2024届宁夏银川市宁夏大学附中高一数学第二学期期末考试试题含解析

2024届宁夏银川市宁夏大学附中高一数学第二学期期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列正确的是()A．若a，b∈R，则B．若x<0，则x＋≥－2＝－4C．若ab≠0，则D．若x<0，则2x＋2－x>22．已知集合A＝｛x∈N｜0≤x≤3｝，B＝｛x∈R｜－2＜x＜2｝则A∩B()A．{0,1} B．{1} C．[0,1] D．[0,2)3．已知集合，，则()A． B． C． D．4．化为弧度是A． B． C． D．5．已知为第Ⅱ象限角，则的值为（）A． B． C． D．6．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为30°，则与所成角的度数为（）A．90° B．45° C．60° D．30°7．已知函数f（x），则f[f（2）]＝（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数的部分图象如图，则的值为()A． B． C． D．9．已知，那么等于()A． B． C． D．510．如图，设是正六边形的中心，则与相等的向量为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，则________.12．已知，，若，则________.13．不论k为何实数，直线通过一个定点，这个定点的坐标是______.14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，则x的值为_________.15．已知函数，若，则的取值围为_________.16．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和.18．（1）求证：（2）请利用（1）的结论证明：（3）请你把（2）的结论推到更一般的情形，使之成为推广后的特例，并加以证明：（4）化简：.19．已知直线（1）若直线过点，且.求直线的方程.（2）若直线过点A(2,0)，且，求直线的方程及直线,,轴围成的三角形的面积.20．已知.（1）若三点共线，求实数的值；（2）证明：对任意实数，恒有成立.21．已知圆过点.（1）点，直线经过点A且平行于直线，求直线的方程；（2）若圆心的纵坐标为2,求圆的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－<a＋b＝－3，所以C选项不成立；对于D，若x<0，则2x＋2－x>2成立．故选D.2、A【解题分析】

可解出集合A，然后进行交集的运算即可．【题目详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；∴A∩B＝{0，1}．故选：A．【题目点拨】本题考查交集的运算，是基础题，注意A中x∈N3、D【解题分析】依题意，故.4、D【解题分析】

由于，则.【题目详解】因为，所以，故选D.【题目点拨】本题考查角度制与弧度制的互化.5、B【解题分析】

首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．【题目详解】因为，所以或，又为第Ⅱ象限角，故，．因为为第Ⅱ象限角即，所以，，即为第Ⅰ，Ⅲ象限角．由于，解得，故选B．【题目点拨】本题主要考查二倍角公式的应用以及象限角的集合应用．6、A【解题分析】

取的中点,利用三角形中位线定理,可以得到,与所成角为，运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出与所成角的度数.【题目详解】取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，的中点，所以有，因为与所成角的度数为30°，所以，与所成角的大小等于的度数.在中，，故本题选A.【题目点拨】本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.7、B【解题分析】

根据分段函数的表达式求解即可.【题目详解】由题.故选：B【题目点拨】本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型.8、B【解题分析】

根据函数的部分图象求出、、和的值，写出的解析式，再计算的值．【题目详解】根据函数，，的部分图象知，，，，解得；由五点法画图知，，解得；，．故选．【题目点拨】本题主要考查利用三角函数的部分图象求函数解析式以及利用两角和的正弦公式求三角函数的值．9、B【解题分析】

因为，所以，故选B.10、D【解题分析】

容易看出，四边形是平行四边形，从而得出.【题目详解】根据图形看出，四边形是平行四边形故选：【题目点拨】本题考查相等向量概念辨析，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

直接利用倍角公式展开，即可得答案.【题目详解】由，得，即，．故答案为：．【题目点拨】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，属于基础题．12、【解题分析】

先算出的坐标，然后利用即可求出【题目详解】因为，所以因为，所以即，解得故答案为：【题目点拨】本题考查的是向量在坐标形式下的相关计算，较简单.13、(2,3)【解题分析】

将直线方程变形为，它表示过两直线和的交点的直线系，解方程组，得上述直线恒过定点，故答案为.【方法点睛】本题主要考查待定直线过定点问题.属于中档题.探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.14、【解题分析】

根据茎叶图中数据和中位数的定义可构造方程求得.【题目详解】甲组数据的中位数为，解得：故答案为：【题目点拨】本题考查茎叶图中中位数相关问题的求解，属于基础题.15、【解题分析】

由函数，根据，得到，再由，得到，结合余弦函数的性质，即可求解.【题目详解】由题意，函数，又由，即，即，因为，则，所以或，即或，所以实数的取值围为.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了余弦的倍角公式，以及三角不等式的求解，其中解答中熟练应用余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16、1【解题分析】

由已知中二面角α﹣l﹣β等于110°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长．【题目详解】∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于110°，且AB＝AC＝BD＝1，∴，60°，∴故答案为1．【题目点拨】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2)【解题分析】

（1）将已知条件凑配成，由此证得数列为等差数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，进而求得的表达式，利用分组求和法求得.【题目详解】（1）证明：∵∴又∵∴所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）知，，所以.所以【题目点拨】本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题.18、（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3），证明见解析（4）【解题分析】

（1）右边余切化正切后，利用二倍角的正切公式变形可证；（2）将（1）的结果变形为，然后将所证等式的右边的正切化为余切即可得证；（3）根据（1）（2）的规律可得结果；（4）由（3）的结果可得.【题目详解】（1）证明：因为，所以（2）因为，所以，所以（3）一般地：，证明：因为所以，以此类推得（4）.【题目点拨】本题考查了归纳推理，考查了同角公式，考查了二倍角的正切公式，属于中档题.19、(1)；(2)；【解题分析】

（1）根据已知求得的斜率，由点斜式求出直线的方程.（2）根据已知求得的斜率，由点斜式写出直线的方程，联立的方程，求得两条直线交点的坐标，再由三角形面积公式求得三角形面积.【题目详解】解：（1）∵∥，∴直线的斜率是又直线过点，∴直线的方程为，即（2）∵，∴直线的斜率是又直线过点，∴直线的方程为即由得与的交点为∴直线,,轴围成的三角形的面积是【题目点拨】本小题主要考查两条直线平行、垂直时，斜率的对应关系，考查直线的点斜式方程，考查两条直线交点坐标的求法，考查三角形的面积公式，属于基础题.20、(1)-3；(2)证明见解析.【解题分析】分析：（1）由题意可得，结合三点共线的充分必要条件可得.（2）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则可得，则恒有成立.详解：（1），∵三点共线，∴，∴.（2），∴，∴恒有成立.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）求出直线的斜率，由直线与直线平行，可知这两条直线的斜率相等，再利用点斜式可得出直线的方程