吉林省长春市二道区2023-2024学年九年级上学期12月期末数学试题（含解析）

九年级质量调研数学试题本试卷包括三道大题，共24题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡．一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（）A．x≥2 B．x≤2C．x＞2 D．x＜22．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（

）A． B． C．3 D．63．用配方法解方程，下列配方正确的是（

）A． B． C． D．4．若，则的值为（

）A． B． C． D．5．如果在中，点、、分别为边、、的中点，，，，那么的面积为（

）A． B．15 C．30 D．606．教育部发布的统计数据显示，近年来越来越多的出国留学人员学成后选择回国发展，留学回国与出国留学人数“逆差”逐渐缩小．2021年各类留学回国人员总数为36.48万人，而2023年各类留学回国人员总数为43.25万人．如果设2021年到2023年各类留学回国人员总数的年平均增长率为x，那么根据题意可列出关于x的方程为（

）A． B．C． D．7．如图，已知直线，且相邻两平行线间的距离均相等，等腰直角三角形中，．若点在上，点在上，点在上，则的值为（

）A． B． C． D．8．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．与相交于点，则图中的面积为（

）A．5 B．6 C． D．二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）9．比较大小：（请填写“>”、“<”或“=”）．10．关于的方程是一元二次方程，则的值为．11．在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球共20个，这些小球除了颜色不同外其它特质均相同．欣欣同学进行了摸球试验，每次摸出一个小球记下颜色，然后放回袋中搅拌均匀，再从中摸出一个…如此重复，经大量的试验发现摸到红球的频率稳定在左右，由此可以估计袋中红球的个数为个．12．如图，在测量一个小口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明先用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）按图中方法测量零件的内孔直径．现如果，且量得，零件的外径为，则圆形容器的壁厚是．13．如图，在平面直角坐标系中，是第一象限的点，其坐标为，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为．14．如图①，一张正三角形纸片，，点在边上，，点是边上的一点．如图②，将沿翻折得到，与的边相交于点和点．若，，则的长度为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：．16．解方程：．17．为了进一步培养青少年对冰雪运动的兴趣，长春市多家滑雪场面向青少年优惠开放，有净月潭滑雪场、天定山滑雪场、庙香山滑雪场三个雪场可供学生选择．现有三张正面印有这三个滑雪场图案的不透明卡片，依次记为A、B、C，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后小亮再从中随机抽取一张.请用画树状图或列表的方法，求小张和小亮抽到同一雪场的概率．

18．已知关于的一元二次方程．求证：对于任意实数，原方程总有两个实数根．19．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：(1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得．(2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹）(3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹）20．某临街店铺在窗户上方安装如图①所示的遮阳棚，其侧面如图②所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚与墙面的夹角.，求遮阳棚前端到墙面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）21．如图，公园有一块正方形空地，现在从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（图中阴影部分），原空地边减少到点处，另一边减少到点处，若剩余空地是矩形且面积为．(1)求原正方形空地的边长．(2)实际建造时要求栽种鲜花的面积是原正方形空地面积的一半，且不改变的长度，求实际建造时的长度．22．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：（ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；的有理化因式是．（ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．例如：；．【知识运用】（1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______．（2）把下列各式的分母有理化：①；②．（3）化简：．23．【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且．连结，交于点，求的值．小明发现，过点作交于，可证明，得到相关结论后，再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：解：如图①，过点作交于，则，，∵是的中点，∴，∴，∴，∴，∵是的一个三等分点，且，∴，∴，∴请你补全余下的证明过程．【尝试应用】如图②，在中，为上一点，，连结，若，交、于点、．若，，，则的长为______．【拓展提高】如图③，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，则的值为______．24．如图，在矩形中，是对角线，，．动点从点出发，沿折线以每秒4个单位长度的速度向点运动；与此同时，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动，以和为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒（）．(1)用含的代数式表示线段的长为______．(2)______．(3)当与平行四边形重合部分是四边形时，求的取值范围．(4)当直线将平行四边形分成两部分的面积比为时，直接写出的值．

参考答案与解析

1．A【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围．【详解】∵在实数范围内有意义，∴x−2≥0，解得x≥2．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．2．D【分析】本题考查一元二次方程的根，根据定义“一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值”，将代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值．【详解】解：将代入，得：，解得，故选D．3．C【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．方程常数项移动右边，左右两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】解：方程，移项得：∴，即．故选：C．4．B【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题．设，代入计算即可．【详解】解：∵，∴可以假设∴．故选：B．5．A【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据勾股定理的逆定理得到，求出的周长和面积，证明，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵，，，，∴，，的周长，∴，∴，∴∵点、、分别为边、、的中点，∴∴，且相似比为，∴的周长，故选：A．6．C【分析】本题主要考查一元二次方程的应用增长率的计算，根据题意解题即可．【详解】解：设2021年到2023年各类留学回国人员总数的年平均增长率为x，则2022的留学回国人员总数为：，2023的留学回国人员总数为：，那么可得方程：故选：C．7．B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，由锐角的余弦定义即可求解．【详解】解：如图，过点作于，过点作于，设相邻两平行线间的距离为，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，．故选：B．8．C【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积．根据相似三角形的判定与性质求出，再根据三角形面积公式求出，，两式相减求解即可．【详解】解：根据题意得，，，，，，，，，，故选：C．9．【分析】先将两个无理数平方后比大小，进而可得两个无理数的大小．【详解】解：，，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了无理数比大小．解题的关键在于熟练掌握无理数比大小的方法．10．【分析】根据二次项系数不为零，最高次项的次数为2，求解即可．【详解】∵关于x的方程是一元二次方程，∴，∴，且，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．11．12【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，在大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值得到摸到红球的概率为，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的数量．【详解】解：∵经大量的试验发现摸到红球的频率稳定在左右，∴摸到红球的概率为，∴可以估计袋中红球的个数为个，故答案为：12．12．4【分析】本题考查相似三角形的应用，只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比求出零件的内孔直径即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，∴圆形容器的壁厚是，故答案为：4．13．6【分析】本题考查解直角三角形，过P作轴于H，由P的坐标，得到，，由锐角的正切等于求出，即可得到x的值为6．【详解】解：过P作轴于H，∵P的坐标是，∴，，∵，∴，∴x的值为6．故答案为：6．14．9【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得：，，从而可得，，然后证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：是等边三角形，，，，，由折叠得：，，，，，，，，，，故答案为：9．15．【分析】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】原式.16．，【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：，∴，∴，∴，∴，解得：，．17．【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况，利用概率公式计算即可．【详解】解：根据题意，树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的情况，其中小张和小亮抽到同一雪场的情况有3种，，因此小张和小亮抽到同一雪场的概率为．18．见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】证明：在一元二次方程中，∵，，，∴．

∵无论为任意实数，．∴对于任意实数，原方程总有两个实数根．19．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质；（1）取的中点，连接即可；（2）取BC的中点，的中点，连接交一点，点即为所求；（3）取BC的中点，的中点，连接交一点，连接交于点，连接即可．【详解】（1）如图①中，线段即为所求；（2）如图②中，点即为所求；（3）如图③中，线段即为所求．20．遮阳棚前端到墙面的距离为【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于E，在中，根据列式计算是解题的关键．【详解】过点作于点，则．在中，，，，

∴．∴遮阳棚前端到墙面的距离为．21．(1)原正方形空地边长为6米(2)实际建造时的长度为4.5米【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．（1）设原正方形空地的边长为根据剩余空地是矩形且面积为．列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）根据实际建造时栽种鲜花的面积是原正方形空地面积的一半，列出一元一次方程，解方程即可．【详解】（1）解：设原正方形空地的边长为由题意得：，解得，（舍）.答：原正方形空地边长为6米.（2）解：依题意，答：实际建造时的长度为4.5米.22．（1）；；（2）①；②；（3）2【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化：（1）根据有理化因式定义求解；（2）①②利用分母有理化计算；（3）先分母有理化，然后合并即可．【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是.故答案为：（答案不唯一）；；（2）①.②.

（3）.23．【感知】3，补全证明见详解；【尝试应用】；【拓展提高】【感知】由得，可推导出，进而得出答案．【尝试应用】取的中点H，连结，得，则，可证，得，可得，进而求得．【拓展提高】作交于点L，得，由平行四边形得和，可证，得到，由，得到，进一步得，则有．【详解】解：感知：如图①，过点作交于，则，，∵是的中点，∴，∴，∴，∴，∵是的一个三等分点，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，尝试应用：取的中点H，连结，如下图：则，∵，，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．拓展提高：如图，作交于点L，∵点E为的中点，∴，∴，则，∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴，则，∵，∴，∴，则，那么，，∴，故．故答案为∶．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是作辅助线并转化线段之间的关系．24．(1)(2)(3)当时，与平行四边形重合部分是四边形(4)t的值为1或或或【分析】（1）根据题意易得先到达终点，所以，，即可得到答案；（2）；（3）分别讨论点在线段和上的两种情况即可，在线段上时需要点在线段以下，在线段上时需要点在点以上；（4）分别讨论点在线段和上的重合部分分别为三角形和四边形的四种情