2024届安徽省安庆第一中学高一数学第二学期期末监测模拟试题含解析

2024届安徽省安庆第一中学高一数学第二学期期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在平面直角坐标系中，过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，则的面积的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列各命题中，假命题的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关3．在中，已知，则等于()A． B．C．或 D．或4．已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于()A．1 B． C． D．5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A． B． C． D．6．已知角α的终边上有一点P（sin，cos），则tanα=（）A． B． C． D．7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则是（）A．纯角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形8．已知直线和，若，则实数的值为A．1或 B．或 C．2或 D．或9．等比数列的前n项和为，已知，则A． B． C． D．10．某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（）A．41 B．42 C．43 D．44二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数，的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_____.12．在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.13．已知等差数列{an}的公差为d，且d≠0，其前n项和为Sn，若满足a1，a2，a5成等比数列，且S3＝9，则d＝_____，Sn＝_____.14．按照如图所示的程序框图，若输入的x值依次为，0，1，运行后，输出的y值依次为，，，则________.15．已知数列中，，，则数列通项___________16．设x、y满足约束条件，则的取值范围是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是1．（1）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．18．已知函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）.（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间：（2）将f（x）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，求实数m的取值范围.19．已知函数，.（1）把表示为的形式，并写出函数的最小正周期、值域；（2）求函数的单调递增区间：（3）定义：对于任意实数、，设，（常数），若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围.20．已知函数，，数列满足，，.（1）求证；（2）求数列的通项公式；（3）若，求中的最大项.21．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．组号分组频数频率第1组5第2组①第3组30②第4组20第5组10（1）请先求出频率分布表中位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试，求：第组至少有一名学生被考官面试的概率．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

利用直线的方程过点分别与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，可得：，，结合基本不等式的性质即可得出.【题目详解】在平面直角坐标系中，过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，且构成，所以，直线斜率一定存在，设，，：，，则有：，，解得，当且仅当：，即时，等号成立，的面积为：.故选：B【题目点拨】本题考查了直线的截距式方程、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.2、D【解题分析】

根据弧度制的概念，逐项判断，即可得出结果.【题目详解】A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，正确；B选项，一度的角是周角的，一弧度的角是周角的，正确；C选项，根据弧度的定义，一定等于弧度，正确；D选项，用角度制度量角，与圆的半径长短无关，故D错.故选：D.【题目点拨】本题主要考查弧度制的相关判定，熟记概念即可，属于基础题型.3、C【解题分析】在中，已知，由余弦定理，即，解得或，又，或，故选C.4、B【解题分析】

利用等差数列的性质将化为同底的，再化简，将分子分母配凑成前n项和的形式，再利用题干条件，计算。【题目详解】∵等差数列，的前项和分别为，，对任意的正整数，都有，∴．故选B.【题目点拨】本题考查等差数列的性质的应用，属于中档题。5、B【解题分析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.6、A【解题分析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【题目详解】解：∵角α的终边上有一点P（sin，cos），∴x＝sin，y＝cos，∴则tanα，故选A．【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7、B【解题分析】

利用正弦定理结合条件，得到，再由，结合余弦定理，得到，从而得到答案.【题目详解】在中，由正弦定理得，而，所以得到，即，为的内角，所以，因为，所以，由余弦定理得.为的内角，所以，所以，为等边三角形.故选：B.【题目点拨】本题考查正弦定理和余弦定理判断三角形形状，属于简单题.8、C【解题分析】

利用直线与直线垂直的性质直接求解．【题目详解】∵直线和，若，∴，得，解得或，∴实数的值为或．故选：C．【题目点拨】本题考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9、A【解题分析】设公比为q,则，选A.10、A【解题分析】

由系统抽样．先确定分组间隔，然后编号成等差数列来求所抽取号码．【题目详解】由题知分组间隔为以，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为.故选：A.【题目点拨】本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念与方法是解题基础．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

作出其图像，可只有两个交点时k的范围为.故答案为12、【解题分析】

假设正方体棱长，根据//，得到异面直线与所成角，计算，可得结果.【题目详解】假设正方体棱长为1，因为//，所以异面直线与所成角即与所成角则角为如图，所以故答案为：【题目点拨】本题考查异面直线所成的角，属基础题.13、2n2.【解题分析】

由已知列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，再由等差数列的前项和求解.【题目详解】由题意，有，即，解得，所以.故答案为：，.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，属于基础题.14、5【解题分析】

根据程序框图依次计算出、、后即可得解.【题目详解】由程序框图可知，；，；，.所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了程序框图的应用，属于基础题.15、【解题分析】分析：在已知递推式两边同除以，可得新数列是等差数列，从而由等差数列通项公式求得，再得．详解：∵，∴两边除以得，，即，∵，∴，∴是以为首项，以为公差的等差数列，∴，∴．故答案为．点睛：在求数列公式中，除直接应用等差数列和等比数列的通项公式外，还有一种常用方法：对递推式化简变形，可构造出新数列为等差数列或等比数列，再由等差（比）数列的通项公式求出结论．这是一种转化与化归思想，必须掌握．16、【解题分析】

由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距取值范围的求解；通过直线平移可确定的最值点，代入点的坐标可求得最值，进而得到取值范围.【题目详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将的取值范围转化为在轴截距的取值范围问题由平移可知，当过图中两点时，在轴截距取得最大和最小值，，的取值范围为故答案为：【题目点拨】本题考查线性规划中的取值范围问题的求解，关键是能够将问题转化成直线在轴截距的取值范围的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（3）甲班参加；（4）．【解题分析】

试题分析：（3）由题意知求出x=5，y=4．从而求出乙班学生的平均数为83，分别求出S34和S44，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛．（4）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出随机抽取4名，至少有3名来自甲班的概率．试题解析：（3）甲班的平均分为，易知．；又乙班的平均分为，∴；∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．（4）分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为．考点：3．古典概型及其概率计算公式；4．茎叶图．18、（1）函数的最小正周期为π;函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z（2）m∈[﹣2，1]【解题分析】

（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论；（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得的范围，进而可得的范围.【题目详解】（1）函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）sin2x﹣（1+cos2x）＝2sin（2x）﹣1，故函数的最小正周期为π.令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，可得函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z.（2）将f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝2sin（2x）﹣1＝2sin（2x）﹣1的图象.在区间[0，]上，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）∈[﹣2，1].若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，则m∈[﹣2，1].【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.19、（1）；（2）（3）【解题分析】

（1）结合二倍角正弦公式和辅助角公式即可化简；（2）结合（1）中所求表达式，正弦型函数单调增区间的通式即可求解；（3）根据题意可得，，求出的值域，列出关于的不等式组，即可求解【题目详解】（1），，值域为；（2）令，解得，所以函数的单调递增区间为，;（3）若对于任意，总存在，使得恒成立，则，，当，即时，，当，即时，，故，所以，解得，所以实数的取值范围是【题目点拨】本题考查三角函数的化简和三角函数的性质应用，函数恒成立问题的转化，属于中档题20、（1）见解析；（2）；（3）【解题分析】

（1）将化简后可得要求证的递推关系.（2）将（1）中的递推关系化简后得到，从而可求的通项公式.（3）结合（2）的结果化简，换元后利用二次函数的性质可求最大值.【题目详解】（1）证明：由，，，得.又，∴.（2）∵，即，∴是公比为的等比数列.又，∴.（3）由（2）知，因为，所以，所以，令，则，又因为且，所以所以中的最大项为.【题目点拨】数列最大项、最小项的求法，一般是利用数列的单调性去讨论，但是也可以根据通项的特点，利用函数的单调性来讨论，要注意函数的单调性与数列的单调性的区别与联系.21、（1）人，，直方图见解析；（2）人、人、人；（3）.【解题分析】

（1）由频率分布直方图能求出第组的频数，第组的频率，从而完成频率分布直方图．（2）根据第组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第组分别抽取进入第二轮面试的人数．（3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率．【题目详