且不为0时，设/：y=kx+m(机。0),

y=kx+m

由,炉2zz>(3+4Z:2)x2+Skmx+4m2-12=0,

—+—=1

[43

,日X+%-4km,3m

得：%=T=K'%=如，+吁不正

故%=老=高,

XM*

3跟

则K：y二一77工，与九x+2y-4=0联立得，：“=洋，

4k2k-3

222

"户一位3、与C：5r+上v1联立得：如\备6k，

因为|OM|.|CW|=|OR|2,则如飞=片，

即建.悬=盖，解得…丐，则八，—)+1，恒过点吗,

当&=0时，易知M(0,m)(m>0),N(0,2),R(0,石)，

a33

由加,外="得相=万，则/：y=/过点(1,彳)，

当斜率不存在时，设/:x=«r>0),易知M(f,0),N(4,0),R(2,0),

3

由3/=%得f=l,则/：x=l过点(1,万)，

综上,直线/过定点(小.

2

21.(1)

(x>—\),

1+x

令r(%)=o得

因为6>0,所以m-1>-1,

当X€(_1,〃L1)时，/'(x)v0；当xw(加-L+00)时，/,(x)>0.

故函数/(X)的单调递减区间为(T，〃L1),单调递增区间为(m-1,+8).

(2)

(i)法一：因为｛4｝各项均为正整数，即4.21,故高2；.

于是-应*=47m向-2。“)，

a“+la„+\2

1

<2,

所以1%-2q.|<l,

由题意。向-2%为整数,

因此只能|a”+i-2a”|=0,

即4+i=2%.

2可+%14+M,-2屋

(i)法二：由题,<-<=>11n|

«„+l2«„+>222a„"2a,,2

因为｛q,｝各项均为正整数，即

故0楼畛于是十套《T,0)且皮+恭(0,1).

由题意。同-2勺为整数,因此只能|。向-2叫=0,即4+「=2%.

(ii)法一：由4=2,得%=2",=.

原不等式01HmH?V"o初(>£H・

Y

由(1)知加=1时，In(14-x)>(x>—1),

1+x

取一M得11扑

因此只需证：,

人=1\2」一13

”15

即证明s.=Xw<w.

E2—13

ic2*—12"-111

记贝l

2

故原不等式成立.

(