江苏省镇江市2021年中考数学真题试卷（解析版）

2021年江苏省镇江市中考数学试卷

一、填空题（本大题共12小题）

1.-5的绝对值是.

【答案】5

【解析】

【分析】根据绝对值的定义计算即可.

【详解】解：卜5|=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了绝对值的定义，掌握知识点是解题关键.

2.便，x-7有意义x的取值范围是—.

【答案】x>7

【解析】

【分析】直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案.

【详解】解：G7有意义，则厂7川，

解得：x>7.

故答案为：x>7.

【点睛】］此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式被开方数是非负数是

解题关键.

3.8的立方根是—.

【答案】2

【解析】

【分析】利用立方根定义计算即可得到结果.

【详解】解：8的立方根为2,

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的定义.

4.如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是一.

【答案】120°

【解析】

【分析】多边形的内角和可以表示成(〃-2)・180。，因为所给多边形的每个内角均相等，可设

这个正六边形的每一个内角的度数为x,故又可表示成6x,列方程可求解.

【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为X,

则6x=(6-2)*180°,

解得x=120。.

故答案为：120。.

【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式及求正多边形的内角的度数，解答时要会根

据公式进行正确运算、变形和数据处理.

5.一元二次方程x(x+1)=0的解是.

【答案】%,=0,x2=-1

【解析】

【分析】根据x(x-1)=0得到两个一元一次方程x=0,x-l=0,求出方程的解即可.

【详解】x(x-l)=0,

x=0或x+l=0,

X1=0,x2=-1

故答案为x=0或x=-l.

【点睛】此题考查解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键在于运用因式分解法.

6.小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均

成绩，则小丽的平均成绩是一分.

【答案】96

【解析】

【分析】根据加权平均数的公式计算可得.

100x6+90x4

【详解】解：小丽的平均成绩是"———=96(分)，

6+4

故答案为：96.

【点睛】本题考查的是加权平均数的求法.本题易出现的错误是求100,90这两个数的平均

数，对平均数的理解不正确.

7.某射手在一次训练中共射出了10发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中位数是

环.

次数

【解析】

【分析】根据统计图中的数据，可以得到中间的两个数据是9,9,然后计算它们的平均数

即可得到相应的中位数.

【详解】解：由统计图可得，

中间的两个数据是9,9,故射击成绩的中位数是(9+9)+2=9(:环)，

故答案为：9.

【点睛】本题考查条形统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数，会计算一组数据的

中位数.

8.如图，点。，E分别在△ABC的边4C,AB上，/\ADE^>/\ABC,M,N分别是。E,BC

【答案】y

【解析】

DE

【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出与厂，根据相似三角形面积的比等

于相似比的平方解答即可.

【详解】解：；例，N分别是OE,BC的中点，

：.AM,AN分别为△AOE、△ABC的中线，

.DEAM_I

"5C-AAT-2

...S~些=("y=J",

SMBCBC4

故答案为：!.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似

三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键.

9.如图，点A,B,C,。在网格中小正方形的顶点处，直线/经过点C,0,将AA8c沿/

平移得到AMNO,例是A的对应点，再将这两个三角形沿/翻折，P,。分别是4例的对

应点.已知网格中每个小正方形的边长都等于1,则P。的长为一.

【答案】M

【解析】

【分析】连接尸。，AM,根据PQ=AM即可解答.

【详解】解：连接尸。，AM,

由图形变换可知：PQ=4M,

22

由勾股定理得：AM=yJl+3=Vio>

.••P。=加.

故答案为：回.

【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题

的关键.

10.已知一次函数的图象经过点（1,2）,且函数值y随自变量x的增大而减小，写出符合条

件的一次函数表达式（答案不唯一，写出一个即可）

【答案】y=-x+3

【解析】

【分析】由函数值y随自变量x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出ZV0,取％=-

1,由一次函数的图象经过点（1,2）,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出2=-1+6,

解之即可得出6值，进而可得出符合条件的一次函数表达式.

【详解】解：设一次函数表达式为y=Ax+A

•.•函数值y随自变量x的增大而减小，

：.k<0,取&=-1.

又•・•一次函数的图象经过点（1,2）,

2=-1+8，

:.b=3,

；.一次函数表达式为y=-x+3.

故答案为：y--x+3.

【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“Z>0,y随

x的增大而增大；k<0,y随x的增大而减小”是解题的关键.

11.一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅

匀后从中任意摸出两个球，使得尸（摸出一红一黄）=P（摸出两红），则放入的红球个数为

【答案】3

【解析】

【分析】分别假设放入的红球个数为1、2和3,画树状图列出此时所有等可能结果，从中

找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意.

【详解】解：（1）假设袋中红球个数为1，

此时袋中由1个黄球、1个红球，

搅匀后从中任意摸出两个球，P1推出一红一黄）=1，P（换出两红）=0,不符合题意.

（2）假设袋中的红球个数为2,

列树状图如下：

开始

第一次红2黄

第二次红2黄红1黄红1红2

由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果,

.-.p（摸出一红一黄）=g=2,p（摸出两红）=2=!，不符合题意,

6363

（3）假设袋中的红球个数为3,

画树状图如下:

■<(4V»t«»

第一次

第二^

由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果,

.'.P（摸出一红一黄）=p（摸出两红）=3=1,符合题意，

122

所以放入的红球个数为3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

12.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=6,cos/ABC=；，点P在边AC上运动（可

与点A,C重合），将线段8P绕点P逆时针旋转120。，得到线段。P,连接BO,则80长

的最大值为

【答案】9G

【解析】

【分析】由旋转知ABPO是顶角为120。的等腰三角形，可求得50=百2尸，当3尸最大时,

BO取最大值，即点P与点A重合时，BP=8A最大，求出A8的长即可解决问题.

【详解】解：；将线段BP绕点尸逆时针旋转120。，得到线段力P,

：.BP=PD,

...△BP力是等腰三角形,

：.ZPBD=3>0°,

过点尸作于点H,

BH

■"s30°=——=—,

BP2

2

:.BD=£BP,

...当BP最大时，80取最大值，即点产与点A重合时，BP=BA最大,

过点A作AGLBC于点G,

'：AB=AC,AG1BC,

2

1

VcosZABC=—,

3

BG1

AB3

・"8=9,

.•.8。最大值为：BP=96

故答案为：9Ji.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出8£>=百BP

是解题的关键.

二、选择题（本大题共6小题，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题

目要求的）

13.如图所示，该几何体的俯视图是（

从上面看

A.正方形B.长方形C.三角形D.圆

【答案】C

【解析】

【分析】根据俯视图的定义，从上面看该儿何体，所得到的图形进行判断即可.

【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形.

故选：C.

【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的概念是正确判断的

前提.

14.2021年1-4月份，全国规模以上工业企业利润总额超25900亿元，其中25900用科学记

数法表示为（）

A.25.9x103B.2.59x104C.0.259x105D.

2.59X105

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中1<|«|<10,〃为整数.确定〃的值时，

要看把原数变成”时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数

绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值VI时，〃是负整数.

【详解】解：25900=2.59x104,

故选：B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中l<|a|

<10,〃为整数，表示时关键要定〃的值以及〃的值.

15.如图，NBAC=36。，点。在边AB上，。。与边AC相切于点。，交边AB于点E,F,

连接/。，则/AF。等于（）

B

1

ADC

A.27°B.29°C.35°D.37°

【答案】A

【解析】

【分析】连接0。，根据切线的性质得到400=90。，根据直角三角形的性质得到/A0。

=90。-36。=54。，根据圆周角定理即可得到结论.

【详解】解：连接。D,

与边AC相切于点£>,

?.ZADO=90°,

\'ZBAC=36°,

：.ZAOD=90°-36°=54°,

ZAFD=-ZAOD=」x54°=27,

22

故选：A.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的

关键.

16.如图，输入数值1921,按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一

个方框继续进行运算），输出的结果为（）

A.1840B.1921C.1949D.2021

【答案】D

【解析】

【分析】把1921代入程序中计算，判断即可得到结果.

【详解】解：把1921代入得：(1921-1840+50)x(-1)=-13K1000,

把-131代入得：(-131-1840+50)x(-1)=1921>1000,

则输出结果为1921+100=2021.

故选：D.

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键.

17.设圆锥的底面圆半径为r,圆锥的母线长为I,满足2升/=6,这样的圆锥的侧面积()

999

A.有最大值二兀B.有最小值：兀C.有最大值一兀D.有最小

442

狂9

值一无

2

【答案】C

【解析】

【分析】由2什/=6,得出/=6-2r,代入圆锥的侧面积公式：S的=n”，利用配方法整理得

39

出，Sw=-2兀(r--)2+—兀，再根据二次函数的性质即可求解.

22

【详解】解：,；2H7=6,

.,」=6-2r,

39

，圆锥的侧面积S侧="/="(6-2r)=2n(r2-3r)=-2n[(r---)2---]=-2兀(r-

24

39

，当尸一时,S侧有最大值大乃.

22

故选：C.

【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的

弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面

积：5=*厂・/=万〃是解题的关键.

18.如图，小明在3x3的方格纸上写了九个式子(其中的〃是正整数)，每行的三个式子的

和自上而下分别记为4,A2,A3,每列的三个式子的和自左至右分别记为8,B』B3,其

A.A\B.BiC.A2D.B3

【答案】B

【解析】

【分析】把4,42,8,当的式子表示出来，再结合值等于789,可求相应的〃的值，即可

判断.

【详解】解：由题意得：4=2"+1+2"+3+2"+5=789,

整理得：2"=260,

则〃不是整数，故4的值不可以等于789；

A2=2"+7+2"+9+2"+11=789,

整理得：2"=254,

则"不是整数，故4的值不可以等于789；

协=2"+1+2"+7+2"+13=789,

整理得:2"=256=28,

则〃是整数，故Bi的值可以等于789；

B3=2"+5+2"+11+2"+17=789,

整理得:2"=252,

则〃不是整数，故当的值不可以等于789；

故选：B.

【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子.

三、解答题(本大题共10小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.(1)计算：(1-逝)°-2sin45°+亚；

(2)化简：(N-1)+(J-_L)-x.

x

【答案】(1)1;(2)%2

【解析】

【分析】(1)根据零指数暴的意义、特殊角的锐角三角函数值即可求出答案.

(2)根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案.

【详解】解：(1)(1-V2)0-2sin45°+V2

=1-2x^^+72

2

(2)(x2-1)(1--)-%

X

X—1

=(x+l)(X-1):-------X

X

X

=(%+1)(X-1)•------X

x-\

=x(x+1)-X

【点睛】本题考查整式的运算以及分式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及

乘除运算法则.

32

20.(1)解方程：--------=0；

xx-2

3x-l>x+1

(2)解不等式组:

x+4<4x-2

【答案】(1)x=6；(2)x>2

【解析】

【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解；

(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集

即可.

32

【详解】解：(1)--------=0

xx-2

去分母得：3(x-2)-2x—0,

去括号得：3x-6-2x=0,

解得：x=6,

检验：把x=6代入得：x(%-2)=24/0,

.••分式方程的解为x=6；

3x—12x+

⑵〈c

x+4<4x-2②

由①得：应1，

由②得：x>2,

则不等式组的解集为x>2.

【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法以及

不等式组的解法是解本题的关键.

21.甲、乙、丙三人各自随机选择到A,B两个献血站进行爱心献血.求这三人在同一个献

血站献血的概率.

【答案】v

【解析】

【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的

结果数，再根据概率公式求解即可.

共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，

2I

所以这三人在同一个献血站献血的概率为一=—.

84

【点睛】此题考查了树状图法求概率.注意树状图法适台两步或两步以上完成的事件，树状

图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

22.如图，四边形ABC£＞是平行四边形，延长D4,BC,使得AE=CF,连接BE,DF.

(1)求证：ZvlBE也△CD/7；

(2)连接BO,/1=30。，/2=20。，当___。时，四边形8FDE是菱形.

【答案】(1)见解析；(2)当NA8E=10。时，四边形8FOE是菱形

【解析】

【分析】(1)根据平行四边形的性子和“SAS，可证△ABEgaCD/；

(2)先证明四边形8FDE是平行四边形，再通过证明可得结论.

【详解】解：(1)证明：•••四边形ABCC是平行四边形，

：.AB=CD,ZBAD=ZBCD,

：.Zi^ZDCF,

在△ABE和△C£＞尸中，

AE^CF

<Z1=NDCF,

AB^CD

:.△ABEqXCDF(SAS)；

(2)当NAB£=10。时，四边形BFOE是菱形,

理由如下：VAABE^ACDF,

：.BE=DF,AE=CF,

：.BF=DE,

...四边形BFDE是平行四边形，

,.,Zl=30°,N2=20°,

ZABD=Z1-Z2=1O°,

N£)BE=20°,

NDBE=NEDB=20°,

：.BE=DE,

，平行四边形BFDE是菱形,

故答案为10.

【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌

握菱形的判定是解题的关键.

23.《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”.下面是其卷中记载关于“盈不足”的

一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？

这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩

余100钱.合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题.

【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱

【解析】

【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出

300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【详解】解：设共x人合伙买金，金价为y钱,

'400x-3400=y

依题意得:

300x-100=y

x=33

解得:

y=9800

答：共33人合伙买金，金价为9800钱.

【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一

次方程组是解题的关键.

24.如表是第四至七次全国人口普查的相关数据.

我国大陆人口其中具有大学文每10万大陆人口中具有

年份

总数化程度的人数大学文化程度的人数

1990年1133682501161246781422

2000年1265830000457100003611

2010年13397248521196367908930

2020年141177872421836076715467

（1）设下一次人口普查我国大陆人口共“人，其中具有大学文化程度有人人，则该次人

口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为；（用含有。，。的代数式表示）

（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的

人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；(精

确到1°)

(3)你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？

(写出一个即可)

l00QQ0Z?

【答案】(1)；(2)56°；(3)比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学

a

文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况

【解析】

【分析】(1)根据“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的意义求解即可；

(2)求出2020年，“具有大学文化程度的人数”所占总人数的百分比，即可求出相应的圆

心角度数；

(3)根据“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义得出结论.

【详解】解：(1)由题意得，下一次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人

100000/?

故答案为:

218360767

(2)360°x___________〜56°

1411778724~'

答：表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为56。；

(3)比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民

素质和文化水平的情况.

【点睛】本题考查扇形统计图,频数分布表，掌握扇形统计图的制作方法是正确解答的前提,

理解“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义是正确判断的关键.

25.如图，点A和点E(2,1)是反比例函数y="(x>0)图象上的两点，点8在反比例函

x

数y=9(x<0)的图象上，分别过点A,B作y轴的垂线，垂足分别为点CD,AC=BD,

x

连接A3交y轴于点F.

(1)k=___；

(2)设点A的横坐标为a,点、F的纵坐标为m,求证：am-—2；

(3)连接CE,DE,当NCE£>=90。时，直接写出点A的坐标:

【解析】

【分析】(1)将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；

(2)根据AAS可证ABCF丝△ACF,根据全等三角形面积相等即可得证结论；

226

(3)设A点坐标为(小则可得C(0,D(0,--),根据勾股定理求出。值,

aaa

即可求得A点的坐标.

【详解】解：(1)•••点E(2,1)是反比例函数y="(x>0)图象上的点，

x

k

*•——1)

2

解得k=2,

故答案为：2；

(2)在ABO尸和△ACT7中，

ZACF=ZBDF

<ZCE4=NBFD,

AC=BD

：./\BDF^/\ACF(AAS),

•♦SGBDFSAACF，

1216

a即-ax(--m)=-ax(—!■〃?),

2a2a

整理得am=-2；

2

(3)设A点坐标为(a,—),

a

26

则C(0,一)，。(0,--),

aa

VE(2,1),ZCED=90°,

：.CE2+DE2=CD2,

2626

即2~+(1--)2+2~+(1H)2=(—H)2,

aaaa

解得a--2(舍去)或“=g,

.・♦A点的坐标为(1，g).

【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，

熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键.

26.如图1,正方形ABC。的边长为4,点P在边8c上，。。经过A,B,P三点.

(1)若BP=3,判断边CD所在直线与。。的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,E是CD的中点，。。交射线AE于点Q,当AP平分NE43时，求tan/E4P

的值.

图1图2

【答案】(1)相切，见解析；(2)或二1

2

【解析】

【分析】(1)如图1中，连接AP,过点。作0，_LA8于”，交CD于E.求出。E的长,

与半径半径，可得结论.

(2)如图2中，延长AE交BC的延长线于T,连接PQ.利用面积法求出BP,可得结论.

【详解】解：(1)如图1-1中，连接AP,过点。作。HL48于H,交CD于E.

E

D.

图1-1

•.•四边形ABCQ是正方形，

：.AB=AD=4,ZABP=90°,

•'•AP=JAB?+BP?=V42+32=5,

"：OHVAB,

：.AH=HB,

'：OA=OP,AH=HB,

13

：.0H=—PB=—,

22

,：4D=4DAH=NAHE=90。,

四边形矩形，

：.OELCE,EH=AD=4,

35

：.OE=EH=OH=4--=—,

22

：.OE=OP,

直线C£＞与。O相切.

(2)如图2中，延长A£交BC的延长线于T,连接PQ.

图2

VZD=Z£C7'=90°,DE=EC,ZAED=ZTEC,

(ASA),

：.AD=CT=4f

・・・87=8C+CT=4+4=8,

*.•NA8T=90。，

・・・AT=NAB?+BT?=742+82=46，

•・・4尸是直径，

，NAQP=90。，

YAI平分NE4B,PQ.LAQ.PBVAB,

:.PB=PQ,

设PB=PQ=x,

,•*5AABT=SAABP+SAAPT

/.—x4x8=—x4x/5xx+—x4xx,

2272

：.x=2亚-2,

PBx/5-1

；.tanNEAP=tanNPAB=——--------.

AB2

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形、相似三角形判定

和性质等知识，解题的关键是掌握切线的证明方法：已知垂直证半径，已知半径证垂直，利

用三角形面积不同的表示方法构建方程解决问题是难点.

27.将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A(-6,0),点8(0,

2),点C(-4,8),二次函数y=or2+fcv+c("0)的图象经过点A,B,该抛物线的对称轴经

过点C,顶点为D.

(1)求该二次函数的表达式及点。的坐标；

(2)点M在边AC上(异于点A,C),将三角形纸片A5C折叠，使得点4落在直线上,

且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N,折痕所在直线/交抛物线的对称轴于点P,

然后将纸片展开.

①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线/；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图

痕迹)

②连接MP,NP,在下列选项中：A.折痕与AB垂直，B.折痕与MN的交点可以落在抛物

MN3MNr-

线的对称轴上，C.—-=D.--=72-所有正确选项的序号是.

MP2MP

③点。在二次函数y=ox2+bx+c(存0)的图象上，当AP。。〜APMN时，求点。的坐标.

216

-§);(2)①见解析；②A,D；③⑵§)或(-

16

10,―)

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求解即可.

（2）①根据要求作出图形即可.

②如图2中，设线段的垂直平分线交抛物线对称轴于P,交MN于点Q,过点M作

MHLCD,过点。作QJJ_C。于J,QTLMH于T.想办法证明△尸MN是等腰直角三角形,

可得结论.

③设P（-4,初）.由APDQs^PMN,APMN是等腰直角三角形，推出APOQ是等腰直角

210

三角形，推出/OPQ=90。，DP^PQ=m+-,推出。（-1+机，机），构建方程求出，〃即

可.

【详解】解（1）:二次函数y=，*+6x+c（厚0）的图象经过点4（-6,0）,点8（0,2）,且

抛物线的对称轴经过点C（-4,8）,

36a-6b+2-0

c=2

---b-=—4

2。

14

解之得：a=—,b=—,c=2.

63f

14c

.•y——X2+—X+2,

-63

1,42

.•.当x=-4时，)，=-x(-4)-+—x(T)+2=--

-633

2

"(-4,-

(2)①如图1中，点M直线/即为所求.

②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P,交MN于点、Q,过点M作

MHLCD,过点。作QJLCD于J,QTLMH于T.

由题意A(-6,0),B(0,2),C(-4,8),

图2

，直线AC的解析式为y=4x+24,直线48的解析式为尸;x+2,直线8C的解析式为y=

3

-----x+2,

2

•:MN"AB、

...可以假设直线MN的解析式为＞=1x+t,

3r-72

x----------

y=—x+t11

由.3解得＜

⑵一24

y=4x+24y=

11

3Z-72⑵一24

：.M(-------------),

11ii

3c12-6r

y=——x+2x=--------

211

由，.解得《

i4+9/

y=—x+ty=-----

3ii

12-6Z4+9f

：.N(

1111

—60—3/2k-20

2222

"：QJLCD,QTLMH,

-60-3r28-3，21/-2024/-4828-3/

：.QJ=-----------+4=---------,QT=

2222222222

:・QJ=QT,

•：NPJQ=NMTQ=90°,/QPJ=/QMT,QJ=QT,

:・APJQ义丛MTQ(AAS),

・・・PQ=MQ,

VZP2M=90°,

4PMN=NMPQ=45。,

■:PM=PN,

：./PMN=NPNM=45。,

：.NMPN=90。，

••・△PMN是等腰直角三角形，

，理^=正，故选项。正确，B,C错误，

MP

:将三角形纸片ABC折叠，使得点4落在直线AB上，且点M落在边8c上,

..•折痕与AB垂直，故选项A正确，

故答案为：4,D.

③设尸(-4,〃?).

图3

■:XPDQsXPMN,△PMN是等腰直角三角形，

•••△尸。。是等腰直角三角形，

2

・・・/。尸。=90。，DP=PQ=m+一,

210

••Q(-4+W4-—,m),即Q(——机),

把Q的坐标代入丁=,炉+31+2,得到，m=+m)2+-(-—+m)+2,

636333

整理得，97n2-42%-32=0,

解得机=孚或-I"(舍弃)，

33

.16、

•.Q(2,—),

3

根据对称性可知Q'(-10,y)也满足条件，

综上所述，满足条件的点。的坐标为(2,g)或(-10,y).

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三

角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，

证明△PMN是等腰直角三角形是本题的突破点.

28.如图1,NA=NB=NC=ND=NE=/P=90。，AB,FE,OC为铅直方向的边，AF,

ED,BC为水平方向的边，点E在AB,CD之间，且在AF,BC之间，我们称这样的图形为

“L图形"，记作'2图形ABC-OEP”.若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称

这样的直线为该L图形的面积平分线.

【活动】

小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2,将这个L图形分成矩形AGEF、

矩形G8C£>,这两个矩形的对称中心Oi,。2所在直线是该L图形的面积平分线.请用无刻

度的直尺在图1中作出其他的面积平分线.(作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹)

图1图2

【思考】

如图3,直线。1。2是小华作的面积平分线，它与边BC,AF分别交于点M,N,过MN的中

点0的直线分别交边BC,A尸于点P,。,直线PQ(填“是”或“不是"比图形ABCDEF

的面积平分线.

图3图4

【应用】

在L图形ABCDE尸形中，已知AB=4,BC=6.

(1)如图4,CD=AF^\.

①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P,Q,求PQ长的最大值；

②该乙图形的面积平分线与边48,CD分别相交于点G,H,当GH的长取最小值时，BG

的长为—.

(2)设空=，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与

AF

边AB,CD相交的面积平分线，直接写出f的取值范围—.

31?

【答案】【活动】见解析；【思考】是；【应用】(1)①遥；②:；(2)-<r<-

433

【解析】

【分析】［活动］如图1,根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心

。，02所在直线是该L图形的面积平分线；

［思考］如图2,证明△OQN丝△0PM(AAS),根据割补法可得直线PQ是力图形ABCDEF

的面积平分线；

［应用］

(1)①建立平面直角坐标系，分两种情况：如图3-1和3-2,根据中点坐标公式和待定

系数法可得面积平分线的解析式,并计算P和Q的坐标,利用两点的距离公式可得PQ的长,

并比较大小可得结论；

②当时，G”最小，设BG=x,根据面积相等列方程，解出即可；

(2)如图5,由已知得：CD=tAF,直线。E将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于

下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边A8,CD相

交的面积平分线，列不等式可得，的取值.

【详解】解：【活动】如图1,直线01。2是该L图形的面积平分线；

图1

【思考】如图2,VZA=ZB=90°,

1\VQ/F

'PA/'

图2

：.AF//BC,

：.ZNQO=ZMPO,

•••点。是MN的中点，

：.ON=OM,

在AOQN和ZkOPM中，

ZNQO^ZMPO

<ZNOQ=4Mop,

ON=OW

:.△OQNQAOPM(44S),

・・S>OQN=S〉OPM,

,:S梯形ABMN=SMNFEDC，

:・S梯形A8MN-S△OPM=SMNFEDC~S&OQN，

即SABPON=SCDEFQOM,

SABPON+S^OQN=SCD