新教材2024版高中数学第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课后提能训练新人教A版必修第一册

第三章3.13.1.1A级——基础过关练1．下列各式中是函数的个数为()①y＝6；②y＝－x2；③y＝4－x；④y＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)．A．4 B．3C．2 D．1【答案】B【解析】根据函数的定义可知①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,1－x≥0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x≤1，))∴x无解，∴④不是函数．2．(2023年江门期末)函数f(x)＝eq\f(\r(5－x),x－2)的定义域为()A．(－∞，5] B．[5，＋∞)C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，5]【答案】D【解析】要使得函数有意义，则5－x≥0且x－2≠0，解得x≤5且x≠2，则函数的定义域为(－∞，2)∪(2，5]．故选D．3．(多选)下列各组函数是同一函数的有()A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝eq\r(－x3)与g(x)＝xeq\r(－x)C．f(x)＝eq\f(x,x)与g(x)＝eq\f(1,x0)D．f(x)＝x与g(x)＝eq\r(x2)【答案】AC【解析】对于A，f(x)＝x2－2x－1的定义域为R，g(s)＝s2－2s－1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f(x)＝eq\r(－x3)＝－xeq\r(－x)的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝xeq\r(－x)的定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于C，f(x)＝eq\f(x,x)＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝eq\f(1,x0)＝1的定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝eq\r(x2)＝|x|的定义域为R，对应关系不同，不是同一函数．故选AC．4．(2023年昆明期末)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是()eq\o(\s\up7(),\s\do5(A)) eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C)) eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))【答案】D【解析】选项A，当0＜x≤4时，每个x对应2个y，错误；选项B，不满足定义域为A＝{x|0≤x≤4}，错误；选项C，不满足值域为B＝{x|0≤x≤2}，错误；选项D，每个x都满足从集合A到集合B的函数关系，正确．故选D．5．若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1]，则y＝f(|x|－1)的定义域为()A．[－1，1] B．[－1，0]C．[0，1] D．[－2，2]【答案】D【解析】因为y＝f(x)的定义域为[－1，1]，所以由－1≤|x|－1≤1，得0≤|x|≤2，解得－2≤x≤2，即y＝f(|x|－1)的定义域为[－2，2]．故选D．6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝eq\f(1,\r(x))C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x2＋1【答案】B【解析】y＝eq\r(x)的值域为[0，＋∞)，y＝eq\f(1,x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．7．(2023年乌鲁木齐期末)在下列函数中，与y＝|x|表示同一函数的是()A．y＝(eq\r(x))2 B．y＝eq\r(3,x3)C．y＝eq\r(4,x4) D．y＝eq\f(x2,|x|)【答案】C【解析】选项A，y＝(eq\r(x))2＝x(x≥0)，与y＝|x|不表示同一函数；选项B，y＝eq\r(3,x3)＝x，与y＝|x|不表示同一函数；选项C，y＝eq\r(4,x4)＝|x|，与y＝|x|表示同一函数；选项D，y＝eq\f(x2,|x|)＝|x|(x≠0)，与y＝|x|不表示同一函数．故选C．8．用区间表示下列数集：(1){x|x≥5}＝________________；(2){x|1＜x≤3}＝________________；(3){x|x＞－1且x≠0}＝____________．【答案】(1)[5，＋∞)(2)(1，3](3)(－1，0)∪(0，＋∞)9．设f(x)＝eq\f(1,1－x)，则f(f(x))＝__________．【答案】eq\f(x－1,x)(x≠0且x≠1)【解析】f(f(x))＝eq\f(1,1－\f(1,1－x))＝eq\f(1,\f(1－x－1,1－x))＝eq\f(x－1,x)．10．试求下列函数的定义域与值域：(1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；(2)y＝(x－1)2＋1；(3)y＝eq\f(5x＋4,x－1)；(4)y＝x－eq\r(x＋1)．解：(1)函数的定义域为{－1，0，1，2，3}．当x＝－1时，y＝[(－1)－1]2＋1＝5．同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1，2，5}．(2)函数的定义域为R．因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．(3)函数的定义域是{x|x≠1}．y＝eq\f(5x＋4,x－1)＝5＋eq\f(9,x－1)，所以函数的值域为{y|y≠5}．(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝eq\r(x＋1)，则x＝t2－1(t≥0)，所以f(t)＝t2－1－t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(5,4)．又因为t≥0，故f(t)≥－eq\f(5,4)，所以函数的值域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－\f(5,4)))))．B级——能力提升练11．下列对应是从集合A到集合B的函数的是()A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→eq\f(1,|x|)B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→eq\r(x)【答案】C【解析】A中，x＝0时，集合B中没有元素与之对应；B中，x＝1时，|x－1|＝0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应．12．(2023年邢台期末)已知函数f(x)＝eq\f(11,\r(x－2))，则函数y＝f(x)－f(13－x)的定义域为()A．(2，11) B．(2，13)C．(2，15) D．(4，11)【答案】A【解析】∵函数f(x)＝eq\f(11,\r(x－2))，∴函数f(x)＝eq\f(11,\r(x－2))的定义域为(2，＋∞)，∴函数y＝f(x)－f(13－x)的x需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞2，,13－x＞2，))即2＜x＜11．故选A．13．(2023年重庆期末)高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[2.3]＝2，[－0.5]＝－1，当x∈(－1.5，2)时，函数y＝[x]x的值域为________．【答案】[0，2)∪(2，3)【解析】依题意，当－1.5＜x＜－1时，[x]＝－2，则y＝－2x∈(2，3)；当－1≤x＜0时，[x]＝－1，则y＝－x∈(0，1]；当0≤x＜1时，[x]＝0，则y＝0；当1≤x＜2时，[x]＝1，则y＝x∈[1，2)．所以当x∈(－1.5，2)时，函数y＝[x]x的值域为[0，2)∪(2，3)．14．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是__________，其中只与x的一个值对应的y值的范围是____________．【答案】[－3，0]∪[2，3][1，2)∪(4，5]【解析】观察函数图象可知，f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；只与x