多元函数微积分课件

第6章多元函数微积分

第1节多元函数的概念

第2节多元函数的偏导数和全微分

第3节多元复合函数、隐函数的求导法则

第4节多元函数微分法的应用

第5节二重积分的概念

第6节二重积分的计算

第7节二重积分的应用

1精选ppt课件§6.1多元函数的概念

二元函数的定义

二元函数的几何意义二元函数的极限

二元函数的连续性

小结

思考与练习2精选ppt课件

定义1

的函数值，函数值的总体称为函数的值域。类似地，可定义三元函数及其他多元函数。二元函数的定义3精选ppt课件例１4精选ppt课件例2

一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布唯一的温度类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。5精选ppt课件一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。二元函数的几何意义6精选ppt课件（2）

二元函数z=f(x,y)的图形——通常是一张曲面（函数曲面）.7精选ppt课件二元函数的极限8精选ppt课件小结：（１）（２）9精选ppt课件例３

求证证明10精选ppt课件由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数11精选ppt课件性质１（最大值和最小值定理）二元函数的连续性12精选ppt课件性质３（零点定理）性质４（有界性定理）性质２（介值定理）13精选ppt课件例４设解因此14精选ppt课件小结：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域．由多元初等函数的连续性，如果要求它在点思考题:一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。15精选ppt课件§6.2多元函数的偏导数和全微分

偏导数的概念

偏导数的几何意义偏导数与连续的关系

小结

思考与练习

高阶偏导数

全微分的概念和应用（未做）16精选ppt课件偏导数的概念17精选ppt课件同理,如果极限导数,记作18精选ppt课件偏导函数,简称偏导数,记作19精选ppt课件解根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数,并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍然适用.例120精选ppt课件例2解所以21精选ppt课件例3解22精选ppt课件意义.偏导数的几何意义23精选ppt课件如下图所示24精选ppt课件例如偏导数与连续的关系25精选ppt课件注:偏导数存在与连续的区别(1)偏导数存在，不一定连续；(2)连续，不一定存在偏导数；26精选ppt课件高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设一般来说,这两个偏导数还是可定义二元函数的二阶偏导数如下高阶偏导数27精选ppt课件28精选ppt课件例4解29精选ppt课件二阶以上的偏导数称为高阶偏导数30精选ppt课件例5解31精选ppt课件上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有条件的.为此,给出下面的定理:定理6.1相等.例632精选ppt课件解因为所以小结：

在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导次序无关。33精选ppt课件§6.3多元函数复合函数、隐函数的求导法则

多元复合函数的求导法则

隐函数的偏导数求法

小结

思考与练习34精选ppt课件定理6.5多元复合函数求导法则35精选ppt课件证明36精选ppt课件37精选ppt课件所以有完全类似地可以证明第二个等式。下面再介绍一特殊情形。38精选ppt课件另外，对于自变量或中间变量多于两个的情形，也有类似则39精选ppt课件

（1）搞清函数的复合关系；（2）对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切有关的中间变量而归结到该自变量。例1解注意：40精选ppt课件例2解41精选ppt课件隐函数的偏导数求法42精选ppt课件同理可证定理6.6（隐函数存在定理）43精选ppt课件并有注意例3解44精选ppt课件例4解45精选ppt课件应用上面公式，得46精选ppt课件§6.4多元函数微分法的应用

在几何上的应用

二元函数极值的求法

小结

思考与练习47精选ppt课件

1.空间曲线的切线与法平面在几何上的应用48精选ppt课件即49精选ppt课件例1解50精选ppt课件于是，切线方程为法平面方程为2.曲面的切平面方程与法线方程为51精选ppt课件52精选ppt课件例2解或法线方程为53精选ppt课件1、二元函数的极值二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。定理6.7(极值存在必要条件)使二元函数极值的求法54精选ppt课件定理6.8（极值存在充分条件）令55精选ppt课件第一步第二步第三步56精选ppt课件

例3解（1）求驻点解方程组（2）判断驻点是否极值点，若是，说明取得极值情况又由于57精选ppt课件2.条件极值与拉格朗日乘数法在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件条件极值问题有如下两种解法。方法1例4解58精选ppt课件由一元函数极值存在的必要条件，得所以方法2（拉格朗日数乘法）59精选ppt课件这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还