2022-2023学年山东省临沂市沂水一中高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年山东省临沂市沂水一中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（）A．9 B．8 C．7 D．62．（5分）条件p：，条件q：（x+2）（x+2a）＜0，若p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．[﹣2，2） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）3．（5分）函数的图象大致是（）A． B． C． D．4．（5分）若正实数a，b，c满足c＜cb＜ca＜1，则（）A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa5．（5分）若a＞0且a≠1，函数，满足对任意的实数x1≠x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）6．（5分）形如的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数（a＞0，a≠1）有最小值，则“囧函数”与函数y＝loga|x|的图象交点个数为（）A．1 B．2 C．4 D．67．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且x＝时，函数f（x）取最小值，若函数f（x）在[0，a]上单调递减，则a的最大值是（）A． B． C． D．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）＝2﹣|x﹣4|，则（）A． B．f（sin1）＜f（cos1） C． D．f（cos2）＜f（sin2）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）已知正实数a，b满足ba＝2，且a+2log2b＝3，则a+b2的值可以为（）A．2 B．3 C．4 D．5（多选）10．（5分）已知函数（e为自然对数的底数），则（）A．f（x）为奇函数 B．方程f（x）＝的实数解为x＝ln3 C．f（x）的图象关于y轴对称 D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有（多选）11．（5分）设a，b是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a|＞|b| B．a2+a＜b2+b C． D．（多选）12．（5分）已知函数（A＞0，），，函数f（x）的图像过点（0，1），且关于直线对称，若对任意的x1∈[﹣1，2]，存在，使得g（x1）＞f（x2），则实数m的可能取值是（）A． B． C．﹣2 D．﹣5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若函数f（x）＝，若f（f（））＝4，则b＝．14．（5分）函数（x∈[﹣2，8]）的所有零点之和为．15．（5分）设函数，的最大值为M，最小值为N，那么M+N＝．16．（5分）设函数f（x）＝﹣4x+2x+1﹣1，g（x）＝lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R都存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知＝﹣5，求sin2θ+的值；（2）已知0＜x＜π，且sinx+cosx＝，求sin（π﹣x）+cos（π﹣x）的值．18．（12分）已知函数f（x）＝lg（x﹣1）+的定义域为A，g（x）＝3x+1（x∈[0，2]）的值域为B．（1）求A和B；（2）若[a，a+1]⊆A∩B，求a的最大值．19．（12分）已知函数（a，b为常数，且a2+b2≠0），满足f（2）＝1，方程f（x）＝x有唯一解．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）如果f（x）是R上的奇函数，求f[f（﹣3）]的值；（3）如果f（x）不是奇偶函数，证明：函数f（x）在区间（﹣2，+∞）上是增函数．20．（12分）已知函数f（x）＝logax，g（x）＝2loga（2x+t﹣2）（a＞0，a≠1，t∈R）．（1）当t＝2，x∈[1，2]，且F（x）＝g（x）﹣f（x）有最小值2时，求a的值；（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．21．（12分）已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）＝2b，则函数y＝g（x）的图像关于点（a，b）中心对称”．设函数，g（x）＝mx+5﹣2m．（1）试判断y＝f（x）的图像是否关于点（a，﹣1）成中心对称？说明理由；（2）当x∈[a+1，a+2]时，判断函数f（x）的单调性，并求f（x）的最大值与最小值；（3）若对任意的x1∈[a﹣2，a﹣1]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（xy）＝f（x）+f（y），当x∈（1，+∞）时，有f（x）＞0，且f（2）＝1．（1）判断并证明函数y＝f（x）的单调性；（2）求不等式f（4t）﹣f（1﹣t）＜2的解集；（3）对任意，恒成立，求实数a的取值范围．

2022-2023学年山东省临沂市沂水一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】根据条件，让x从0开始取值，求出对应的y值：x＝0，y＝6；x＝1，y＝5；x＝2，y＝2；x＝3，y＝﹣3，显然x往后取值对应的y值都小于0，所以集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}，这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数．【解答】解：x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝﹣3；∵函数y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；∴x≥3时，y＜0；∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}；∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；∴该集合的真子集个数为7．故选：C．【点评】考查描述法表示集合，自然数集N，以及真子集的概念．2．（5分）条件p：，条件q：（x+2）（x+2a）＜0，若p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．[﹣2，2） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）【分析】设满足条件p与q的元素组成集合A与B，根据充分与必要条件和集合的关系可得A∪B，再根据对数不等式的求解与不等式区间端点满足的关系列式求解即可．【解答】解：设满足条件p与q的元素组成集合A与B，∵p是q的充分而不必要条件，∴A⫋B，易得＝{x|﹣2＜x＜4且x≠1}，当﹣2a＝﹣2，即a＝1时，B＝∅，与A⫋B矛盾，当﹣2a＞﹣2，即a＜1时，B＝{x|﹣2＜x＜﹣2a}，由A⫋B得﹣2a≥4，即a≤﹣2，当﹣2a＜﹣2，即a＞1时，B＝{x|﹣2a＜x＜﹣2}，与A⫋B矛盾，综合上述，得a≤﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查了充分必要条件与集合包含关系的应用，属于基础题．3．（5分）函数的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】判断函数的奇偶性，结合特殊点，判断选项即可．【解答】解：∵函数的定义域为R，且对于任意x∈R，有，∴函数为奇函数，故排除C，D，又，∴排除B．故选：A．【点评】本题考查函数的图象的判断，利用函数的奇偶性以及特殊点判断图象，是常用方法，是基础题．4．（5分）若正实数a，b，c满足c＜cb＜ca＜1，则（）A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa【分析】利用作商法，根据指数函数的单调性即可比较大小．【解答】解：∵c是正实数，且c＜1，∴0＜c＜1，由c＜cb＜ca＜1，即c1＜cb＜ca＜c0，得0＜a＜b＜1，∵，∴ab＜aa，∵，，a＞0，∴，即aa＜ba．综上可知ab＜aa＜ba．故选：C．【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．5．（5分）若a＞0且a≠1，函数，满足对任意的实数x1≠x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）【分析】由已知可得函数f（x）在R上单调递增，根据分段函数的单调性列出不等式组，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2），∴对任意的实数x1≠x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0成立，可知函数f（x）在R上单调递增，∴，解得a∈[4，8）．故选：D．【点评】本题主要考查分段函数的单调性，考查计算能力，属于中档题．6．（5分）形如的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数（a＞0，a≠1）有最小值，则“囧函数”与函数y＝loga|x|的图象交点个数为（）A．1 B．2 C．4 D．6【分析】利用函数的最大值，判断a的范围，然后利用核对图象求解即可．【解答】解：函数（a＞0，a≠1）有最小值，可得a＞1，在同一个坐标系中画出与函数y＝loga|x|的图象，可知则“冏函数”与函数y＝loga|x|的图象交点个数为4个．故选：C．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的最值的判断，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．7．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且x＝时，函数f（x）取最小值，若函数f（x）在[0，a]上单调递减，则a的最大值是（）A． B． C． D．【分析】由最小正周期可得ω的值，再由最小值时的x的值，可得φ的值，再由函数在[0，a]上单调递减，可得a的最大值．【解答】解：由题意，，，又|φ|，∴，，x∈[0，a]时，，又f（x）在[0，a]上单调递减，所以，，即，a的最大值是．故选：D．【点评】本题考查余弦函数的性质的应用，属于基础题．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）＝2﹣|x﹣4|，则（）A． B．f（sin1）＜f（cos1） C． D．f（cos2）＜f（sin2）【分析】由x∈[﹣1，1]时，则x+4∈[3，5]，得到f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝2﹣|x|，从而函数f（x）在[﹣1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，且f（x）（x∈[﹣1，1]）为偶函数逐项判断．【解答】解：当x∈[﹣1，1]时，则x+4∈[3，5]，于是f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝2﹣|x|，函数f（x）在[﹣1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，且f（x）（x∈[﹣1，1]）为偶函数，∵，∴，故A错误；∵0＜cos1＜sin1＜1，∴f（cos1）＞f（sin1），故B正确．∵，∴，故C错误；∵|cos2|＜|sin2|，∴f（|cos2|）＞f（|sin2|），∴f（cos2）＞f（sin2），故D错误．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性及应用，考查了函数思想，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）已知正实数a，b满足ba＝2，且a+2log2b＝3，则a+b2的值可以为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】指数式化为对数式得到a＝logb2，利用对数运算法则和换底公式得到log2b，从而求出b，a可得答案．【解答】解：由ba＝2得到a＝logb2，则logb2+2log2b＝3，即，整理得，解得或log2b＝1，当时，，a＝2，则a2+b2＝6，当log2b＝1时，b＝2，a＝1，则a2+b2＝5．故选：D．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．（多选）10．（5分）已知函数（e为自然对数的底数），则（）A．f（x）为奇函数 B．方程f（x）＝的实数解为x＝ln3 C．f（x）的图象关于y轴对称 D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数，其定义域为R，有f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，A正确，对于B，若＝，变形可得ex＝3，解可得x＝ln3，即方程f（x）＝的实数解为x＝ln3，B正确，对于C，f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，C错误，对于D，＝＝1﹣，函数y＝ex为R上的增函数，则f（x）为R上的增函数，∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有，D正确，故选：ABD．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，涉及函数值的计算，属于基础题．（多选）11．（5分）设a，b是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a|＞|b| B．a2+a＜b2+b C． D．【分析】对A，C选项，举反例说明即可判断它们的真假；对B，作差分析可得解，判断它的真假；对D，用分析法结合分子有理化转化可判断它的真假．【解答】解：对于A，显然a＝1，b＝2时不等式不成立，∴A不正确；对于B，∵a2+a﹣（b2+b）＝a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b+1）＞0，只有当a＞b时上式才成立，∴B不正确；对于C，显然a＝1，b＝2时不等式不成立，∴C不正确；对于D，要证，只需证，即证，显然成立，∴原不等式恒成立，∴D正确．故选：ABC．【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．（多选）12．（5分）已知函数（A＞0，），，函数f（x）的图像过点（0，1），且关于直线对称，若对任意的x1∈[﹣1，2]，存在，使得g（x1）＞f（x2），则实数m的可能取值是（）A． B． C．﹣2 D．﹣5【分析】根据已知列方程可求出f（x）的解析式，将问题转化为在给定区间g（x）＞[f（x）]min恒成立，求出函数f（x）最小值，然后把问题转化成，再求出m的取值范围．【解答】解：∵f（x）的图像关于直线对称，∴，即，∵，∴，又函数f（x）的图像过点（0，1），∴，解得，∴．又“对任意x1∈[﹣1，2]，存在，使得g（x1）＞f（x2）”等价于“g（x）＞[f（x）]min”，当时，，即，即f（x）≥1．于是，即，又x∈[﹣1，2]，∴，∴即．∴m的取值范围是．故选：CD．【点评】本题考查了不等式恒成立与能成立问题，三角函数的图象与性质，考查了转化思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若函数f（x）＝，若f（f（））＝4，则b＝．【分析】由函数f（x）＝，f（f（））＝4，构造关于b的方程，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝，若＜1，即b＞，则f（f（））＝f（）＝＝4，解得：b＝（舍去），若≥1，即b≤，则f（f（））＝f（）＝＝4，解得：b＝，综上所述：b＝，故答案为：【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．14．（5分）函数（x∈[﹣2，8]）的所有零点之和为36．【分析】根据题意，f（x）的零点就是方程2sinπx＝在区间[﹣2，8]上的根，因此利用函数图象的对称性与三角函数的周期性，作出g（x）与h（x）的图象，观察两图象交点的分布，结合图象的对称性算出交点横坐标的和，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，可得，f（x）在x∈[﹣2，8]时的零点，就是方程2sinπx＝在区间[﹣2，8]上的根，记g（x）＝2sinπx，h（x）＝．因为g（3+x）+g（3﹣x）＝2sin（3π+πx）+2sin（3π﹣πx）＝﹣2sinπx+2sinπx＝0，所以g（x）的图象关于（3，0）对称，因为h（x+3）＝为奇函数，图象关于原点对称，所以h（x）＝也关于（3，0）对称，且g（x）＝2sinπx的周期，区间[﹣2，8]恰好等于5个周期，作出g（x）与h（x）的图象，如图所示，由g（2.5）＝＝h（2.5），且当x＜3时，h（x）＞0且单调递增，可知g（x）与h（x）在（﹣2，﹣1），（0，1），（2，3）上分别有两个交点，共6个交点．根据g（x）与h（x）的图象都关于（3，0）对称，可知g（x）与h（x）在（7，8），（5，6），（3，4）上也分别有两个交点，共6个交点．根据图象的对称性，可知g（x）与h（x）的图象在（﹣2，3）上的6个交点，与（3，8）上的6个交点构成6对关于（3，0）对称的点，且每一对对称点的横坐标之和等于6，因此，这12个交点的横坐标之和等于6×6＝36．综上所述，函数（x∈[﹣2，8]）的所有零点之和为36．故答案为：36．【点评】本题主要考查函数图象的对称性、三角函数的周期性、函数的零点与方程的根及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．15．（5分）设函数，的最大值为M，最小值为N，那么M+N＝2023．【分析】利用函数f（x）在区间上单调递增可得最大值为，最小值为，然后求可得答案．【解答】解：∵，∵在上单调递增，∴函数f（x）在区间上单调递增，∴f（x）的最大值为，最小值为，∴＝．故答案为：2023．【点评】本题考查了正弦函数的性质、指数函数、幂函数型函数的单调性及复合函数的单调性，属于中档题．16．（5分）设函数f（x）＝﹣4x+2x+1﹣1，g（x）＝lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R都存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的最大值为4．【分析】由指数函数的单调性可得f（x）的值域，由题意可得f（x）的值域为g（x）的值域的子集，lg（ax2﹣4x+1）的函数值取到一切的非正数，对a讨论，分a＝0，a＞0，a＜0，结合二次函数的图象和性质，即可得到所求最大值．【解答】解：函数f（x）＝﹣4x+2x+1﹣1＝﹣（2x﹣1）2≤0，当且仅当x＝0时，f（x）取得最大值0；对任意x1∈R都存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），可得f（x）的值域为g（x）的值域的子集，即有lg（ax2﹣4x+1）的函数值取到一切的非正数，显然a＝0时，g（x）的值域为R，成立；当a＞0，≤0，可得0＜a≤4；当a＜0时，Δ＝16﹣4a＞0，y＝ax2﹣4x+1与x轴有两个交点，开口向下，成立．可得a≤4，即a的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用转化思想和指数函数和对数函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知＝﹣5，求sin2θ+的值；（2）已知0＜x＜π，且sinx+cosx＝，求sin（π﹣x）+cos（π﹣x）的值．【分析】（1）由已知求得tanθ，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解；（2）由已知可得2sinxcosx，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式求解．【解答】解：（1）由＝﹣5，得，解得tanθ＝2，∴sin2θ+＝＝＝＝；（2）∵sinx+cosx＝，∴，即2sinxcosx＝，又0＜x＜π，∴＜x＜π，可得sin（π﹣x）+cos（π﹣x）＝sinx﹣cosx＝＝＝．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝lg（x﹣1）+的定义域为A，g（x）＝3x+1（x∈[0，2]）的值域为B．（1）求A和B；（2）若[a，a+1]⊆A∩B，求a的最大值．【分析】（1）根据对数以及根式的性质建立不等式组由此即可求出函数f（x）的定义域，再根据指数函数的性质得出函数g（x）的单调性，由此即可求出函数g（x）的值域；（2）由（1）求出A，B的交集，然后根据子集的定义建立不等式组，进而可以求解．【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义，只需，解得1＜x≤4，所以函数f（x）的定义域为A＝（1，4]；因为函数g（x）＝3x+1在[0，2]上单调递增，则g（x），g（x），所以函数g（x）的值域为B＝[2，10]；（2）由（1）可得A∩B＝[2，4]，则[a，a+1]⊆[2，4]，所以，解得2≤a≤3，所以实数a的最大值为3．【点评】本题考查了求出函数定义域，值域的问题，涉及到集合的包含关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．19．（12分）已知函数（a，b为常数，且a2+b2≠0），满足f（2）＝1，方程f（x）＝x有唯一解．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）如果f（x）是R上的奇函数，求f[f（﹣3）]的值；（3）如果f（x）不是奇偶函数，证明：函数f（x）在区间（﹣2，+∞）上是增函数．【分析】（1）根据已知条件，分类讨论进行求解函数解析式；（2）由已知，结合（1）的结论，即可得出f（x）解析式，进而求解；（3）由已知，结合（1）的结论，即可得出f（x）解析式，然后利用定义法判断函数单调性．【解答】解：（1）由f（x）＝x，得到，①a＝0，b≠0，则，由f（2）＝1得b＝2，即；②若a≠0，b＝0，则，由f（2）＝1得a＝1，即f（x）＝1（x≠0）；③a≠0，b≠0，由得ax2+（b﹣1）x＝0，由Δ＝0得b＝1，又由f（2）＝1得，即．∴函数的解析式为或f（x）＝1（x≠0）或．（2）若f（x）是R上的奇函数，由（1）知，于是，．（3）若f（x）不是奇、偶函数，由（1）知，任取x1，x2∈（﹣2，+∞），且x1＜x2，，因为﹣2＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1+2＞0，x2+2＞0，所以，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间（﹣2，+∞）是增函数．【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝logax，g（x）＝2loga（2x+t﹣2）（a＞0，a≠1，t∈R）．（1）当t＝2，x∈[1，2]，且F（x）＝g（x）﹣f（x）有最小值2时，求a的值；（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据t＝2得到F（x）＝loga（4x），然后分0＜a＜1和a＞1两种情况列方程，解方程求a即可；（2）将f（x）≥g（x）在[1，2]上恒成立转化为，然后根据复合函数的单调性得到φ（x）≥φ（1）＝﹣1，列不等式求t的范围即可．【解答】解：（1）当t＝2时，．若0＜a＜1，则F（x）min＝F（2）＝loga8＝2，解得，不成立；若a＞1，则F（x）min＝F（1）＝loga4＝2，解得a＝2，综合上述，所求a＝2．（2）由f（x）≥g（x），得logax≥2loga（2x+t﹣2），即，，令，，y＝2t2﹣t﹣2，函数在[1，2]上单调递增，函数y＝2t2﹣t﹣2在上单调递增，所以函数在[1，2]上是增函数，所以φ（x）≥φ（1）＝﹣1，所以﹣t≤﹣1，即t≥1，所以实数t的取值范围为[1，+∞）．【点评】本题考查了对数函数、幂函数的性质及转化思想，属于中档题．21．（12分）已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）＝2b，则函数y＝g（x）的图像关于点（a，b）中心对称”．设函数，g（x）＝mx+5﹣2m．（1）试判断y＝f（x）的图像是否关于点（a，﹣1）成中心对称？说明理由；（2）当x∈[a+1，a+2]时，判断函数f（x）的单调性，并求f（x）的最大值与最小值；（3）若对任意的x1∈[a﹣2，a﹣1]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据f（a﹣x）＝﹣f（b+x）+c关于点对称，即可求出对称中心；（2）由函数单调性的定义，即可判断函数f（x）在的单调性，进而求出最值；（3）对任意的x1∈[a﹣2，a﹣1]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，需函数y＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集，分类讨论m求出值域，根据集合间的包含关系求解即可．【解答】解：（1）∵，∴，由定理可知，y＝f（x）的图像关于点（a，﹣1）成中心对称．（2）任取，且x1＜x2，则，∵，且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，且﹣2＜a﹣x1＜﹣1，﹣2＜a﹣x2＜﹣1，则，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在上是增函数，则，∴f（x）的最大值为，最小值为﹣2．（3）若对任意的，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，只需函数y＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．∵函数f（x）的图像关于点（a，﹣1）对称，∴函数f（x）在上单调递增，易求出函数f（x）的值域