高中数学 高考复习 简单几何体的表面积 专题练习

参考答案：1．A【分析】依题意可知正方体的中心满足：，故外接球半径为1，即可求其表面积．【详解】如图所示：设正方体的中心满足：所以该几何体的外接球的球心为，半径为1则外接球表面积为故选：A2．C【分析】补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，求出外接球半径，即可得出答案.【详解】解：由于四棱锥为阳马，侧棱底面，如图，补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，设外接球半径为，则，所以，所以该阳马的外接球的表面积为.故选：C.3．B【分析】如图，点是球冠所在球的球心，点是球冠底面圆的圆心，点是球冠底面圆周上点，线段是球冠的高，先求，再求出，，即得和球的表面积.【详解】解：如图，点是球冠所在球的球心，点是球冠底面圆的圆心，点是球冠底面圆周上点，线段是球冠的高.依题意，垂直于球冠底面，明显，在Rt中，，即，整理化简得，所以球冠所在球的半径.由于球冠底面圆的周长，所以，又球冠的表面积公式为，且，则，由于，所以，解得，故球的表面积为.故选：B.4．A【分析】依据柱体体积、表面积的求法，分别表示出和，分析即可得答案.【详解】设底面面积为S，底面周长为C，则，，所以，设斜棱柱的高为，则，,所以.故选：A5．B【分析】由已知，画出正四棱锥的图像，依据题意条件，找到正四棱锥的高，侧面三角形的斜高，底面边长a之间的等量关系，然后带入中，借助勾股定理列出等量关系，即可求解出的值.【详解】由已知，可画出正四棱锥的图像，底面是边长为的正方形，顶点在底面的投影为，，为中点，为侧面的高，设，由已知可得：，，即，则，即，解得或（舍去）.故选：B.6．B【分析】由题意，作该圆台的轴截面，求得上下底面半径和母线长，依据侧面积计算公式，可得答案.【详解】由题意，可作该圆台的轴截面，如下图所示：则圆台的高，上底面半径，下底面半径，即，母线，即，在中，，，易知在正方形中，，则，即，综上，，圆台的侧面积.故选：B.7．B【分析】依据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，求出的值，最终利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.【详解】解：依据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，解得：，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积.故选：B.8．B【分析】设正方体的棱长为，正方体的棱长为，然后表示出两个正方体外接球的表面积，求出化简变形可得答案【详解】解：设正方体的棱长为，正方体的棱长为．由于，所以，则由于，所以，由于，所以，故当时，取得最小值，且最小值为．故选：B9．A【分析】依据平面BCD，得到，，再由，，，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.【详解】由于平面BCD，所以，，∴，在中，，∴，∴.如图所示：三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积为，故选：A.10．B【分析】先依据方亭四个侧面的面积之和得到的长度，然后作帮助线找到并求方亭的高，最终利用棱台的体积计算公式求解即可.【详解】如图，过作，垂足为，由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，∴（梯形的面积公式），则.由题意得：，在中，.连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形且，，则，∴，∴该方亭的体积，（棱台的体积公式）.故选：B.

11．A【分析】设侧面开放图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值．【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，，全面积为，而侧面积为，所以全面积与侧面积之比这．故选：A．12．C【分析】求出内层圆柱，外层圆柱的高，该模型的体积等于外层圆柱的体积与上下面内层圆柱高出的几何体的体积之和，计算可得解.【详解】如图，该模型内层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，可知内层圆柱的高同理，该模型外层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，可知外层圆柱的高此模型的体积为故选：C13．C【分析】先由球的体积求得球的半径，再依据圆柱的体积公式可求得答案.【详解】解：由于该球的体积为，设球的半径为R，则，解得。所以圆柱的体积为：，故选：C.14．B【解析】依据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最终求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．【详解】解：设正方体的棱长为，则，由于三棱锥的表面积为，所以所以所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明精确     点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15．C【分析】先依据题意求出一个“钢板仓”的体积，然后用300除以“钢板仓”的体积可得答案【详解】由于圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，所以圆锥的母线长为2，底面半径为，所以一个“钢板仓”的体积为，由于所以要储存300的水稻，则需要预备这种“钢板仓”的个数为10个，故选：C16．C【分析】依据圆锥的侧面开放图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.【详解】设底面半径为，高为，母线为，如图所示：则圆锥的体积，所以，即，，则，又，所以，故．故选：C．17．A【解析】求出，，，推导出，从而得到．【详解】直角三角形的三边满足，分别以、、三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为、、，，，该直角三角形斜边上的高满足，可得，，，，，，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查旋转体体积的大小比较，解题的关键就是确定旋转体的外形，并据此求出对应的旋转体的体积，结合作差法比较即可.18．D【分析】在翻折过程中，始终不变，然后可得的中点即为球心.【详解】由于在翻折过程中，始终不变，所以的中点到，，，四点的距离始终相等，三棱锥外接球的直径为，所以外接球的表面积为，故选：D19．A【解析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后依据表面积公式计算即可.【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为.故选：A.【点睛】本题考查数学文化与简洁几何体的表面积，考查空间想象力量和运算求解力量.20．C【分析】依据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，依据三棱锥的体积公式即可求解．【详解】解：依据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为，故选：C.21．A【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可【详解】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，则该几何体的表面积为故选：A.22．C【分析】依题意直接利用台体体积的计算公式即得结果.【详解】依题意，棱台的上底面面积，下底面面积，高为，故由公式可知，棱台的体积是，故选：C.23．C【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由，得，又，所以，解得；所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为．故选：C．24．B【分析】依据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面圆半径为，故可得，解得，设圆锥的高为，则，则圆锥的体积.故选：B.25．B【分析】由图形可得正八面体的棱长为，分别求出正八面体的体积及表面积，再由等体积法求正八面体的内切球半径，即可求出球的表面积．【详解】依据图形，在正方体中易知正八面体的棱长为,如图，在正八面体中连接，，，可得，，相互垂直平分，在中，则该正八面体的体积，该八面体的表面积设正八面体的内切球半径为，，即，解得，故选：B26．A【分析】由题意先求出，再由三棱锥的体积为，得到高，再利用正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，求出外接球的半径，球的最大截面圆为过球心的圆.当垂直于过的截面时，截面圆半径最小，求出此时半径即可求出相应的面积.即可求出过点的平面截球所得截面面积的取值范围.【详解】设在底面上的射影为，由于，所以为的中心，由题可知，，由，解得在正中，可得.从而直角在中解得.进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.记外接球半径为，则，由于球的最大截面圆为过球心的圆，所以过的平面截球所得截面的面积最大为；又为中点，由正方体结构特征可得由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，截面圆半径最小为所以.因此，过的平面截球所得截面的面积范围为.故选：A.27．C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，依据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再依据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.28．A【分析】依据三角形相像得出圆锥的底面半径和高的关系，依据体积公式和基本不等式得出答案．【详解】设圆锥的高为，底面半径为，则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，由可得：，即，圆锥的体积．当且仅当，即时取等号．该圆锥体积的最小值为．内切球体积为．该圆锥体积与其内切球体积比．故选：A．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必需为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会消灭错误.29．B【分析】利用扇形的弧长求出圆锥底面的半径，继而求解圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即得解【详解】令圆锥底面半径为，则，因此圆锥的高为：圆锥的体积故选：B【点睛】本题考查了圆锥的侧面开放图的面积及圆锥的体积，考查了同学综合分析，数学运算力量，属于中档题30．A【解析】由题意可得正四棱锥的底面边长与高，代入棱锥的体积公式即可求解.【详解】如图正四棱锥中，底面，，，底面正方形的面积为，则正四棱锥的体积为，故选：A31．C【解析】依据题意，求得圆锥的高和底面圆的半径，代入公式，即可求得答案.【详解】如图所示：为边长为4的正三角形，所以AB=AC=BC=4，取BC中点为O，则，所以圆锥的体积.故选：C32．D【分析】先求出底面圆周长，再计算圆锥侧面积即可.【详解】如图，由题意知为等腰直角三角形，则，底面圆周长为，故圆锥的侧面积为.故选：D.33．C【分析】依据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．34．C【解析】依据球与圆锥的结构特征，结合体积与表面积的计算公式进行求解即可.【详解】设球的半径为，圆锥的底面半径为，由于球心到截面的距离为1，所以有：，则题中圆锥体积，解得，故球的表面积为.故选：C35．D【分析】该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去这两个四棱柱交叉部分的体积.【详解】两个四棱柱的体积和=2×2×2×4=32，交叉部分的体积为四棱柱S-ABCD的体积的2倍.在等腰三角形ABS中，，边SB上的高为2，则.所以，由该几何体前后､左右､上下均对称，知：四边形ABCD为边长为的菱形.设AC的中点为H，连接BH､SH，由题意，得SH为四棱锥S-ABCD的高.，所以.，在Rt△ABH中，.所以.由于BH=SH，所以.所以这个几何体的体积.故选：D.

36．B【分析】由题意先求出正四棱柱的高，然后再求其体积.【详解】由题意知，正四棱柱的高为所以它的体积V＝32×6＝54，故选：B．37．D【分析】依据是等边三角形时面积为求得母线，再由高是底面半径的倍，求得底面半径，然后由圆锥的侧面积公式求解.【详解】解：设圆锥的高为h，母线为l，底面半径为r，则由题意得h=r，，所以，又，则，所以圆锥的侧面积为，故选；D38．C【分析】计算出，，即可得出结论.【详解】由题意，，全部棱长都为的正四棱锥的体积为，，故选：．39．D【分析】依据题意可证明，从而说明三角形BCD是直角三角形，求得，进而求得四个直角三角形的面积，可得答案.【详解】由题意可知：AB⊥平面BCD，平面BCD，故AB⊥,又AC⊥CD，平面ABC，故平面ABC，平面ABC，故,所以,当且仅当时取得等号，故,由AB⊥平面BCD，可知,故,所以,,所以鳖臑ABCD的表面积为，故选：D40．A【分析】画出图形，为线段的中点，则可得为二面角的平面角，取分别是线段上靠近点的三等分点，则可得分别为和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则点为三棱锥外接球的球心，即为足球的球心，所以线段为球的半径，然后结已知数据求出，从而可求出足球的体积【详解】依据题意，三棱锥如图所示，图中点为线段的中点，分别是线段上靠近点的三等分点，由于，所以和均为等边三角形，由于点为线段的中点，所以，所以为二面角的平面角，所以，由于和均为等边三角形，点为线段的中点，所以分别为和的中线，由于分别是线段上靠近点的三等分点，所以分别为和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则点为三棱锥外接球的球心，即为足球的球心，所以线段为球的半径，由于，，所以，则，由于，所以≌，所以，在直角中，，由于平面，平面，所以，由于是的外心，所以，所以,所以，所以足球的体积为，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥外接球问题，考查计算力量，解题的关键是由题意求出三棱锥外接球的球心，从而可确定出球的半径，然后计算出半径即可，考查空间想象力量，属于较难题41．A【分析】依据图（1）水面以下正三棱柱的体积等于图（2）中水面以下棱柱的体积相等列方程可求出结果.【详解】设正三棱柱的底面边长为，图（1）所示容器中水面的高度是，则水的体积为，由于图（2）中水面以下是一个棱柱，其底面积为，高为，所以图（2）中水的体积为：，依题意可得，得.所以图（1）所示容器中水面的高度是.故选：A42．D【分析】首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；【详解】解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高，所以正四棱锥的侧面积故选：D43．B【分析】先分析出三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，直接求出长方体的外接球的半径为R，求出球的表面积.【详解】将三棱锥放在一个长方体中，如图示：则三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，由于，，为直角三角形，所以.设长方体的外接球的半径为R，则，故.所以外接球的表面积为.故选：B.【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2)多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．44．B【分析】先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，依据圆台体积公式计算即可.【详解】如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，，，设上底面面积为，下底面面积为，则体积为.故选：B.45．C【分析】由于平面，所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积，棱锥的高为长方体的棱长，底面，是以1为底1为高的三角形，利用棱锥的体积公式可求.【详解】∵平面，∴三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而三棱锥，高为长方体1，底面，是以1为底1为高的三角形，∴，故选：C.【点睛】本题考查了棱锥的体积，关键等体积转换，进一步明确其底面面积和高，利用体积公式解答，属于中档题.46．C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离肯定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离肯定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为，则，当且仅当即时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，(当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，，，单调递增，，，单调递减，所以当时，最大，此时．故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型生疏，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．47．A【分析】先求出侧棱长，即可求出表面积.【详解】如图，PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，AB＝a，∴，∴表面积为.故选：A.48．D【分析】依据给定条件确定出三棱锥体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解.【详解】设球的半径为，因，则的面积，而，且面积为定值，则当点到平面的距离最大时，最大，于是，当是与球的大圆面垂直的直径的端点时，三棱锥体积最大，最大值为，解得，所以球的表面积为.故选：D49．D【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，由于，所以，由于重叠后的底面为正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，则,由可得平面，设重叠后的EG与交点为则则该几何体的体积为.故选：D.50．A【分析】依据题意可得点到平面MBC的距离为，，利用等体积法和三棱锥的体积公式即可求出.【详解】由题意知，点到平面MBC的距离为a，又，所以点到平面MBC的距离为，又点M在上运动，所以，所以，故选：A.51．(1)，(2)【分析】（1）依据表面积以及体积公式求解即可；（2）设，根面积公式结合二次函数的性质得出最大值.（1）圆锥的表面积为体积为（2）设当时，面积取得最大值52．（1）；（2）.【分析】（1）设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积；（2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.【详解】（1）如图，设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，

由题意知，，又，∴斜高，

∴；

（2）由题意知，，∴，

∴，又，.53．（1）；（2）证明见解析．【分析】(1)求出圆柱下底面圆周的周长，结合圆柱的侧面积公式即可求解；（2）依据平面ABC，可得,结合可得平面,利用线面垂直的性质定理即可得证.【详解】（1）由题意可得，又，所以,所以圆柱的侧面积为.(2)由题意可知，平面ABC，又平面ABC，所以,由于，,所以平面,又平面,所以.【点睛】本题主要考查圆柱的侧面积公式、线面垂直的判定定理与性质定理，属于基础题.54．【分析】依据题意可知该四棱锥是正四棱锥，取正方形的中心，连接，则球心在上，依据已知条件求出的长，设外接球的半径为，在依据勾股定理列方程求出，再由球的表面积公式即可计算外接球的表面积【详解】由于四棱锥中，底面是边长为的正方形，且各侧棱长均为，所以该四棱锥是正四棱锥，取正方形的中心，连接，，则点为的中点，如图，则球心在上，由于正方形边长为，所以，所以，由于，所以，设四棱锥外接球的半径为，则，在中，，即，解得：，所以该四棱锥外接球的表面积为.55．(1)48；(2)．【分析】（1）证明棱台为正棱台，然后求得斜高后由侧面积公式计算出侧面积．（2）求出棱台的高后由棱台体积计算体积．【详解】（1）设棱台是由棱锥截出的，如图，棱台的侧面是全等的等腰梯形，则棱锥的侧面是全等的等腰三角形，明显侧棱都相等，设是底面上与的交点，则是的中点也是中点，所以，，则平面，正方形中心，因此是正棱锥，棱台是正棱台，在侧面内过作于点，则，棱台的侧面积为侧＝；（2）设是的中心，明显，是直角梯形，，，高，棱台的体积为．56．（1），大圆锥与小圆锥的侧面积的比值为；（2）.【解析】（1）求出球的表面积和圆锥底面积，即可得出，依据几何特征表示出圆锥的高和母线长，即可求出侧面积之比；（2）依据体积公式计算出，即可得出比值.【详解】解：（1）球的表面积为，圆锥的底面积为，解得，由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形；由此可以求得球心到圆锥底面的距离是：，所以小圆锥的高为：，母线长为：；同理可得大圆锥的高为：，母线长为：；又由这两个圆锥的底面半径相同，∴较大圆锥与较小圆锥的侧面积之比等于它们母线长之比，即.（2）由（1）可得两个圆锥的体积和为：，球的体积为：，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：.57．.【分析】过作于，过作于，得到为正四棱台的斜高，可得答案.【详解】如图，设、分别为上、下底面的中心，则平面，过作于，所以，所以平面，，过作于，连接，且，所以平面，，则为正四棱台的斜高，由题意知，，又，∴高，∴．【点睛】本题考查了正四棱台侧面积的求法，关键点是作出正四棱台的斜高，考查了同学的空间想象力和计算力量.58．．【分析】在四周体中取面△的中心，连接、，易知可求，进而求正四周体的体积，若内切球半径为，由求，进而求球的体积．【详解】如图，在四周体中，取底面△的中心，连接，，则．又，则．∴正四周体的体积．设内切球球心为，半径为，连接，，，．∴，可得，∴球的体积．59．理由见解析.【分析】蜂房是蜜蜂用来盛蜂蜜的在体积肯定的状况下，为了节省空间，蜜蜂建筑蜂房时，首先期望蜂房既对称而又有规律，而正多边形正好符合这一要求，我们知道并非任意的正多边形都能铺满平面的，那么能铺满整个平面的正多边形又有哪些呢？谁最佳呢？这也就是我们要回答问题：为什么蜂房正面接受正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为，钝角为）？由于蜜蜂建筑蜂房时需要使用材料（蜂腊）最少，在空间(体积)肯定的状况下，这种外形容积最大.用正六边形才能蜂腊的用料最小.菱形的大小不影响蜂房的容积，只影响蜂房的表面积，但会影响到制造蜂房所用的材料；蜂房的底能够无间隙地粘合在一起.【详解】数学模型I：能铺满平面的正多边形有哪些？在周长肯定的状况下，哪种面积最大？数学模型I的求解：由于正边形的每一个内角都等于，要将平面铺满，则有：，解得，故时，符合要求.当周长肯定时，正三角形的面积为；正四边形的面积为；正六边形的面积为.此时有：，所以正六边形是最佳的设计.数学模型Ⅱ：蜂房口的正六边形及蜂房的容积肯定的状况下，问题是底面菱形的各角分别多大时，蜂房的表面积最小？数学模型Ⅱ求解：假定六棱柱的边长是，先求的长度，是腰长为1，夹角为的等腰三角形.以为对称轴作一个三角形(图3).三角形是等边三角形.因此，，即得.把图4的表面分成六份，把其中之一摊平下来，得出图7的外形.从一个宽为的长方形切去一角，切割处成边.以为腰，为高作等腰三角形.问题:怎样切才能使所作出的图形的面积最小?假定被切去的三角形的高是.从矩形中所切去的面积等于.现在看所添上的三角形的面积。AP的长度是，因此的长度等于因而三角形的面积等于.问题再变而为求的最小值的问题.令，故，两边平方，整理得由于是实数，故二次方程判别式，而必大于，因此的最小值为，即.当时取最小值，即在一棱上过处（图5中点）以及与该棱相邻的二棱的端点（图5中，点）切下来洴上去的图形的表面积最小.设，由余弦定理得，并将代入可得.因此得出.【点睛】建模的关键是围绕蜂房是蜜蜂用来盛蜂蜜的在体积肯定的状况下，为了节省空间和蜂房既对称而又有规律，材料最少的原则.60．（Ⅰ）11.34立方米；（Ⅱ）81.72平方米.【分析】（Ⅰ）由题知该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱后剩下的几何体，利用柱体体积公式即求；（Ⅱ）利用公式求该几何体的表面积即可.【详解】（Ⅰ）由题意，该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱后剩下的几何体，则所求混凝土的量等价于该几何体的体积，由于，所以（立方米），故浇制一个这样的预制件需要11.34立方米混凝土；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该预制件底面面积为，其余侧面均为长方形，且，，，，全部侧面面积之和为，所以该预制件的表面积是（平方米）．61．，.【分析】依据实体图，得出如图所示空间几何体，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，进行计算即可得解.【详解】如图所示，该房子的几何图形为，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，由，，所以，可得，所以，所以底下长方体的面积为，上面三棱柱的面积为，所以房子的表面积为，体积.62．（1）；（2）三棱锥A－A1BD的体积为，高为.【分析】（1）由题意，先推断剩余部分的体积是正方体的体积减去棱锥的体积，结合棱锥和正方体的体积公式，即可求解；（2）由（1），利用等体积法求得三棱锥体积，再设三棱锥的高为，结合等边三角形的面积解方程即得高.【详解】解：（1）由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为，又三棱锥的体积，所以剩余部分的体积；（2）由（1）知，设三棱锥的高为，是等边三角形，边长为，即面积，则，即，解得，故三棱锥A－A1BD的体积为，高为.【点睛】方法点睛：求空间几何体的表面积与体积的求法：（1）公式法：对于规章的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；（2）割补法：把不规章的图形分割成规章的图形，然后进行体积的计算，或不规章的几何体补成规章的几何体，不生疏的几何体补成生疏的几何体，便于计算；（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特殊时三棱锥的体积.63．.【分析】由于是上的动点，且，可求出，再依据，即可求出四周体的体积.【详解】设长方体的长、宽、高分别为，，，则有.是的中点，所以，由于是上的动点，且，所以，所以.64．(1)(2)不存在，理由见解析(3)存在最大值【分析】（1）依题意作出圆锥的轴截面，设内接圆柱底面半径为，高为h，利用三角形相像得到，再利用基本不等式求出面积的最大值；（2）由（1）可得，依据二次函数的性质推断可得；（3）依题意可得，依据二次函数的性质计算可得；【详解】（1）解：作出轴截面如下图所示，设内接圆柱底面半径为，高为h，，由，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，此时侧面积最大；（2）解：由（1）可得，而，故不存在最大值；（3）解：设圆柱底面半径为，高h，由，所以，所以所以当，即，二次函数开口向上，在内无最大值当，即，一次函数在内也无最大值当，即，二次函数开口向下，若区间内存在最大值，则对称轴所以，综上当且仅当（圆锥高大于底面半径）时，圆锥的内接圆柱的全面积存在最大值；65．当，时，圆柱的侧面积最大.【分析】由题得，然后利用基本不等式即得.【详解】由题可得，所以圆柱的侧面积，当且仅当时取等号，即当，时，圆柱的侧面积最大，最大值为．66．球的表面积为，球的体积为．【分析】对球心的位置分两种状况考虑，即当截面在球心的同侧时和当截面在球心的两侧时，分别计算球的表面积和体积，即可得到答案；【详解】（1）当截面在球心的同侧时，如图①所示为球的轴截面，由截面性质知，，为两截面圆的圆心，且，，①设球的半径为，由于，所以，同理得.设，则，在中，，①在中，，②联立①②可得，．所以，.（2）当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，，，分别为两截面圆的圆心，且，．②设球的半径为，由于，所以．由于，所以．设，则．在中，，在中，，所以，解得（不合题意，舍去）综上所述，球的表面积为．球的体积为．67．【分析】依据题意，设三棱锥的底面边长为，则，连接，交与点，则，从而可知，则，依据三角形的面积分别求出三棱锥的底面积和侧面积，从而得出三棱锥的表面积，依据的取值范围，即可求出当的边长变化时，三棱锥的表面积的取值范围.【详解】解：由题可知，等边三角形的中心为，圆的半径为6，设三棱锥的底面边长为，即等边三角形的边长为，如图，连接，交与点，由题意可知，，则，，可知，即，则，，则，三棱锥的底面积为：，由题可知，全等，则面积相等，三棱锥的侧面积为：，所以三棱锥的表面积为：，，，即，所以当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是.68．(1)；(2).【分析】依据旋转体的轴截面图，依据已知条件求球的半径与长，再利用球体、圆锥的面积、体积公式计算即可.（1）连接，则，设，在中，，；（2），∴圆锥球.69．（1）侧棱长为，侧面的高为；（2）表面积，体积为.【分析】（1）设为正四棱锥的高，则，作，连结，分别在和，即可求得棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）由（1）利用棱锥的侧面积公式和体积公式，即可求解.【详解】（1）如图所示，设为正四棱锥的高，则，作，则为中点，连结，则，由于，可得，在中，，在中，，所以棱锥的侧棱长为，侧面的高为.（2）棱锥的表面积为=，几何体的体积为.70．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）分别计算圆锥和正四棱柱的体积，再计算该几何体的体积；（Ⅱ）首先利用比例关系求得，再利用基本不等式求得的最大值，即可得到正四棱柱侧面积的最大值【详解】解：设圆锥母线长为，高为，正四棱柱的高为（Ⅰ）由，有，故，由，故，所以圆锥体积为由，有正四棱柱的底面对角线长为2，由图可得，所以，故正四棱柱的体积为所以该几何体的体积为（Ⅱ）由图可得，即，即由，当且仅当时左式等号成立，有，当且仅当，时左式等号成立，故正四棱柱侧面积，当且仅当，时左式等号成立，所以该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为.71．（1），；（2）；（3）.【分析】（1）依据生成正方体的棱长计算出四周体的棱长，并依据割补法计算出四周体的体积；（2）直接依据棱锥与棱柱的体积关系得到对应结论；（3）依据条件得到“生成长方体”，结合条件计算出长方体的长宽高，由此可计算出四周体的体积.【详解】（1）由于构造的正方体棱长为，所以面对角线长度为，所以四周体为棱长是，且；（2）；（理由供参考：“生成平行六面体”由四周体和四个三棱锥组成，每个三棱锥的底面积等于“生成平行六面体”的底面积的一半且高相等，所以三棱锥的体积等于“生成平行六面体”体积的，由此可得结果）（3）类似（1），构造该四周体的“生成长方体”，设棱长分别为，则有，则有.72．(1)(2)【分析】（1）依据题意，结合台体的体积公式，即可求出结果.（2）设玻璃棒在上的点为，玻璃棒与水面的交点为，过点作，交于点，过点作，交于点，推导出为等腰梯形，求出，，由正弦定理求出，由此能求出玻璃棒没入水中部分的长度．【详解】（1）解：由题意可知，下底面正方形的边长为，上底面正方形的边长为，所以下底面面积为，上底面的面积，又台体的高为，所以正四棱台的体积（2）解：设玻璃棒在上的点为，则，玻璃棒与水面的交点为，在平面中，过点作，交于点，过点作，交于点，∵为正四棱台，∴，，∴为等腰梯形，画出平面的平面图，∵，∴，由勾股定理得：，，依据正弦定理得：，，，．∴玻璃棒没入水中部分的长度为．73．；【分析】利用球、圆柱、圆台的体积公式即可求解.【详解】依题意可得，球的半径为，体积，大圆柱的体积，小圆柱的体积，所以盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为，设圆台部分的高为，则，解得.所以圆台的体积为，圆台部分的高为.74．(1)，(2)【分析】（1）利用圆锥的表面积和体积公式，精确     计算，即可求解.（2）沿着母线，把圆锥的侧面开放，求得侧面开放图扇形的圆心角为，进而求得点到点的最短距离.【详解】（1）（1）∵圆锥的底面半径为4，母线长为8，∴．由，解得，∴圆锥的体积为．（2）（2）沿着母线，把圆锥的侧面开放，如图所示，设圆锥侧面开放图扇形的圆心角为，则，∴，，，∴圆锥面上P点到B点的最短距离为．75．.【解析】依据三棱锥和柱体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点，锯掉的三棱锥的体积.正方体的体积.锯掉的这块的体积是原正方体的.故答案为：.76．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）求出圆锥的母线长为，再代入圆锥的侧面积公式计算，即可得到答案；（2）设圆柱的半径为，可得，再代入，即可得到答案；（3）当时，取得最大值为，进而计算圆柱的体积为．【详解】（1）圆锥的底面半径与高均为2，则圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为．（2）设圆柱的半径为，则，解得，且；所以圆柱的侧面积为．（3），；当时，取得最大值为，此时，圆柱的体积为．77．【分析】解法一：以侧面为公共面补上一个三棱柱，使两个三棱柱拼成一个平行六面体，然后以为底面求解；解法二：连接、，则截面将此三棱柱分割成一个三棱锥和一个四棱锥求解.【详解】解法一：如图所示：以侧面为公共面补上一个三棱柱，使两个三棱柱拼成一个平行六面体，以为底面，则到平面的距离即为平行六面体的高.，故.解法二：如图所示：连接、，则截面将此三棱柱分割成一个三棱锥和一个四棱锥.，又平面，.故.78．(1)(2)【分析】(1)依据条件作出轴截面，由三角形相像，得出圆柱的底面半径,从而得出答案.(2)分别求出圆锥与圆柱的体积，从而得出其体积之比.(1)依据已知，画出轴截面如图，，，，由与相像，得，∴．∴圆柱的侧面积为．(2)由圆锥的体积为，圆柱的体积为．∴圆柱与圆锥的体积之比为．79．8【分析】把正方体的表面开放，得到5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住棱长为1的正方体，直接求面积即可.【详解】如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为，其面积为8．

图①

图②80．需要的铁皮【分析】依据圆锥侧面积公式即可求解.【详解】依据题意，圆锥的高，又由于圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°所以底面圆半径,母线长，所以．答：需要的铁皮．81．（1），；（2）.【分析】（1）依据，求得底面半径，从而得到，及的坐标，然后由是上的函数，求得，然后由点在图象上求解；（2）由（1）知为底面的圆周，底面直径为，，分别求得圆柱的表面积和斜截圆柱的侧面积，由两者相等求解.【详解】（1）作一个斜截圆柱的轴截面，如图所示：作,，由于则，，解得，所以，则，由于是上的函数，所以，解得，又，则点，代入,得，解得，所以，；（2）由（1）知为底面的圆周，底面直径为，得，所以圆柱的表面积为，斜截圆柱的侧面积为：，由于，所以，解得，即【点睛】关键点点睛：本题其次问关键是理解斜截圆柱的侧面积是由函数的图像与x轴围成区域的面积和高为的圆柱的侧面积两部分构成.82．(1)(2)，【分析】（1）将直观图还原为原图形后利用公式可求其面积.（2）所得几何体是圆柱与圆锥的组合体，利用公式可求其表面积和体积.(1)直观图还原为原图形，是直角梯形ABCD，如图，其中，，，∴梯形ABCD的面积为.(2)，直角梯形绕BC旋转后形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，其表面积，体积.83．．【分析】依据，结合锥体的体积公式，精确     运算，即可求解.【详解】由题意，可得长方体中，，，所以．设到平面的距离为，则．在直角中，由勾股定理得，所以，所以，解得，即到平面的距离为．84．(1)方案一：（m3），方案二：（m3）；(2)方案一：（m2），方案二：（m2）；(3)方案二比方案一更加经济些.【分析】（1）依据圆锥的体积计算公式，带值计算即可；（2）依据圆锥的表面积计算公式，带值计算即可；（3）依据（1）（2）所求，比较体积和表面积的大小，即可推断.（1）依据方案一：仓库的底面直径为m，高为4m，则仓库的体积为（m3）；依据方案二：仓库的底面直径为m，高为8m，则仓库的体积为（m3）,（2）依据题意，仓库的表面积即为圆锥的侧面积；依据方案一：仓库的底面直径为m，高为4m，圆锥的母线长（m）则仓库的表面积（）；依据方案二：仓库的底面直径为m，高为8m，圆锥的母线长（m）则仓库的表面积为（）.（3）依据（1）（2）所求，，故方案二比方案一更加经济些.85．（1）48；（2）.【分析】（1）由长方体的几何特征结合锥体的体积公式即可得解；（2）分别考虑球与侧面和底面相切的状况，再结合球的体积公式即可得解.【详解】（1）由长方体的几何特征知，到平面的距离为,又,所以；（2）设球的半径为R，若该球与三棱柱的三个侧面均相切，则R为的内切圆的半径，则,又，此时；若该球与三棱柱的上下底面均相切，此时,;所以在三棱柱内放一个体积为V的球，该球半径最大为2，.86．【分析】利用母线与侧面开放图的对角线成角，求出圆柱的底面半径，再依据圆柱的体积公式可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为，则侧面开放图是一个长为，宽为的矩形，依题意，即，所以该圆柱的体积为：.87．（1）；（2）.【解析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高，，再由求出的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：设，在半圆⊙A中，，弧长，这是圆锥的底面周长，所以，所以，故圆锥的底面积为；（2）设圆柱的高，，在中，，，所以，即，，，，所以，当，时，圆柱的侧面积最大，此时.【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面开放扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.88．(1)(2)【分析】（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解；（2）绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可（1）由题意知AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心O，且，可得圆柱的底面圆的半径为，则圆柱的底面积为，圆柱的侧面积为所以圆柱的表面积为．（2）由线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，线段AD绕AB旋转一周所得的几何体为BD为底面半径，以AB为高的圆锥，所以以绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为：．89．【分析】由扇形的面积公式与圆锥的体积公式求解【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为．由扇形的圆心角的正切值为，得扇形的圆心角为．由于扇形的面积为，所以，解得．又圆锥底面周长为，解得，所以圆锥的高，所以圆锥的体积．90．36【分析】结合图形可知该几何体水平投影面